多分辨分析的相似性*

李忠艷

(華北電力大學數理學院,102206,北京市)

0 引 言

設H=L2(). 令T和D是定義在H上的平移(酉)算子和擴張(酉)算子,即對任意f(t)∈L2(),

顯然,TD=DT2.函數ψ∈L2()稱作(單)正交小波如果}構成H的標準正交基.

設S?B(H),S的換位,記為S′,是指B(H)中所有與S中算子乘積運算滿足交換律的算子集合,也即S′={A∈B(H)|AB=BA,?B∈S}. {T}′是指平移算子T的換位.

定義1H的一個正交多分辨分析(MRA)M是指一列閉子空間{Vn:n∈}滿足如下條件:

(1)Vn?Vn+1,?n∈;

(3)DnV0=Vn,DVn=Vn+1,n∈;

(4)TV0=V0;

(5) 存在函數φ∈V0使得{Tφ=φ(x-l),∈,x∈}是V0的標準正交基.

條件(5)中的函數φ稱作多分辨分析的(單)生成元或尺度函數. 多分辨分析(MRA)提供了一個構造新小波的自然的框架[1,2]. 文獻[1]中一個著名的結果是由多分辨分析M構造正交小波ψ∈V1?V0.

設M={Vn,n∈}是一正交多分辨分析. 令φ是對應于M的尺度函數,ψ是由該多分辨分析構造的正交小波. 則由文獻[2]知,小波子空間

其中小波ψ∈W0.

關于子空間具有如下形式的分解

Wn⊕Vn=Vn+1,n∈和

因此集合{Tφ,DnT=ψ:n≥0,∈} 是H的標準正交基. 稱 〈M,φ,ψ〉是一個MSW-三聯組. 令MSW是所有MSW-三聯組的集合. 記Pφ表示從空間H到空間V0上的正交投影,則有Pφψ=0和

套N是H中包含{0}和H的完備的閉(嵌套)子空間鏈. 套代數T(N)是包含所有將N中元素作為不變子空間的算子代數,也即套代數是包含了所有上三角形算子的集合. 令PN表示從H到N上的投影. 則

如果存在一個從套M到套N的雙射θ,則稱套M和N是序同構的. 如果該雙射θ還滿足

dimθ(M2)/θ(M1)=dimM2/M1, ?M1?M2∈M,

則稱θ是保持維數的序同構.

如果存在可逆算子S使得SM=N,則稱套M和套N是相似的.

由定義1,將H的一個正交多分辨分析M擴充到M∪H,則這是一個完備的套,仍然記為M.以下無特殊說明,所有的多分辨分析都是這樣擴充后得到的套. 我們稱兩個多分辨分析M={Mn,n∈}∪H和N={Vn,n∈}∪H是相似的是指如果存在可逆算子S使得SM=N.兩個三聯組〈M,φ0,ψ0〉和〈N,φ,ψ〉稱作相似的,如果存在可逆算子S使得SM=N,Sφ0=φ,Sψ0=ψ.

關于正交多分辨分析小波集合W整體性質的研究,特別是拓撲性質——道路連通性的研究,在文獻[3-5]中,作者證明了所有正交多分辨分析小波集合是道路連通的結果. 同時在文獻[4,5]中,作者給出了所有正交多分辨分析的尺度函數集合也是道路連通的結論. 即在三聯組集合MSW中,尚未作為整體集合性質討論的只有多分辨分析集合 M. 關于它有趣的問題是:H的所有正交多分辨分析集合{Mj,j∈Λ}中任意兩個是否是相似的? 任意兩個三聯組是否是相似的? 本文我們將回答這兩個問題，同時還考察了多分辨分析M所生成的套代數T(M)的雙模結構.

1 正交多分辨分析的局部換位與相似

設ψ是一正交小波,令

Cψ(D,T):={A∈B(H):ADnTψ=DnTAψ, ?n,∈},

Uψ(D,T):={U:U是Cψ(D,T)中的酉算子}.

集合Cψ(D,T)稱作算子對{D,T}在ψ的局部換位[6]. 令W(D,T)是H中所有正交小波集合. 設ψ0是W(D,T)中任意確定的正交小波,在文獻[6]中證明了正交小波局部換位算子參數化的結果,即W(D,T)=Uψ0(D,T)ψ0的結論,且在Uψ0(D,T) 和 W(D,T)存在雙射θ使得θ(U)=Uψ0.

稱酉算子U將一個MSW-三聯組〈M0,φ0,ψ0〉映射到MSW-三聯組〈M,φ,ψ〉,如果

φ=Uφ0，ψ=Uψ0，V0′=UV0，Vn′=DnV0′,n∈，M={Vn′:n∈}.

