淺談模型遷移，提高解題能力

貴州省安順市關嶺民族高級中學 楊 勇 561300

彈性碰撞在高考中要求中只限于一維，這個知識點的綜合應用是高考的重點，也是難點之一.而在處理此類問題時，通常都是用動量守恒公式：以及能量守恒公式：，求出相應的未知量，但是在常規的化簡中會帶來很多的麻煩.為能夠更有效和簡便的處理兩質點彈性碰撞問題，下面從質心速度的角度來分析和解決此類問題，并對其模型進行相應的遷移，為高效解題提供有力的幫助.

1 問題分析

例題 如圖1 所示，光滑水平面上左端有一輕質彈簧，彈簧左端固定，右端與質量為mB物塊B相連，B處于靜止狀態.平面與一光滑曲面平滑連接.現將質量mA、可視為質點的物塊A從曲面上距水平面h=0.8m處由靜止釋放.mB=3mA，物塊A與B發生的是彈性正撞.重力加速度g取10m/s2.（1）求物塊A與物塊B第一次碰撞前瞬間的速度大??；（2）如果物塊B每次碰撞后再回到最初靜止的位置時都會立即被鎖定，而當他們再次碰撞前瞬間鎖定被解除，求出物塊A第3次碰撞后瞬間的速度大小.

圖1

解析一：動量守恒與能量守恒

（2）由于A、B發生彈性碰撞，規定向右為正，由動量守恒：，由能量守恒：，帶入數據得：=2m/s.當A再次與B發生彈性碰撞時，再用動量守恒及能量守恒進行計算，發生3 次碰撞后A的速度大小為0.5m/s，這樣反復的化簡增加了計算量，解題效率并不高.

解析二：質心速度

根據題意由①得A、B組成系統的碰撞前的速度為：vc=1m/s（方向向左），由⑨得，碰撞之后A的速度大小為：=2m/s（方向向右）.當A碰后又返回，在第二次碰撞之前質心速度為：vc=0.5m/s（方向向左），由⑨得，第二次碰撞之后A的速度大小為：=1m/s（方向向右）.同理可以求出A與B發生第三次碰撞之后的速度大小為0.5m/s，方向向右.

評價：在高中階段，對于一維彈性碰撞的兩體問題，通常是按照常規的化簡，把②和③聯立求解得碰撞之后A、B的速度公式：

在計算一些特殊的物理問題時，對公式的記憶是有一定的快捷性，但是通過比較發現，對式子⑨、⑩記憶比?、?簡單得多.因此，利用質心速度處理一維兩體彈性碰撞問題不僅使問題簡單化，而且對學生理解物理問題的能力和培養學生對問題的思考具有重要的意義.同理，可以把此方法延伸到其他類似的模型上，對學生的思維能力培養和解題能力的提高會有良好的效果.

2 模型遷移

物理模型是物理學科進行科學研究的重要體現，是把實際生活物體在一定條件下抽象出來，用數學等相關知識表達出來.在高中階段的物理學習中建立模型、還原模型、遷移模型，不僅是研究物理的重要方法，同時也是培養學生的創新思維能力和發散思維的合理方式.而模型遷移是把已知的模型規律遷移到具有相同規律的模型之上，比如：學了勻變速直線運動后，再學自由落體運動，最后把兩種模型應用于平拋運動，再把平拋運動模型遷移到具有相同規律的類平拋運動（帶電粒子垂直進入勻墻電場的運動等）；生活中的圓周運動模型遷移到天體運動、帶電粒子在磁場中的運動.模型遷移是物理研究的一種重要的科學方法，也是解決物理問題的有效方法.

遷移一：如圖2 所示，光滑水平面上左端與一光滑圓弧相切，質量為9m 的物塊B靜止在水平面上，另一質量為m的A物塊從曲面h=0.8m 的高度下滑，最后與B物塊發生彈性正碰，A、B兩物塊可以看成質點，假設水平面足夠長，請分析判斷A、B物塊最多能碰幾次？

圖2

評價:從以上的分析來看，用質心速度求解一維彈性碰撞問題，雖然也需要一定的計算過程，但是相對直接用動量守恒及能量守恒來說，應用質心速度計算時相對較為簡單，而且過程也簡潔.

