飛秒光場中鋰原子三重電離的光電子關聯動量與能量譜研究（特邀）

劉士煒，葉地發，劉杰

（1 北京計算科學研究中心，北京100193）

（2 北京應用物理與計算數學研究所，北京100088）

（3 中國工程物理研究院研究生院，北京100193）

0 引言

飛秒強激光場與原子相互作用是探索原子內部結構及其運動規律的主要實驗技術之一，其研究熱點集中在激光場驅動的電子再碰撞過程中的高階閾上電離、高次諧波產生以及非序列電離等現象［1-2］。隨著激光技術以及實驗測量手段的發展，原子多重電離中的電子關聯逐漸成為當前強場領域所關心的熱點問題之一［3］。近年來，許多研究分別在實驗與理論上成功探索了強激光場中稀有氣體原子的雙電離動力學過程中的電子關聯［4］。此外，在一些三重電離、四重電離的實驗觀測中也看到了再碰撞引起的所謂的“膝蓋（knee）結構［5］”以及在長波長范圍內可能存在從（e，2e）到（e，ne）的散射機制［6］，即多個電子同時發生再碰撞電離。對于更高電荷態離子，相對論效應和磁場效應的出現將使電子關聯行為更為復雜［7-9］。理論上通?？梢杂猛暾牧孔恿W描述激光與原子相互作用。然而到目前為止，僅獲得了針對激光驅動氦原子的含時薛定諤方程（Time Dependent Schr?dinger Equation，TDSE）的數值解［10］。也有一些近似的方法用以研究多重電離，例如通過一維TDSE 來探討鋰三重電離過程中關于波函數對稱性的作用［11］以及采用時變緊密耦合（Time Dependent Close-Coupling，TDCC）方法研究鋰電離過程中四體Coulomb 問題的碎裂構型等［12-14］。另一方面，一些工作成功地利用了費米分子動力學方法（Fermionic Molecular Dynamics，FMD）來研究激光原子相互作用、激光分子相互作用以及激光團簇相互作用［15］。此模型是利用Heisenberg 勢與Pauli 勢的輔助排斥勢對經典軌道方法進行量子修正［16］。近年來，一些研究成功運用該模型研究了碳原子在強激光脈沖下響應的四重電離［17］、激光驅動單個氙原子中六個價電子的動力學過程［18］、強激光場中銣原子［19］以及氬原子的電離等［20-21］。

本文通過改進的多電子原子系統的動力學經典軌道蒙特卡羅（Classical trajectory Monte Carlo with the Heisenberg potential，CTMC-H）模型［19，22］來研究激光驅動鋰（lithium，Li）原子的電離問題。該方法是在傳統的經典軌道模型的基礎上引入了Heisenberg 勢的量子修正。通過最小化系統哈密頓方法并對照實驗上鋰各個價態的電離能，獲得了鋰原子的基態穩定構型，并通過求解經典牛頓方程研究了強度范圍為1013W/cm2至1017W/cm2的鋰的總電離概率。我們發現在鋰的雙電離和三重電離中都存在基于再散射機制的非序列電離過程。通過Li3+的相關動量譜重點研究了三重電離中的再散射行為。此外，根據Dalitz 圖［23］中映射的電子能量分布，發現在非序列三重電離中存在清晰的電子關聯印記。若沒有特殊說明，本文中的公式符號均采用原子單位制（atomic units，a.u.）。

1 經典多體模型

在研究電子碰撞等問題中，傳統的經典軌道蒙特卡羅（Classical Trajectory Monte Carlo，CTMC）方法是將電子視為經典點粒子，在充分考慮電子與原子核以及電子與電子之間的庫侖相互作用的情況下，利用經典牛頓運動方程來求解電子隨時間演化的動力學過程。電子的初始動量和位置通過蒙特卡羅隨機取樣獲得，例如束縛電子的初始分布可以從具有固定總能量（一般是原子的基態能量）的微正則系綜中取樣［24］。但是在對于多電子原子動力學的模擬中，由于不存在束縛電子的能量下限使得經典方法描述的原子會發生非物理的自電離而不穩定?；贖eisenberg 勢與Pauli 勢修正的FMD 方法［16］可以成功的模擬高Z原子的經典穩定構型［25］，并在涉及多體碰撞和強場電離等方面有重要應用［19，22，26-28］。本文模型是基于經典方法的改進［29］，系統的哈密頓量為

