玩轉尺規作圖 積累活動經驗

劉仍軒

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2022年版）》增加了“尺規作圖”的有關內容和要求。本文結合“認識線”“三角形的認識”“周長的認識”“三角形的三邊關系”四節課例，從課程標準的新要求、教材修訂的新設想、教學實踐的新探索、教育價值的新思考四個方面，闡述了在小學階段通過“尺規作圖”的教學如何讓學生在玩中學、做中學、創中學，積累活動經驗，培養幾何直觀、推理意識和數學品格，最終提高學生的數學核心素養。

【關鍵詞】數學教學 尺規作圖 活動經驗

在空間與圖形領域的第二、三學段，增加了尺規作圖的有關要求。除保留傳統的“用圓規畫圓”之外，分別在“內容要求”“學業要求”“教學提示”中多次出現“用直尺和圓規……”的有關描述。何為尺規作圖？在小學引入尺規作圖有哪些教育價值？學生以什么樣的方式開啟尺規作圖體驗之旅？又如何將積累的活動經驗應用到后續的學習中？本文以四節課的教學實踐為例，闡述學生玩轉尺規作圖、積累活動經驗的新嘗試。

一、課程標準的新要求

（一）尺規作圖

尺規作圖是起源于古希臘的一個古老的研究課題，指用沒有刻度的直尺和圓規，在有限次數的前提下，解決不同的平面幾何作圖問題。2022年版數學課標在案例26“用直尺和圓規作等長線段”中也明確指出，這里的直尺是指“無刻度的直尺（或不看直尺的刻度）”。

數學教育家傅種孫曾指出，直尺，既直又長;圓規，腿長而且開閉靈活。它們有定線、作圓、求交點三種功能。尺規作圖將工具限定為無刻度直尺和兩腳可開合的圓規，雖有限制，兩種工具卻能相互結合發揮其效能，主要體現在：①過兩個已知點作一條直線;②確定兩條已知直線的交點;③已知圓心和半徑作圓;④確定已知直線和已知圓（?。┑慕稽c;⑤確定兩個已知圓（?。┑慕稽c。上述幾條也稱為作圖公法。運用有限工具，探索無限可能，體現了數學的簡潔美，也體現了數學學科對培養人的邏輯思維能力和理性精神的重要作用。

（二）課標變化

與2011年版數學課標相比，2022年版數學課標關于尺規作圖的有關內容主要體現在兩個方面：用直尺和圓規作一條線段等于已知線段;用直尺和圓規畫三角形，探索三角形任意兩邊之和大于第三邊。

二、教材修訂的新設想

基于課程標準的新變化，我們需要考慮知識結構順序的調整問題，具體包括以下幾個方面。

（一）“周長”相關內容移至“線段、射線、直線”之后

在2011年版數學課標中，“結合實例認識周長”安排在第一學段（1～3年級），而“結合實例了解線段、射線和直線”則安排在第二學段（4～6年級）。2022年版課標關于“周長”和“線段”的內容都安排在第二學段（3～4年級），但由于在“認識周長”內容中增加了尺規作圖的有關內容，而尺規作圖首次出現在“作等長線段”中，因此針對第二學段的教材結構，需要先學習有關“線段”的內容，后學習有關“周長”的內容，并在相應的單元分別增加有關尺規作圖的內容。

（二）“三角形的認識”和“三邊關系”需安排在不同的學段

2011年版數學課標中，“認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊”安排在第二學段（4～6年級），現行各版本數學教材將三角形的認識和三邊關系也大都安排在同一個單元。而在2022年版數學課標中，“認識三角形和四邊形，會根據圖形特征對三角形和四邊形進行分類”安排在第二學段（3～4年級），“知道三角形任意兩邊之和大于第三邊”則安排在第三學段（5～6年級）。因此，現行教材有關“三角形”的單元需要拆分，分別安排在兩個學段，在相應的單元分別增加有關尺規作圖的內容。

（三）“周長”的教學安排在“三角形的認識”之后

2011年版數學課標中，由于“認識周長”和“認識三角形”分別安排在第一學段（1～3年級）和第二學段（4～6年級），現行數學教材通常在三年級安排“周長的認識”，在四年級安排“三角形的認識”。