記作〈M,φ,ψ〉:=U〈M0,φ0,ψ0〉.

對于一個MSW-三聯組〈M0,φ0,ψ0〉, 定義

U(M0,φ0,ψ0):={U:U是C(M0,φ0,ψ0)中的酉算子}.

對于每一個MSW-三聯〈M,φ,ψ〉,顯然{D,T}′中的酉算子集合是U(M,φ,ψ)的子集.

利用正交小波的局部換位算子參數化的結果,在文獻[7]給出了MSW-三聯組集合MSW的如下算子參數化結果.

引理1[7]設〈M0,φ0,ψ0〉是一確定的MSW-三聯組. 則由Γ(U)=U〈M0,φ0,ψ0〉定義的映射

Γ:U(M0,φ0,ψ0)→MSW

是雙射.

定理1H中任意兩個正交多分辨分析M和N是相似的.

證明假設由M={Vj,j∈}確定的MSW-三聯是引理1中的〈M0,φ0,ψ0〉,N={Vj′,j∈}確定的MSW-三聯是〈N,φ,ψ〉,它們對映的小波子空間分別記為Wj和Wj′. 由引理1知,存在酉算子U使得

〈N,φ,ψ〉=U〈M0,φ0,ψ0〉.

由于U∈C(M0,φ0,ψ0),UT=TU.又由于{Tnφ0:n∈}是V0的標準正交基, 所以

推論1三聯組集合MSW中的任意兩個MSW-三聯組是相似的.

證明見定理1的證明.

注1由定理1的證明知,對于由多分辨分析M和多分辨分析N生成的套代數T(M)和套代數T(N),顯然成立關系

UT(M)U*=T(UM)=T(N).

2 多生成元正交多分辨分析的局部換位與相似

H的r重多正交多分辨分析(r-MRA)M[8]是指一列閉子空間{Vn:n∈}滿足定義1中條件(1)～(4),還滿足如下條件:

(5′)存在函數向量

Φ(x)=(φ1(x),φ2(x),…,φr(x)),φi(x)∈L2(),i=1,2,…,r,

使得{Tnφj(x),j=1,2…,r,n∈}是V0的標準正交基, 其中Φ(x)稱為r-重生成元,或r-重尺度函數.

由r-重多生成元正交多分辨分析可以構造r-重多正交小波Ψ(x)=(ψ1(x),ψ2(x),…,ψr(x)), 其中ψi(x)∈W0=V1?V0,i=1,2,…,r,使得{DnTψi,n,∈,i=1,2,…r}是L2()的標準正交基. 其中小波子空間,i=1,2,…,r},n∈.同樣地有子空間分解關系

Wn⊕Vn=Vn+1,n∈;

因此,集合{Tφi,DnTψi:n≥0,∈,i=1,…,r}是H的標準正交基. 仍然用PΦ表示到子空間V0上的正交投影,則

設M是r-重多分辨分析，Φ=(φ1,…,φr)是對應的r-重尺度函數,Ψ=(ψ1,…,ψr)是由該多分辨分析生成的r-重多正交小波,稱〈M,Φ,Ψ〉是一個r-MSW-三聯組. 所有這樣的r-MSW-三聯組的集合記做r-MSW.

設Ψ是r-重多正交小波,算子{D,T}在Ψ的局部換位定義為

CΨ(D,T)={A∈B(H):ADnTΨ=DnTAΨ, ?n,∈}=

{A∈B(H):ADnTψi=DnTAψi,i=1,…,r,?n,∈}.

稱酉算子U將一個r-MSW三聯組〈M0,Φ0,Ψ0〉映射到r-MSW三聯組〈M,Φ,Ψ〉,如果

Φ=UΦ0,i.e.φi=Uφ0i,i=1,2,…,r;

Ψ=UΨ0,i.e.ψi=Uψ0i,i=1,2,…,r;

V0′=UV0，Vn′=DnV0′,n∈，M={Vn′:n∈}.

記作〈M,φ,ψ〉:=U〈M0,Φ0,Ψ0〉.

設〈M0,Φ0,Ψ0〉是一個r-MSW三聯組,定義

U(M0,Φ0,Ψ0):={U:U是C(M0,Φ0,Ψ0)中的酉算子},

其中UΨ0(D,T)是CΨ(D,T)中酉算子集合.

