一道2021年高考試題的探究與反思

重慶市合川中學 黃富國 王安國 唐義恒 401520

1 試題呈現

試題：（2021 年新高考Ⅰ卷第19 題）記△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊AC上，BDsin ∠ABC=asinC.（1）證明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos ∠ABC.

本題為平面幾何與三角的綜合，主要考察使用正、余弦定理求三角的邊長和內角的余弦等內容；能力層面突出考查學生的數形結合能力、推理論證能力、辯證思維能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力，側重考查邏輯推理、數學運算和直觀想象等素養.試題分兩問，梯度明顯，既能讓絕大數考生有所收獲，又能區分不同層次的學生.試題常規，但內涵豐富，解法多樣，極具探究價值，是一道值得研究的好題.試題（1）由題設，BD=，由正弦定理知，又b2=ac，∴BD=b，得證.下面著重探討第（2）問.

2 解法探究

評注：試題為有一個公共邊的兩個三角形結構模型，BD為公共邊，∠ADB,∠CDB互補，分別在兩個三角形中使用余弦定理，成功地將兩個三角形的邊、角銜接起來，從而得到試題的解答.這種解法常規，也是學生最容易想到，但要注意多解的取舍、漏解、錯解等現象.

評注：有一個公共邊的兩個三角形結構模型也可以用向量表示，把表示，借助向量的數量積運算，得到三角形邊角等式，使用余弦定理，進而得到答案.從解答過程來看，向量法與解法一的三余弦法本質上是一致的.實際上，對于余弦定理的證明教材上也是采用向量法.

評注：考慮到向量用坐標表示，在△ABC中，先確定點A、C坐標，再探究滿足條件點B的運動軌跡.自然會想到，通過建系、設點，求點B的軌跡方程，得點B在圓上運動，再把條件b2=ac坐標化，得到關于點B方程組，解得點B的坐標，利用向量夾角公式求解.相比于解法一、二，解析法不但能減少運算，還形象直觀展示滿足條件的三角形，避免了三角形多解的討論.

解法四（平面幾何法）:由條件b2=ac，從數列角度來看，a,b,c成等比數列，且b為等比中項，則有a＞b＞c或c＞b＞a，所以∠ABC為銳角.下面分別討論a＞b＞c或c＞b＞a時三角形△ABC的圖形.

當a＞b＞c時，BD=b，∠ABC為銳角，滿足條件的三角形△ABC如圖2所示.由于，所以sin ∠ABC=sin ∠BDC,又∠BDC為鈍角，故∠ABC=∠ADB.在△ABC和△ABD中，∠A=∠A，∠ABC=∠ADB,所以△ABC～△ABD.時，，所以cos ∠ABC=.當c＞b＞a時，BD=b，∠ABC為銳角，滿足條件的三角形△ABC如圖3 所示.同理，△ABC～△BCD,，不合題意.綜上，cos ∠ABC=.

圖2

圖3

3 試題拓展

從上面的解法中，自然會聯想到，如果點D在AC邊上移動時，cos ∠ABC的取值如何變化；當點D移動到什么位置時只有一解，什么位置時又存在兩解.受到解法四的啟發，下面我們嘗試從平面幾何的角度對試題進行拓展.

拓展2：記△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b2=ac，點D在邊CA上或AC的延長線上，BD=b.若AD=λCD(λ＞0)，求cos ∠ABC.

圖4

圖5

4 反思與小結

4.1 回歸教材，立足通性通法

考題的模型來源于課本例題和習題模型，有一條公共邊的兩個三角形.這條公共邊可以是三角形的中線、角平分線或任意一條邊.在人教B版教材必修5中，這一模型的試題出現多次，如教材P5 例2，教材P10 習題1-1B：4，教材P20自測與評估第2題、第5題，這些題的公共邊為角平分線或中線；又如在教材1.2 應用舉例問題2 中，測量地面上兩個不能到達的地方之間的距離——兩海島之間的距離.銜接兩個斜三角形的公共邊就是任意的一條邊.此類問題求解的基本思路都是利用公共邊和兩角互補，去銜接兩個三角形，從而達到解決問題的目的.由此可見，高考要考查的考點與教材所要傳達的知識點是一脈相承的，課本上著重要傳達的思想、解決問題的方法及對應的知識點就是高考中的考點.因此，教師在教學中做到回歸基礎，從教材中最基本的解決問題的方法入手，總結出同類問題的通性通法.

4.2 重視知識間的聯系

“課標（2017 年版）”指出：教學中注意溝通各內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力.

就本題而言，關鍵是對“有一個公共邊的兩個三角形”結構認識，利用兩角互補銜接兩個三角形得到解法1；聯想到這一結構可以用向量表示就有了解法2；考慮到滿足條件的三角線的形狀，進而探究點的軌跡也就有了解法3；想到b2=ac可以看成等比數列，也可以看成兩個三角形中對應邊成比例，于是就有了解法4.可見，每一種解法的背后都是知識與方法的交融.以上的四種方法溝通了代數、幾何、向量、解析幾何的聯系，通過對問題的求解，讓學生感受代數法、向量法、解析法、平面幾何的應用，體會到分類討論、數形結合、轉化與化歸等數學思想方法，深化了學生對知識、思想、方法的理解.我們在教學的過程中要幫助學生建構知識的內在聯系，完善認知結構.在不斷學習的過程中理解數學、感悟數學，激發學生學習數學的靈感，提升學生的能力，培養學生的數學素養.

4.3 重視平面幾何知識在解三角中的應用

三角形是最基本的幾何圖形，解三角形主要是利用正余弦定理研究三角形邊長、角度、面積和周長等，本質還是幾何問題.初中通過平面幾何的性質研究幾何圖形，如特殊的三角形、勾股定理、三角形相似與全等；高中強調用代數的方法研究幾何問題，所以在高中幾何學習中學生容易忽視圖形的幾何性質.一些學生存在一個誤區，認為高中的知識“高級”，對初中學過的平面幾何知識不屑一顧，不重視平面幾何知識在解三角形的應用.高考通常以解三角形、解析幾何試題為載體來考察平面幾何知識.從解法4可以看到，利用圖形幾何性質,借助平面幾何的知識，不但能避開繁瑣的代數運算,使解決問題的過程得到簡化,而且能更好地揭示問題的本質.

總之，解三角形在高中數學中占有重要的地位，是高考的重點.試題注重考察基礎性和綜合性.在高中復習中，要回歸教材，注重通性通法，對試題進行一題多解，挖掘知識間的聯系，嘗試對試題進行拓展，培養學生發散思維和創新意識，感受數學和諧與統一之美.