2022年版數學課標中，兩部分內容均在第二學段（3～4年級）呈現。關于“周長的認識”“學業要求”“教學提示”均指出，要讓學生經歷用直尺和圓規將三角形的三條邊畫到一條直線上的過程，引導學生自主探索三角形的周長，對此，教材中也有相應的呈現。

筆者建議教學時可將“三角形的認識”安排在“周長的認識”之前。關于“三角形的認識”，2022年版數學課標在“學業要求”和“教學提示”中均有如下相關描述：根據角的特征對三角形分類，認識直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形;根據邊相等的關系，認識等腰三角形和等邊三角形。所有這些特征中，并未提到有關“高”的內容。馬云鵬老師認為，“圖形的認識”的重點是認識圖形本身的特征，底和高是否是三角形本身的特征需要思考。因此，筆者建議在“三角形的認識”單元只學習三角形的定義、分類等內容，而有關“高”的內容后移至第三學段（5～6年級）“多邊形的面積”單元。這樣，一是解決了“三角形的認識”前移而有關“垂線”的內容尚未學習的問題;二是在學習周長時可深化認識三角形“首尾相接”的特征;三是在探究多邊形面積的過程中產生認識“高”的必要性，體現了學習“高”的價值。

三、教學實踐的新探索

教師在小學數學尺規作圖的教學實踐中應充分思考四個作圖內容之間的內在關聯。首先，在尺規作圖的教學實踐中，以“作等長線段”為尺規作圖的開啟，讓學生在初步嘗試中感受“尺”和“規”的相互作用。其次，“作等邊三角形”及“認識周長”中的尺規作圖都可以看作是“作等長線段”的應用。用尺規作等邊三角形，是把“作等長線段”由一維拓展到二維空間，學生感受到畫出一條等長線段后，只有借助直尺和圓規，才能找到等邊三角形的另一個頂點，進而作出等邊三角形，也可以進一步感受三角形的特征;在認識周長時，則需要經歷三次“作等長線段”的過程，直觀理解周長的概念，也可以進一步鞏固三角形的特征。最后，運用尺規作圖探索三角形的三邊關系時，學生不僅可以借助尺規作三角形，還可以結合尺規作圖的過程進行推理，該過程可視為學生對尺規作圖的深化應用。

基于此，在教學實踐中，以尺規作圖四個內容之間的聯系為切入點，以螺旋上升的結構進行整體架構，讓學生在玩一玩、比一比、畫一畫的活動中，拾級而上，打通關聯，形成思維鏈，不斷積累數學活動經驗，循序漸進地促進數學核心素養的提升。

（一）初探尺規，作等長線段

在“認識線”一課中，當學生認識了線段之后，教師引導學生用直尺和圓規作給定線段的等長線段，感知線段長度與兩點間距離的關系。這是學生在小學階段第一次接觸尺規作圖，是后續學生繼續學習尺規作圖的起始和基礎。

教學片段1：

師：你能想辦法畫一條與已知線段AB長度相等的線段嗎？

生：可以用尺子測量線段AB的長度，然后再畫與它相等的線段。

師：大家都想到了用有刻度的直尺測量、描畫。如果我們手中沒有測量的工具，可以怎么畫呢？請同學們開動腦筋，試一試。

生：我用本子比著這條線段，然后在本子邊緣處標上線段端點的記號，把本子移到空白處，借助記號標出兩個端點，再把兩個端點連起來，這條線段就與已知線段一樣長。

師：你的方法很巧妙。老師剛才看到，有的同學用本子，還有的同學用鉛筆，用了做標記的方法畫出了等長線段。我們還可以借助一對“好朋友”來幫忙——直尺和圓規。不過這把尺子可沒有刻度，敢挑戰嗎？把你的想法在小組里交流一下。

（學生嘗試探索，玩圓規，了解圓規構造、特性等）

師：哪位同學和大家交流一下？

生：我先用直尺畫一條直線，在直線上先畫出線段的其中一個端點。然后把圓規的兩腳分別放在已知線段的A和B兩個端點上，保持圓規兩腳尖距離不變，把圓規的針尖對準剛剛畫出的那個端點上，然后用圓規鉛筆在直線上畫一道弧，弧線與直線相交的這個位置就是線段的另一個端點，這樣，這條線段就與給出的線段一樣長了。