式中，電子i的位置和動量分別用ri和pi表示。在電子與核的相互作用中引入Heisenberg 勢的量子修正來模擬Heisenberg 不確定原理，其目的是為了禁止電子進入量子力學禁止的經典相空間區域［16］，其形式為

式中，參數α控制Heisenberg 勢的剛性，ξi用以擬合原子的電離能并形成穩定的準經典基態構型，可以通過?H/?ri=0，?H/?pi=0 來確定，即體系所有可能出現的運動狀態中，基態的能量處于極值。在本文模型中N=Z=3。通過將電子一個接一個地添加獲得鋰元素各個價態的哈密頓量并在每個步驟中重復上述操作，獲得了Li 原子的電子初態構型，其中3 個電子處于同一平面上并顯示了明顯的殼層結構，內殼層的兩個電子成對地排列在原子核周圍，外層的電子離原子核的距離比其他兩個電子稍遠，穩定構型的相關參數為Ip1=0.198，Ip2=2.780，Ip3=4.500；ξ1=1.569，ξ2=0.992，ξ3=0.954；r1=2.408，r2=0.361，r3=0.398，如圖1 所示。我們注意到位于同一殼層的兩個電子離核距離r2、r3的取值略有不同，這是因為（與先前的FMD方法［16］不同）引入了不同的擬合參數ξi來精確模擬鋰原子各個價態的電離能。

圖1 鋰原子基態的經典電子構型以及鋰原子隨激光強度變化的電離率，激光波長為800 nmFig.1 The configuration of classical lithium atom and the ionization rate of Li as a function of the laser intensities，the laser wavelength is 800 nm

系統的哈密頓量式（1）在所有位置向量和所有動量向量的單獨旋轉下是不變的［30］。這意味著H(r1，r2，r3；p1，p2，p3)=H(Ω1r1，Ω1r2，Ω1r3；Ω2p1，Ω2p2，Ω2p3)，其中Ω1和Ω2是兩個不同的Euler 旋轉操作。這一事實在模擬中被用來生成具有相同總能量的電子的隨機初始條件。針對上述基態構型利用蒙特卡羅采樣技術隨機Euler 旋轉來獲取Li 原子基態下具有不同初始位置和動量的電子系綜［29］。線極化激光場的電場的形式取E(t)=E0f(t)cos(ωt)ex，其中E0和ω分別是激光場的振幅和頻率，包絡函數為f(t)=sin2(πt/T)，T為脈沖長度，激光磁場B由ez×E/c給出，其中c是光速。

