基于譜分析模型的GPS衛星鐘差預報特性分析

馬 旺 王志遠 譚開文

(61365部隊)

從衛星自主導航的先驗信息供應、精密動態實時單點定位需求、鐘差參數優化等角度來看，衛星導航定位系統的鐘差預報(星載原子鐘)作用極為明顯[1]。近年來，各國理論界紛紛強化衛星鐘差預報技術探索，諸如基于灰色系統模型、二次多項式(Quadratic Polynomial，QP)模型、時間序列模型、線性模型、卡爾曼濾波模型和神經網絡模型[1-5]等類型各異的衛星鐘差預報模型陸續被提出并予以驗證。這些模型在進行鐘差預報時各有特點[6]，而應用最為普遍的鐘差預報模型為QP模型，其優勢包括參數涵義清晰和建模簡單等。GPS的導航電文鐘差預報也是采用該模型。但從預報實踐來看，GPS衛星鐘差的周期特征被二次多項式模型忽略，而導致該模型鐘差預報精度較低。頻譜分析是一種將復雜信號分解為較簡單信號的技術。許多物理信號均可以表示為許多不同頻率簡單信號的和，找出一個信號在不同頻率下的信息(如振幅、功率、強度或相位等)的做法即為頻譜分析。為提高衛星鐘差預報精度，本文以衛星鐘差周期特征為切入點，借鑒頻譜分析方法，結合QP模型給出了一種鐘差預報的譜分析(Spectrum Analysis，SA)模型，并使用GPS衛星鐘差數據進行預報驗證，根據驗證結果進行GPS衛星鐘差預報特性分析。

1 衛星鐘差預報的譜分析模型

星載原子鐘是導航衛星上的一種基本設備，通常有銫鐘(Cs.clock)、銣鐘(Rb.clock)兩類。因QP模型同時具備用于衛星鐘時頻域穩定性描述的3種參數(頻漂、頻率、相位)，可大體表現出星載原子鐘的物理屬性。另外，從實踐角度來看，衛星鐘周期性波動特征不應被忽視，只有高度重視，才能更加準確清晰地體現出星載原子鐘的特征[7]。如果時間序列存在周期性波動特征，一般需要數據序列的顯著周期項通過頻譜分析法檢索出來，這樣數據建模精度才能有效提升，預報準確性也能不斷提高。GPS衛星鐘差數據譜分析模型[8]為

(1)

式中：Li為ti時刻衛星鐘差；t0為參考時刻；ti為歷元時刻；a0為參考時刻t0鐘差；a1為參考時刻t0鐘速；a2為參考時刻t0鐘漂；p為主要周期函數的個數，基于頻譜分析策略確定，大小由功率譜確定；Ak為對應周期項振幅；fk為對應周期項頻率，基于頻譜分析策略確定；φk為對應周期項相位；k=1,2,3，…，p；Δi為觀測誤差。

從式(1)可以看出，鐘差預報的SA模型由QP部分和1組周期函數組成。具體實現過程：基于QP模型擬合已知鐘差數據，獲得擬合殘差；將擬合殘差從時域向頻域變換，在變換過程中，擬合殘差會進行數個簡單的正(余)弦信號分解、疊加，這些正(余)弦信號存在頻率差異，其功率譜就能說明不同正(余)弦信號的頻率。原始信號中頻率信號功能與功率譜之間具有正相關性，p與fk通?；谧畲蠊β首V量級來確定。在確定了p、fk的條件下進行模型參數估計。為了便于求解，設：

(2)

進而得到(1)式的線性形式：

(3)

其矩陣表達式為

L=AX+Δ

(4)

式中：L為由n維已知鐘差數據構成的觀測向量；Δ為n維誤差向量；X為2p+3維待估參數向量，X=[a0a1a2b1c1… …bkck… …bpcp]T；A為n×(2p+3)維系數矩陣。

根據最小二乘原理，可得參數X的估值：

(5)

根據求得參數使用以下譜分析模型進行鐘差預報。

(6)

式中：An+j為系數矩陣。

2 預報試驗及其結果分析

2.1 預報試驗

試驗數據采用基于GPS衛星定位系統900 s采樣間隔的最終精密鐘差數據(2013年6月27日—9月14日，共計80 d)，BLOCK ⅡF銣鐘、BLOCK ⅡF銫鐘、BLOCK ⅡR和BLOCK ⅡR-M銣鐘、BLOCK ⅡA銣鐘、BLOCK ⅡA銫鐘均為選定時段星載原子鐘。預報試驗是基于這80 d時間段中一顆衛星的完整數據進行的，其中PRN01、PRN10、PRN22、PRN24、PRN29、PRN32為本試驗預報的 6顆衛星。

預報測試參數確定：統計量為極差(Range)與均方根誤差 (Root Mean Square，RMS)，參考真值為IGS(International GNSS Service)精密鐘差值。均方根誤差求解方程：

(7)

基于2013年7月3日1 d的鐘差數據分別擬合并建立QP模型和SA模型，進行12 h、24 h、1周、半個月、1個月和2個月的鐘差預報，其中，12 h和24 h預報是短期預報，1周和半個月預報是中期預報，1個月和2個月預報是長期預報。