令Wr(D,T)是H中所有r-重多正交小波集合. 設Ψ0=(ψ01,…,ψ0r)是Wr(D,T)中任意確定的正交小波,在文獻[9]中給出了r-重多正交小波局部換位算子參數化的結果,即Wr(D,T)=UΨ0(D,T)ψ0的結果,且在UΨ0(D,T) 和 Wr(D,T)存在雙射θ使得θ(U)=UΨ0.利用該結果,在文獻[10]中給出了r-MSW三聯組集合r-MSW的算子參數化結果.

引理2[10]設〈M0,Φ0,Ψ0〉是一確定的r-MSW-三聯組. 則由I(U)=U〈M0,Φ0,Ψ0〉定義的映射

I:U(M0,Φ0,Ψ0)→r-MSW

是雙射.

由引理2,類似于定理1的證明,可得如下結果.

定理2H中任意兩個r-重多生成元正交多分辨分析M和N是相似的.

推論2三聯組集合r-MSW中的任意兩個r-MSW-三聯組是相似的.

3 正交多分辨分析生成套代數的雙模

文獻[11]詳細刻畫了抽象的所有類型的套生成套代數的雙模結構,我們借助該文的討論方法說明正交多分辨分析N作為Hilbert空間H=L2()特殊的套,算子代數B(H) 是關于套代數T(N)主范數雙模的結論,該結果是文獻[11]的特例.

設B1,B2?B(H)是子代數,且設A?B(H)是范數閉的線性子空間. 如果B2·A·B1?A,稱A是一個B2(左)-B1(右)雙模. 如果B1=B2=B,稱A是一個B-雙模. 如果存在一個元素G∈B(H)使得A=[B2·G·B1], 稱A為主范數雙模. 其中[·]表示線性范數閉包.

對于多分辨分析N={Nj,j∈}∪H,由所有從H到N上的投影算子生成的Von-Neumann 代數IN是B(H)的交換 Von-Neumann子代數.

令x是H中IN的可分標準(單位)向量. 定義映射Φ:N→[0,1]使得Φ(N)=〈PNx,x〉=‖PNx‖2.映射Φ是1-1的保持N中(包含)序的映射,其像集Φ(N)是[0,1]的緊子集,且包含點{0,1}. 這樣的映射Φ不唯一,但是所有不同的這樣映射的像集都是彼此序同構且同胚的. 稱N中一個網{Nα}強算子拓撲收斂到N0∈N 當且僅當在[0,1]中Φ(Nα)→Φ(N0).也即此時將套N和正交投影套{PN}等同起來. 我們可以將N中的元素N用Φ(N)指標索引. 下面的記號形如N={Nλ:λ∈Λ?[0,1]}的套均指集合Λ是由這樣一個指標映射的像集合. 如果Λ是一個無限集合,用α和β分別表示Λ的極小和極大極限點. 設λ1≤λ2,λ1,λ2∈Λ.記投影算子P=N[λ1,λ2]=PNλ2-PNλ1且K=PH.則N [λ1,λ2]={P(N):N∈N}是K的一個套. N[λ1,λ2] 稱為N的區間套. 算子N[λ1,λ2]稱作N-區間[11].

引理3 設N是Hilbert空間H=L2()的正交多分辨分析所構成的套,假設其包含一個無限子套N0={Nn,n∈}使得對所有的n∈,

dim(Nn+1-Nn)=dim(N1-N0),

且∩{Nn:n∈}={0}, ∪{Nn:n∈}=H.

證明由于N={Nn,n∈}∪H是H的正交多分辨分析,令ψ是其對應的小波函數. 由于…?Nn-1?Nn?Nn+1?…, 則

且∩{Nn:n∈}={0}, ∪{Nn:n∈}=H.

定理3 設N是H的任意正交多分辨分析,則B(H)是由其生成的套代數T(N)的主范數雙模.

…?N-3?N-2?N-1?N0?N1?N2?N3?…,

…?P3?P2?P1?P0=Q0?Q1?Q2?Q3?….

由N的子空間的結構,則依照算子強拓撲，

limPn=0且dim(Pn-Pn+1)=+∞;

limQn=I且dim(Qn+1-Qn)=+∞,n∈∪{0}.

記En=Qn-Qn-1,n∈,且E-n=Pn-1-Pn,n∈.對于n∈{0}, 記Mn=∪{Ei:i≤n,i≠0}.令

M={Mn:n∈{0}}∪{0,IH}.

套M是PN的一個子套. 對于n∈{0}, 令Un是從支集子空間EnH(小波子空間)到像子空間E-nH(小波子空間)的部分等距算子. 定義

則U是酉算子. 現說明U就是雙模生成元(見文獻[11]命題3的證明). 對任意T∈B(H), 存在正的可逆算子{Ti}和復數{αi}使得

即B(H)=[T(N)·U·T(N)].