2 主要結果

2.1 Li 原子的多重電離率

在本文的模擬中，激光場與鋰原子相互作用的系統動力學由正則方程描述，這是因為強激光能夠將電子加速到足夠大的速度，使得電子的德布羅意波長（電子位置的不確定性）遠小于其在強激光場中的抖動距離（電子軌跡的典型空間尺度）；以800 nm，1 PW/cm2的線偏振激光為例，電子在光場中的抖動速度為vquiver=E/ω≈3 a.u.，對應的德布羅意波長為λ=h/vquiver≈0.3 a.u.而電子在光場中的抖動距離λquiver=E/ω2≈50 a.u.遠大于λ。本文后續主要關注遠大于1 PW/cm2強度的激光場中的原子電離過程。因此，在計算中，經典軌道方法可以近似描述電子的動力學過程。使用標準的4～5 階Runge-Kutta 方法來數值求解3 個電子的經典動力學方程，且根據電子的最終能量是否為正來判斷電離軌道［31］。對應每一個確定的激光參數，跟蹤超過106條不同初始條件下的經典軌道以確保統計結果的收斂性。每條軌道的電子初始狀態由蒙特卡羅采樣技術對Li 原子的基態構型進行隨機Euler 旋轉得到。在追蹤大量軌跡后獲得電離率Pn=kn/ktot，其中kn是末態離子的電荷數為n的電離事件的軌道數，而ktot是模擬的總軌道數。圖1（b）是800 nm 線偏振激光中強度范圍在0.01 PW/cm2至250 PW/cm2的Li 的各個價態的電離率曲線，激光的脈沖寬度T=25 fs。由于Li 原子屬于電子結構較為特殊的堿金屬元素，第一電離能Ip1很小即最外層電子很容易發生電離，而次外層電子由于相對大的電離能而較難電離，于是發現在很長的激光參數范圍內主要通道是單電離。因此，由再碰撞引起的雙電離膝蓋結構的激光參數范圍也很長［4，31］。本文更關心的是三重電離通道，這主要是因為三重電離包含了兩個電子以上的電子關聯?？梢钥吹饺仉婋x的激光參數大約在大于3 PW/cm2的強度范圍內。而在約60 PW/cm2時，Li3+的離子產量出現膝蓋結構的拐點［32-33］，即激光強度小于60 PW/cm2的三重電離屬于非序列三重電離。

2.2 Li3+離子的動量譜

電離后的離子動量譜可以為研究電離的整個過程提供更為豐富的動力學信息。根據動量守恒，利用電子的末態動量計算三重電離Li3+的動量分布。將鋰原子體系的能量寫為

式中，Pion表示鋰原子核的動量。在這里將原子核、三個電子之間的相互作用記為V。因此能量隨時間的變化為

式中，vion，vi分別表示原子核以及三個電子的速度。根據帶電粒子在電磁場中的洛倫茲方程

將式（5）帶入式（4）得到

式中，Pk、pk，i分別表示原子核以及三個電子在激光傳播方向（k=E×B）的動量，c是光速。在激光場與鋰原子相互作用的過程中，電子通過吸收一定的光子能量來克服庫侖勢的束縛，根據能量守恒有n?ω=Eion+其中Eion和Ei分別表示原子核與電子的末態能量，Ipi為電離能，n是鋰原子體系吸收的光子個數。在電離過程中，光子的線動量Δpk=n?ω/c會傳遞給電離電子和原子核，即n?ω/c=［Eion+結合式（6）可以看出，系統沿激光傳播方向動量的改變量正比于體系總能量的改變量，比例常數為1/c［34］。因此，Li3+激光電場極化方向、磁場極化方向和傳播方向末動量（PE，PB，Pk）為

對比圖2（a）與（d），發現強度為20 PW/cm2下Li3+在激光極化方向PE的動量分布呈現出雙峰結構，而強度為100 PW/cm2的Li3+激光極化方向動量譜表現為在零值附近的尖峰狀結構。一般情況下，電離電子的動量是電離時電子的初始動量與激光場驅動電子運動的漂移動量的和，而電子的漂移動量依賴于電離時激光場的矢勢，通常認為束縛電子電離時的初始動量很?。梢杂靡粋€峰值在0 的高斯分布描述）。如果電子是被激光場越壘電離，則電子的電離率取決于激光場的相位，并在電場峰值附近電離的概率最大，此時的激光場的矢勢較小，因此電子末態動量將集中在零動量附近。如果第一次電離的電子有一定的概率返回母離子（通常在場強幾乎為零時返回）并與其它電子發生再碰撞后電離，則最后的能量約為2Up，Up=E20/(4ω2)表示電子在激光場中的平均抖動動能。而母離子中的內殼層電子在碰撞后由于能量較低，不能直接電離而被激發到激發態上，等到在下一個場強峰值附近電離而獲得了較小的末態動量，因此Li3+的動量分布將會偏離零點。在20 PW/cm2下Li3+離子的雙峰狀動量分布表明這時的電離過程是再散射導致的非序列三重電離。而100 PW/cm2的Li3+離子的高斯型動量分布表明該強度下的電離的主要通道是序列三重電離。圖2（b）與（e）中展示了不同場強下Li3+在激光磁場方向的動量PB的分布，動量譜始終表現為峰值在零點的尖峰狀結構。對于激光傳播方向k，帶電粒子會受到洛倫茲力的作用。因此，Li3+動量峰狀結構分布的峰值會輕微偏離零點，如圖2（c）和（f）。這是由于在電離過程中對激光場能量的吸收伴隨著光子動量的傳遞，根據式（7），系統會在光場的傳播方向額外獲得動量。