師：用直尺測量、用物體作記號和尺規作圖，這些不同的方法之間，有什么聯系？

生1：它們都可以畫出與已知線段等長的線段。

生2：都是先確定了線段的端點再連接。

師：確定了線段的兩個端點，這條線段也就確定了。那么，在作圖過程中，直尺和圓規都有什么作用呢？

生：直尺可以幫助我們確定直線或線段，圓規可以幫助我們確定給定線段的長度。

上述教學片段中，由于學生缺乏尺規作圖的經驗，教師引導學生在操作中不斷地過渡和深化，感受“尺規作圖”的優勢和價值。在拋出“想辦法畫與已知線段相等的線段”問題后，教師引導學生從用有刻度的直尺畫，到借助本子做標記畫，再到探究“尺規作圖”，層層遞進地進行探究，讓學生感受尺規作圖的簡潔和作用。

教學片段2：

師：現在只給一個點，如果以這個點作為線段的一個端點，你能再次借助圓規和直尺畫出與它等長的線段嗎？

（學生嘗試操作）

生：我先用圓規的針尖和鉛筆分別對準已知線段的兩個端點，保持圓規兩腳不動，把針尖對準給出的這個點畫弧，用鉛筆在弧上找一個點，把兩個點連接起來，這樣，這條線段就和已知線段的長度相等了。

師：用圓規畫出了小弧線，在小弧線上找到一個點，連接起來畫出等長線段。那弧線上還能找出這樣的點嗎？

生：弧線上能找到無數個點。

師：這樣的線段能找到多少條？你有什么發現？

生：所有這條弧上的點與已知點之間的線段長度都是一樣的。

上述教學片段中，學生經歷了給出一個點畫等長線段的探索過程，隨著探究的不斷深入，學生逐漸感受到圓弧上任意一點與已知點的距離都相等，將“作等長線段”的內涵進行了深化，為后續的學習打下了良好的基礎。

（二）應用拓展，作等邊三角形

在“三角形的認識”一課中，學生學習了什么是三角形和三角形的分類以后，教師可以嘗試讓學生運用尺規畫一個等邊三角形。教師給定幾條線段供學生選擇，引導學生基于“作等長線段”的經驗，從一維到二維，探索作等邊三角形的方法。

教學片段：

師：這里有幾條線段，可以選擇它們其中的一條為邊長作一個等邊三角形。請你先想象你要作的等邊三角形的樣子，再動手操作（見圖1）。

（學生嘗試動手操作，教師組織學生進行交流）

師：還有其他的畫法嗎？

師：為什么只用直尺測量長度后畫的不標準？

生：只用直尺很難正好找到三角形的第三個頂點，用圓規可以畫弧，就很容易找到第三個點了。

師：觀察用尺規畫出的這些不同的等邊三角形，你有什么發現？

生1：我發現這些三角形都是首尾相接的三條線段圍成的。

生2：我發現盡管這些等邊三角形的大小不同，但它們的形狀都是一樣的。

上述教學片段中，學生在會用尺規作等長線段的基礎上，從給定的不同線段中選擇一條線段為邊作等邊三角形。在交流其他畫法的尺規作圖的過程中，學生用圓規截取等長線段畫弧，尋找三角形的三個頂點進而用直尺連接三角形的三條邊，在動手操作中進一步感受三角形是由三條線段首尾相接圍成的圖形，感受尺規作圖的優勢。在學生呈現出用尺規作的邊長不等的等邊三角形后，教師組織學生進行討論，感受這些等邊三角形雖然大小不同但形狀唯一，幫助學生鞏固等邊三角形的特征。

（三）再探尺規，明晰周長本質

“周長的認識”一課中，在學生初步感知圖形一周邊線的長度就是它的周長這一概念后，教師出示一個三角形，布置動手操作任務，讓學生借助積累的“作等長線段”的經驗，探究三角形的周長。