2.2 試驗結果分析

首先，以PRN01衛星的建模分析過程為例來說明SA模型的實現過程。圖1是PRN01衛星使用QP模型對已知建模鐘差數據進行擬合后的擬合殘差圖和殘差能量頻譜圖。

圖1 PRN01衛星二次多項式擬合后的殘差和去噪后擬合殘差的譜分析圖

分析能量頻譜圖，幅值較大點如果出現在3個不同部位，那么周期函數(譜分析模型中)就能順利確定。因此可得PRN01衛星的參數，即p= 3，f1= 2.314 8×10-5HZ，f2= 4.659 6×10-5HZ，f3= 5.787×10-5HZ。同理，可確定剩余衛星相應的參數?？紤]文章的篇幅，本文只給出PRN01衛星使用QP模型和SA模型進行1 d鐘差預報的預報結果和預報誤差圖(圖2)，基于QP模型和SA模型得到的6顆衛星的鐘差預報結果統計見表1。需要說明的是，從圖2可以看出，使用QP模型和SA模型進行1 d 鐘差預報的預報結果與IGS發布的值符合性很好。

根據圖2和表1的預報結果，對譜分析模型與QP模型的鐘差預報特征進行分析。

圖2 QP模型和SA模型的預報結果與預報誤差

首先，對于短期預報(24小時內)，QP模型在擬合事后鐘差數據前提下可以反映鐘差變化規律，預報結果較準確，精度可達到亞納秒級；從預報穩定性來看，銫鐘最多有幾十納秒，而銣鐘則最多只有數納秒。對于中長期預報，預報結果偏差與預報時間增加具有正相關性，時間越長，偏差越明顯，模型預報結果的穩定性和精度無論是銫鐘還是銣鐘都迅速降低。

其次，SA模型的鐘差預報結果通常會優于QP模型的鐘差預報結果，主要是因為SA模型可以高效擬合星載原子鐘周期項，從而在一定程度上提高了預報結果的穩定性和精度。但是從長期預報實踐來看，如果延長預報的時間，受到二次多項式主項的影響，譜分析模型的預報偏差會明顯加大。

最后，根據表1的統計結果(各星末列)，SA模型、QP模型在鐘差預報環節，如采用的星載原子鐘種類不一樣，鐘差預報結果的穩定性和精度也會不同。

本研究只是對GPS系統的鐘差預報特性進行了分析，下一步還可分析SA模型在北斗導航系統等其他衛星導航系統鐘差預報的特性。

表1 QP模型和SA模型的預報結果單位:nsTab.1 Prediction Results of QP model and SA Model 衛星類型統計量預報0.5 d預報1 d預報7 d預報15 d預報30 d預報60 d平均值QP模型PRN01(ⅡF Rb)PRN10(ⅡA Cs)PRN22(ⅡR Rb)PRN24(ⅡF Cs)PRN29(ⅡR-M Rb)PRN32(ⅡA Rb)平均值RMS0.1420.22308.725039.044277.4561 837.746360.555Range0.4800.75119.387089.026733.8484 483.904887.906RMS3.1074.330112.712562.7532 328.2619 295.9132 051.179Range7.75012.050267.9851291.6295 230.2162 0788.2074 599.639RMS3.19307.105198.851787.8902 715.12110 099.9252 302.013Range5.16613.603433.8511 650.9495 917.43422 261.7225 047.120RMS7.86518.051370.0261 622.8956 303.94524 859.6045 530.398Range12.95135.261815.9583 573.47614 029.55055 396.61512 310.635RMS0.65001.546024.40570.605102.434214.58669.037Range1.36503.149049.915112.589167.356371.259117.605RMS2.04105.327145.675631.0212 441.2549 487.5852 118.816Range3.43810.257315.3831 399.5625 402.48421 045.9664 696.181RMS2.83306.098143.400619.0352 361.4129 299.2272 072.001Range5.19312.517317.0801 352.8725 246.81520 724.6124 609.848SA模型PRN01(ⅡF Rb)PRN10(ⅡA Cs)PRN22(ⅡR Rb)PRN24(ⅡF Cs)PRN29(ⅡR-M Rb)PRN32(ⅡA Rb)平均值RMS0.1870.1812.60912.881178.6031 442.339272.800Range0.2300.3206.31131.503509.0583 595.898690.553RMS4.7773.481216.8481 003.2004 024.59315 950.9753 533.979Range9.5769.576486.0412 253.5148 985.10335 600.7927 890.767RMS1.7664.783152.619597.7531 991.4677 277.8721 671.043Range3.74510.340335.6701 235.1224 316.72515 985.3073 647.818RMS7.22616.716340.9021 501.1535 837.36323 033.4795 122.807Range12.28432.516752.9333 305.80912 995.40351 331.66011 405.101RMS1.1561.84051.641251.2301 137.4384 618.9701 010.379Range2.2423.450114.375591.9582 562.26110 375.7722 275.010RMS2.1803.04331.088107.036385.4401 573.179350.327Range3.6574.63263.993219.556859.0603 570.501786.900RMS2.8825.007132.618578.8762 259.1518 982.8021 993.556Range5.28910.139293.2191 272.9115 037.93620 076.6564 449.358

3 結 語

從系統時間同步保持、鐘差參數優勢化等實踐來看，衛星鐘差預報的功能突出。為了提升衛星鐘差預報精度，以滿足實際應用需求，本文以衛星鐘差周期特征為切入點，基于頻譜分析方法和鐘差QP模型提出了一種鐘差預報的譜分析模型，并采用GPS衛星鐘差數據進行預報試驗。最后，以試驗數據為參考依據進一步分析了譜分析模型與QP模型的鐘差預報特征。結果表明，對于短期預報，譜分析模型的預報精度和穩定性優于QP模型；從長期預報實踐看，譜分析模型的預報偏差會明顯加大。另外，使用不同種類星載原子鐘，兩種模型的預報結果和穩定性也會不同。