遷移二：如圖3 所示，用力壓質量為0.2kg 的小球A使彈簧壓縮，靜止時彈性勢能EP=0.4J，彈簧左端固定在墻上，右端與A接觸但是不連接，B小球靜止在離A較遠的水平地面上，B的質量是A的3 倍，兩球可以視為質點，釋放A后，兩小球發生彈性正碰，請計算A、B碰撞后的速度及分析A、B是否發生第二碰撞？

圖3

解析：由題意，當小球A脫離彈簧時，由,所以A的速度為vA=2m/s，取向右的速度為正，則A、B組成系統的質心速度為：0.5m/s，當兩小球碰撞后，由質心速度與各質點速度的關系：2vc=vA+，2vc=vB+帶入數據得：=-1m/s,=1m/s.由于A、B的速度大小相等，因此A、B不會碰第二次.

評價：此模型看似簡單，包含了三個重要的物理過程，彈簧與小球A組成系統的機械能守恒，A、B組成系統的動量守恒及能量守恒，這是很多學生在分析物理過程時容易弄錯的過程，應用質心速度與各質點速度間的關系，這不僅培養了學生的思維能力，同時為學生在考試中贏得更多的時間，提高了解題的效率.

遷移三：如圖4所示，長度為l=2m 的水平傳送帶左右兩端與光滑的水平面等高，且平滑連接.傳送帶始終以2m/s的速率逆時針轉動.傳送帶左端水平面上有一輕質彈簧，彈簧左端固定，右端與質量為mB的物塊B相連，B處于靜止狀態.傳送帶右端水平面與一光滑曲面平滑連接.現將質量mA、可視為質點的物塊A從曲面上距水平面h=1.2m 處由靜止釋放.已知物塊A與傳送帶之間的動摩擦因數μ=0.2，mB=3mA，物塊A與B發生的是彈性正撞，碰撞時間極短，碰撞后B回到原來位置時立刻鎖住，重力加速度g取10m/s2.通過計算說明物塊A與物塊B第3次碰撞后的速度大小.

圖4

解析：本題是機械能守恒、傳送帶問題、動量守恒、一維彈性碰撞問題，計算時分成三個階段，曲面上的機械能守恒，傳送帶上的運動問題，碰撞時動量守恒.在曲面上：.在傳送帶上：物塊受到的合外力為f=μmg，則物塊在傳送帶上的加速度大小為a=2m/s2，由于物塊在傳送帶上先做勻減速直線運動，有：解得：v=4m/s.

說明物塊在傳送帶上一直做勻減速直線運動，所以A與B碰撞之前的速度大小為v=4m/s，由于A、B發生彈性碰撞，取向右為正方向，則vc=-1m/s，由-2vc=-v+vA，vA=2m/s.當A回到傳送帶上時做勻減速直線運動，假設A的速度減到零，有-2as=0-，解得s=1m，由于s＜l，因此A再次回到傳送帶左端時速度大小為=2m/s，再次與B發生彈性正碰，由質心速度與各質點速度間的關系，碰撞后A的速度大小為=1m/s，方向向右.同理可得，A、B發生第三次碰撞后瞬間A的速度大小為0.5m/s，方向向右.

評價：本題的模型雖然是與傳送帶結合的模型，但是與以上的模型具有相同的特點，發生彈性正碰后A球再次返回的速度特點與以上模型都一樣，看似很復雜的模型，但是只要認真分析，其過程與遷移一、遷移二類似.

通過以上的分析，不難發現，解決一維彈性正碰的兩體問題[2]，應用質心速度與各質點速度的關系比直接應用動量守恒及能量守恒要方便得多，同時把具有同類思想的問題模型進行聯系及遷移，總結解題方法，提高解題效率.