教學片段：

師：你準備怎樣測量下面這個三角形的周長（見圖2）？

生：可以分別量出線段AB、BC、CA的長度，再把它們的長度加起來，結果就是三角形的周長。

師：你能試著用沒有刻度的直尺和圓規把三角形的三條邊畫在一條直線上嗎？

（學生嘗試動手操作，教師組織學生進行交流）

生：我先畫一條直線，再用圓規截取線段AB的長度，在直線上畫線段AB，再繼續以B為端點，截取線段BC的長度畫線段BC，再以C點為端點，以線段AC的長度畫線段CA′，弧線與直線的交點為點A′，線段AA′的長度就是三角形的周長，我量得三角形的周長是10厘米（見圖3）。

師：為什么線段AA′的長度就是三角形的周長？

生：因為用圓規作出的線段AB、BC、CA′的長度與三角形的三條邊對應相等，而且AB、BC、CA′三條線段是首尾相接的，也就是AB+BC+CA′=AA′，所以AA′的長度就是三角形的周長。

師：作圖的時候，你有什么要提醒大家的嗎？

生：把三條邊畫在直線上的時候一定要首尾相接，只有首尾相接，畫出來的線段的長度才是三角形的周長。

師：你的思維真嚴謹，說得有理有據。除了可以以點A為起點畫出三角形的三條邊，還可以怎樣畫？

生：還可以從點B和點C展開。

師：這三種方法有什么不同點和相同點？

生：起點位置不一樣，畫的邊的順序也不一樣，但都把三條邊首尾相接畫在了一條直線上，他們的總和是不變的，都是三角形的周長。

師：無論選擇哪個起點展開作圖，三角形的周長都等于它三條邊的和，與邊的前后順序無關。

師：再來對比一開始測量周長的方法和尺規作圖的方法，又有什么不同？

生：一開始測量周長的方法是先分段測量然后再求和，尺規作圖的方法是先展開后測量。

師：是呀，不管哪種方法都是把三條邊的長度加起來，就是它的周長。

上述教學片段中，在核心問題“你能試著用沒有刻度的直尺和圓規把三角形的三條邊畫在一條直線上嗎”的引領下，學生借助尺規作圖，將三角形三條邊的長度之和轉化為一維的線段長度，可以使學生深刻地感悟周長的本質，又進一步加深了對三角形“首尾相接”的理解。在此基礎上，教師引導學生思考“還可以從哪個頂點展開”“這幾種方法有什么不同點和相同點”等問題，學生在手腦并用做數學、想數學的過程中進一步豐富了對“周長”概念的理解。

（四）深化明理，探索三邊關系

在“三角形的三邊關系”一課中，針對“能圍成三角形的三根小棒，它們的長度之間有怎樣的關系”的問題，教師可以引導學生先嘗試畫一個三角形，在此基礎上，借助尺規進一步探究三角形的三邊關系。

教學片段1：

師：要想研究三角形三條邊的關系，我們先畫一個三角形。這里有三條線段，請你以這三條線段為邊，用無刻度直尺和圓規畫一個三角形，邊畫邊體會三角形三條邊的關系（見圖4）。

（學生借助尺規畫三角形）

師：你是怎么畫的？

生：先用直尺畫一條射線，用圓規截取線段c的長度，畫出一條邊，標上字母BC，再用圓規量出線段a的長度，從B點出發畫弧線，再截取線段b的長度，從C點出發畫弧線，找到它們的交點，再用直尺連接交點，就作出了三角形ABC（見圖5）。

