例談2021年全國數學高考乙卷第21題（2）突破方法

甘肅省永昌縣第一高級中學 趙忠平 737200

2021 年高考全國數學I(乙)卷命題聚焦核心素養，突出關鍵能力考查，科學把握必備知識與關鍵能力的關聯，穩中求新，滿足了基礎性、綜合性、應用性和創新性的考查要求.其中第21 題為全卷的壓軸題，命題角度新，突破口寬，但深入解答難，很好的考查了學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算等方面的數學素養.筆者談談這道題目的解題突破方法，以及解析幾何教學的備考策略，供參考.

1 高考試題及突破方法分析

題目：已知拋物線C:x2=2py()p＞0 的焦點為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1 上的點的距離的最小值為4.(1)求p；（2）若點P在圓M上，PA、PB是C的兩條切線，A、B是切點，求△PAB面積的最大值.

本題第（1）問易求p=2;第（2）問可以從多個角度切入，下面具體分析：

點評:求面積的最值問題一般轉化為弦長問題處理，所以設直線AB方程，與拋物線方程聯立方程組，結合根與系數關系及弦長公式求出底邊長，再利用點到直線距離公式求出高，從而得到面積表達式，利用函數單調性求最值.

點評：本解法選擇以切線方程為切入點，運用判別式表征相切關系，利用減元思想及整體代換，實現問題的求解.

策略3：設出A(x1,y1)、B(x2,y2)，利用導數方法表示出切線斜率，進一步寫出兩條切線方程，利用同構方程得到切點弦方程.

點評：本解法選擇以坐標為切入點的策略，從導數的視角研究切點，推導出切點弦方程，進一步求出弦長和P到直線AB的距離，表示出面積再利用函數單調性求最值.此處也可以推導出拋物線切點弦方程的一般形式，即過P(x0,y0)做拋物線x2=2py(p＞0)的兩條切線PA、PB，切點為A、B，則直線AB方程為x0x=p(y0+y)，如果直接利用這個結論則更容易求解.

策略4：以設點A、B的坐標為切入點，得到AB的中點N的坐標和兩條切線PA、PB交 點P的坐標，發現PN∥y軸，把△PAB分割成兩個三角形求面積的和.

點評：在求圖形面積時將圖形分割成若干小的圖形求面積之和是常見解題策略，本題在求解過程中發現PN∥y軸，從而將△PAB分割成兩個三角形求其面積之和，實現問題的巧妙轉化.

2 備考策略

2.1 重視學生數學多元表征能力和數學抽象能力的培養

解析幾何教學中要教會學生“先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理、論證和求解”的基本思路，不要忽視“幾何要素的分析”這一環[1].在解析幾何解題教學中，引導學生對同一個條件，從不同角度、利用不同語言進行表征，比較表征結果的優劣，在解題教學中要對不同的表征方法做出示范，引導學生體會不同表征方式對于解題過程的具體影響，從中選擇最優表征方法.例如對于曲線的切線問題有代數法、幾何法、導數法等多種表征方法.

2.2 重視解析幾何中學生運算素養的培養

解析幾何試題對學生運算能力要求很高，因此解析幾何教學中要把握解析幾何運算的特點，低起點、緩坡度、有預見性地指導學生進行解析幾何運算，讓學生體會、感悟、總結解析幾何運算技巧.另外，解析幾何教學中，提高運算能力不能僅僅要從代數角度入手，還要努力提高學生的幾何圖形分析能力，要在落實數形結合思想上下功夫[1].

2.3 重視解析幾何與其他知識交匯點的教學

高考試題突出以“一核四層四翼”的高考評價標準，突出以知識立意、能力立意向素養立意的轉變，因此在解析幾何教學中要重視知識交匯點的教學，引導學生對交匯問題進行深度體驗、發散思考、拓展延伸，使學生在自主體驗中積累經驗、學會思考、提升素養.