浙江省嘉善第二高級中學 魯和平 314100
在△ABC中,已知則角A的最大值為_______.
這是《平面向量及其應用》的單元測試卷中的一道填空題.得分情況很不理想.為此,我讓學生又重新認真做了一遍,然后專門用一節課,讓全班學生暢所欲言,盡情展示自己的解題方法.
師:根據題設條件,很容易化成向量的數量積的形式,然后得出三角形三邊的關系式,這就為運用余弦定理求解作了鋪墊.請問哪些同學是按照這條思路做的?
點評:本解法先根據向量數量積的定義得出關系式,再用余弦定理表示角,代入所得出的關系式,進一步得出c2-b2=2a2,接著繼續用余弦定理和基本不等式求解,思維縝密,環環相扣.
點評:此種解法不落俗套.與解法1的不同之處在于它巧妙運用了向量的運算,回避了三角形邊的關系的探討.再直接回歸向量數量積的定義,順理成章的想到基本不等式解決問題,單刀直入,游刃有余.
圖1
點評:解法3 的創新點是在不同的三角形內,以計算cosA作為橋梁,得出三角形邊的關系式.
師:以上三種解法本質上都是從代數角度解決問題.否向量本身就是數與形的高度統一和完美結合.請問有沒有同學是從幾何特征考慮的?
圖2
解法5:設△ABC中角A,B,C所對邊分別為a,b,c.如圖3延長AC至D點,使因 為所以BD⊥BC.以CD為直徑作圓O.則點B在圓上運動,當AB和圓O相切時,角A最大,則BA⊥BO,AO=2BO,故角
圖3
點評:此解法純從幾何本質入手,巧妙運用了圓的切線性質,將向量的幾何屬性暴露無遺,簡潔明快,拍案稱奇.
師:剛才兩位同學很好地領會了老師的意圖,深入挖掘了問題的幾何背景,使大家再一次感受到了向量的幾何魅力.下面是否有同學是從“角”的角度思考問題并加以解決的?
點評:此法的關鍵在于對a=-2bcosC,不是從“邊”的角度進行代數恒等變形,而是巧妙運用正弦定理,純從三角恒等變形著手,深入挖掘,最后運用兩角和的正切公式,輔之以基本不等式解決.
圖4
點評:此法的亮點在于利用三角形的射影定理介入,巧妙得出BC=2CE,再運用兩角差的正切關系求解,前面主要應用余弦函數的單調性,再運用正切函數的單調性,也使問題迎刃而解.
向量小題以其綜合性強、解題入口寬、解法豐富多彩而深受命題者的青睞.同時也是學生較為畏懼的題型.作為填空題的把關題,即能考查學生對向量知識的理解深度,也能很好地管窺出學生綜合運用知識,駕馭各種解題技巧解決問題的能力.在向量問題的中,也能有效地檢測學生的數學運算、邏輯推理、直觀想象等重要的核心素養.
高一學生其智力正處于飛速發展的關鍵時期.教師只要引導得法、大膽放手,學生就會迸發出無限的創造力.互動雙贏、教學相長,正是教師所追求的教學境界.