師：為什么這兩條弧的交點是三角形的第三個頂點呢？

生：因為這一點既滿足到B點是線段AB的長度，又滿足到C點是線段AC的長度。

師：觀察一下自己和同伴畫出的三角形，你有什么發現？

生：我們畫出的三角形的大小和形狀都是相同的。

師：結合畫的過程，你認為圍成三角形的三條邊的長度有什么關系？

生1：上面的兩條邊要搭起來，才能作出三角形。

生2：搭起來的這兩條邊的長度之和一定要比另一條邊長。

師：是這樣嗎？請你用喜歡的方法驗證，然后將驗證的方法和同伴交流一下。

生1：我把相交的兩條弧落下來，發現它們中間有重合，說明上面兩條邊加起來比下面這條邊長。

生2：我借助圓規，把AB與AC的長度連在一起，和BC比較，發現AB+AC>BC。

（教師轉動三角形，使AB邊在最下面）

生3：AB和BC加起來也比AC長。

生4：我畫的三角形和老師轉過來的一樣，下面本來就是最短的線段，那兩條邊之和當然大于下面這條邊了，所以BC+AC>AB。

師：你能概括地說一說，這個三角形三邊之間有什么關系嗎？

生：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

學生已經有用尺規作等邊三角形的經驗，教師放手讓學生借助已有的三條線段作一般的三角形，在作圖的過程中初步感受三角形的三邊關系。教師進而引導學生基于作圖進行思考，直觀地感受三角形上面的兩條邊搭起來的長度之和大于底下的邊。教師又進一步組織學生交流，引導學生多角度思考，引發學生提出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的猜想。

教學片段2：

師：剛才，我們在這一個三角形中有了發現，是不是所有的三角形都是這樣呢？

師：這里有幾組線段，你們可以借助這幾組線段進行研究，也可以在剛才作的三角形的基礎上進行驗證（見圖6）。

（學生進行探索和研究）

師：你們剛剛從三條線段能圍成和圍不成三角形兩個角度進行了驗證，現在能解決我們開始提出的問題了嗎？能圍成三角形的三根小棒，它們的長度之間有什么關系呢？

生：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

學生提出初步的猜想以后，教師引導學生借助尺規進行驗證，學生可以根據教師提供的線段進行研究，也可以借助已有的三角形進行研究。交流中，有的學生借助教師提供的線段嘗試作三角形，驗證圍成、圍不成的情況;有的學生從已有三角形出發，固定其中一條邊不變，在不斷縮短另外兩條邊的過程中，體會當兩條邊長度之和大于第三邊時，能圍成三角形，在直觀的變化中進一步發現、驗證規律。

綜上所述，學生歷經四次尺規作圖的活動，從“作等長線段”到“作等邊三角形”中將一維拓展為二維，再到“認識周長”中將二維轉化為一維，繼而在“三角形的三邊關系”中借助尺規在三角形一邊固定不變而另兩邊不斷變化中探尋、感受規律，學生將作圖經驗不斷應用到后續的探索中，在變與不變中明晰原理、厘清本質，認知從膚淺走向深刻、從單一走向豐滿、從粗略過渡到精準。

四、教育價值的新思考

尺規作圖植根于幾何圖形的內在特征和圖形之間的聯系，作圖的過程不僅僅是一種操作，更是數學探究和思維的過程，是聯系、重構、內化幾何知識的過程，是培養學生幾何直觀、推理意識和數學品格的有效載體。上述四節課中對尺規作圖的實踐應用，體現了教師對學生數學核心素養的培育。

（一）以尺規作圖育幾何直觀

史寧中教授指出：“平面幾何的教育價值何在？我以為除了公認的幾何證明外，就是培養幾何直觀能力了?！睅缀沃庇^主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣，能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類;根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質;建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型;利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路。幾何直觀有助于學生把握問題的本質，明晰思維的路徑。

在“認識線”的教學中，教師引導學生思考：“如果沒有測量工具，可以怎么畫？”在探索不同工具的過程中，學生感受到尺規作圖的簡潔、直觀，巧妙地解決了“作等長線段”的問題，從形象的思維視角逐步向抽象的空間形式轉化，有助于學生幾何直觀能力的培養。

在“三角形的認識”教學中，教師引導學生自主選擇線段作為邊長作等邊三角形，學生借助尺規，根據已有線段逐步構建出等邊三角形，經歷了“想象—操作—說理—比較”的過程，發展了學生的幾何直觀能力。

在“周長的認識”教學中，教師引導學生借助尺規依次度量三角形的三條邊，并將其首尾相接連成一條長線段，學生直觀地理解了周長概念的本質，將抽象的關系與外在可感的圖式建立有力的聯結，促進思維由具體直觀逐步向更高級、更抽象的空間形式轉化，發展了學生的幾何直觀能力。

