食餌具有強Allee效應且捕食者有合作的擴散Leslie-Gower捕食-食餌模型的動力學性質

劉桂瀛, 徐本龍

(上海師范大學數理學院,200234,上海市)

0 引 言

在大多數研究捕食模型的文章中,假設獵物以邏輯模式生長. 然而,由于生殖促進,合作繁殖,反捕食者行為,覓食效率,環境調節等,人們認識到獵物可能具有Allee效應的增長率[1,2]. Allee效應主要分為2種: 強 Allee效應和弱Allee效應. 一般來說,存在一個強Allee效應的閾值種群水平,使得物種將在低于該閾值種群密度時滅絕. 然而,當增長率下降,但在低人口密度下保持正增長時,這被稱為弱Allee效應,這些性質不同于原始系統. 例如,Allee效應導致一個新的平衡點的出現,從而改變了其他平衡點的穩定性. 為了更好地描述捕食者—食餌的相互作用,在捕食者種群中引入捕食合作來反映捕食者為了有效捕捉孤立或成組獵物而采取的動力行為,例如,非洲獅[3],非洲野狗[4],鳥類[5],螞蟻[6].

本文研究食餌具有強Allee效應且捕食者有合作的Leslie-Gower捕食-食餌模型全局動力學問題

(1)

這里u(x,t)和v(x,t)分別是獵物和捕食者的密度函數,Ω是n中的一個有界域,邊界?Ω光滑;對?Ω施加無通量的邊界條件,使生態系統與外部環境封閉;d1和d2分別為獵物和捕食者的擴散系數;b∈(0,1)為Allee閾值,α表示捕食者在狩獵中合作的參數,α越大(越小),捕食者合作越強(弱). 假設參數μ>0為常數,表示捕食者內在增長率. (1)式的非空間的ODE模型在文獻[7]中被引入,得到當狩獵合作系數和Allee效應的嚴重程度足夠小時,分叉極限環是穩定的.

定義(1)式中的非線性項為

(2)

還表示為

(3)

將G(U)在U=(u,v)線性化,得

(4)

1 非負常數平衡解及其穩定性

其中

(5)

(6)

(1)式的平衡問題是橢圓邊值問題

(7)

(8)

因為

trQij=-(μjd1-Ai+μjd2+μ),

所以ξ2-trQijξ+detQij=0.

對i=1,j=0,有

注系統(1)(沒有原始數據)有一個在(0,0)處的奇點和1個或2個可能的正常數平衡,因此它可能在(0,0)和一個正平衡之間具有雙穩態結構.

2 解的整體存在性、唯一性和估計

(9)

(ⅱ)存在一個常數M>0,使得

(10)

證明(ⅰ) 首先應用上下解方法得正解的存在唯一性.

0≤v(x,t)≤v*(t).

下面應用拋物方程比較原理證解是永久的，即不會出現爆炸現象.

顯然,u滿足

(11)

由比較原理得u(x,t)≤φ(t),其中φ(t)是

(12)

(13)

(14)

(ⅱ)對于k≥0的整數,定義uk(x,t)=u(x,t+k),則uk滿足

(15)

(16)

3 解的動力學性質

本節主要研究(1)式解(u(x,t),v(x,t))的動力學性質. 我們給出一個一般結果.

定理3.1對所有d1,d2,β,μ>0,如果u0(x)≤b且(u0(x),v0(x))?(b,0),則

證明分為3種情形.

(17)

由強最大值原理,

矛盾. 因此,存在t0>0,使得0

4 非常數正平衡解(平穩模式)的存在性

捕食-食餌模型中令人感興趣的是各種物種是否能共存. 在物種均勻分布的情況下,這將由恒定的正解表示. 在空間非均勻的情況下,與時間無關的非常數正解(平穩模式)的存在,是系統動態豐富性的一個標志.

4.1(8)正解的估計

為討論(8)非常數正解的存在性與不存在性,在本節中,我們將給出正解的先驗正上界和下界. 先陳述2個命題.

Δw(x)+c(x)w(x)=0

(18)

(19)

利用上述命題可得下面的結果.

定理4.1令(u,v)是(8)式的正解,則

證明由(8)式的第1個方程,u滿足

由(8)式的第2個方程,v滿足

同理,由

4.2正平衡解的存在性

定理4.2令d*>0是一個固定的常數,則存在一個常數C*=C*(d*,b,α,Ω,N)>0,使得對d1≥d*,(8)的每一個可能的正解(u,v)滿足

5 總 結

本文利用泛函分析中的譜(特征值)理論,偏微分方程中的正則性理論,上下解方法等工具分析了非負常平衡解及其穩定性,并且得到了2物種共存與Allee閾值和狩獵系數α的關系：Allee閾值b較大時,只有狩獵合作系數α較小,2個物種才可能共存;而且隨著Allee閾值b的提高,維持兩個物種共存的狩獵系數α逐漸減小. 本文的最后得到了整體解的存在性及動力學性質.