在“三角形的三邊關系”教學中，教師先是引導學生借助尺規作一般的三角形，學生直觀地感受到只要三角形的三邊確定，三角形的形狀就是唯一的，直觀地感受了三角形的穩定性。接著，學生在用尺規探究三角形的三邊關系時，直觀地感受“圍成”和“圍不成”的情況，發展了學生的幾何直觀能力。

（二）以尺規作圖育推理意識

推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，知道可以從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題或結論;能夠通過簡單的歸納或類比，猜想或發現一些初步的結論;通過法則運用，體驗數學從一般到特殊的論證過程;對自己及他人的問題解決過程給出合理解釋。推理意識有助于學生養成有條理的思維習慣，增強其交流能力，是學生形成推理能力的經驗基礎。

在“認識線”的教學中，教師給定一個點，讓學生再次嘗試畫等長線段，進而引發學生思考“這樣的點在弧上還能找到嗎？能找到多少個”，學生依據“作等長線段”的規則，通過邏輯思考和推理，推出“只要在弧上任意選一個點和給出的點連接，都能得到等長線段，這樣的線段有無數條”的結論。如此，學生的推理意識得以發展。

在“三角形的認識”教學中，教師引發學生思考“你是怎樣找到三角形的第三個頂點C的”，學生基于尺規作圖的過程進行反思，明晰三角形的第三個頂點只有與另外兩個頂點的距離都相等才是等邊三角形，進而確定兩弧的交點即為等邊三角形的第三個頂點，發展了學生的推理意識。

在“周長的認識”教學中，學生經歷了把三角形的三條邊畫在一條直線上的過程之后，教師引發學生思考“為什么長線段的長度就是三角形的周長”，引導學生明晰圖形的周長等于圖形所有邊的和。學生思維從操作實驗的直觀具象逐步向推理論證的嚴謹抽象過渡，豐富了學生對周長概念內涵的深刻理解。

在“三角形的三邊關系”教學中，教師引導學生從作出的已知三角形出發，先猜想三角形的三邊關系，進而展開驗證。有的學生選取教師提供的幾組線段進行驗證，有的學生在原有三角形的基礎上，固定一邊不變，逐漸縮短另外兩條邊，學生在動手操作、驗證猜想、歸納說理的過程中，感悟三角形的三邊關系，發展推理意識。

（三）以尺規作圖育數學品格

對數學教育而言，數學品格是比數學思想和數學意識更上位的價值追求，它是一種不斷生成、不斷累積并富有持久生機的知識，也是數學教育的原點，數學品格集中體現在思維嚴謹與理性精神兩個方面。尺規作圖以其直觀、簡潔、細致的操作，以及嚴密的思考，凸顯了數學獨有的文化魅力，培育了學生的數學品格。

在“認識線”的教學中，學生嘗試用自己的思維方法去解決問題，通過敘述作圖步驟將自己的想法充分表達，學生在獨立思考、探索創新的過程中，形成善于質疑、善于反思的理性精神。

在“三角形的認識”教學中，學生借助尺規作等邊三角形，進而有理有據地說明怎樣確定三角形的三個頂點及三條邊，明晰作出的圖形為什么是等邊三角形的道理。這種追根溯源的說理有效地培養了學生思維的條理性和嚴謹性，有利于學生養成嚴謹的數學思維品質。

在“周長的認識”教學中，學生運用尺規將周長轉化為一維的長度，從直觀的思維視角觀察、思考、分析，在交流表達的過程中，感受邏輯推理的嚴謹美、 精準表達的簡潔美和精確刻畫的細致美，形成思維縝密、有理有據的思維品質。

在“三角形的三邊關系”的教學中，學生借助尺規作圖畫出的三角形展開對三邊關系的合理猜想，進而用不同的方法進行驗證，并“持之有故，言之有理”地表達驗證的方法及過程，在求真求實中滋養理性精神。

尺規作圖是人類理性思維的瑰寶，是科學和藝術的完美結晶，體現了“真善美”。作為小學數學教學的新增內容，尺規作圖扎根幾何知識本質，助力學生數學思維發展，是學生幾何學習的有力抓手，教師應充分探索其教學實施路徑，發掘其教學價值，以尺規作圖培育學生的數學核心素養。