圖2 Li3+電離的動量分布Fig.2 The momentum distribution of Li3+

2.3 三重電離的電子能量關聯譜

在不同的電離機制下，電子的最終能量分配是不同的。為了進一步研究再碰撞對三重電離的影響，在圖3 中利用Dalitz 圖［22］的形式描述了不同場強下電子的能量分配。Dalitz 圖是通過在等邊三角形坐標系上繪制每個電子的相對能量εi來可視化三重電離的完整動力學過程。電子的相對能量定義為εi=Ei/(E1+E2+E3)。如圖3 所示，在Dalitz 圖中三角形的中心表示三個電子的能量分配相同，而三角形的三個頂點則表示某個電子幾乎攜帶了系統的所有能量。

圖3 不同激光場強下鋰原子三重電離后電離電子的能量分配Fig.3 Energy distribution of ionization electron of lithium triple ionization

當激光強度為100 PW/cm2時，順序電離占主導地位，即電子一個接一個的被激光場剝離。電離主要發生在激光場振蕩的峰值附近，對應的激光矢勢接近于0，因此電子的末態能量會接近于0，即分配主要集中在Dalitz 圖等邊三角形的三條邊上，如圖3（a）所示。此外，我們看到三角形頂點處的概率分布最大，即某個電子幾乎攜帶了系統所有能量逃逸。通過回溯三重電離的電子經典軌跡，發現這是一類典型電子軌道造成的。圖4（a）是這種典型的電子軌道。最外層電子由于較小的電離能，會在激光場上升沿電離且末態能量接近于0。而內殼層電子有一定的概率在場峰值后電離，并在激光場反向后加速返回原子核附近發生散射，使得電子攜帶遠大于其他電子的能量逃逸，但是這種散射是一種軟碰撞過程，即電子返回的離核距離大致在十幾到幾十個a.u.左右。這表明即使在強度高達1017W/cm2的序列三重電離區域也存在電子再散射過程。

圖4 Li 原子三重電離的典型再散射軌跡Fig.4 Typical re-scattering trajectories of lithium triple ionization

圖3（b）是20 PW/cm2強度下三重電離電子的能量分布?？梢钥闯鲭娮幽芰糠峙涓与S機，概率分布彌漫在整個正三角形空間內，Dalitz 圖的不同位置對應于不同的電子關聯方式。為了揭示背后的物理機制，我們分析了不同強度下發生三重電離的各個電子的電離時間分布發現與序列電離不同，20 PW/cm2強度下的第二次電離和第三次電離的電離時間有明顯的重合，通過追溯電子軌道，發現再碰撞過程扮演了重要角色。主要有以下三種電離機制：1）電離的電子被外場驅動返回母離子時，會與其他兩個電子發生再碰撞，并通過e-e相互作用將部分能量重新分配給其他兩個電子，這兩個電子大致在場強為零時被同時電離并在激光場中獲得大量能量，這對應于圖3（b）中的區域A；2）第一個電離的電子被外場驅動回母離子發生再碰撞時獲得了大量的能量，而其他的兩個電子幾乎同時電離但獲得了少許能量，這對應于圖3（b）中的區域B；在圖3（b）中的區域C 還有一種電離類型，這是清晰的（e，3e）電子關聯機制，率先電離的電子返回母離子會被短暫的束縛并與其他兩個電子發生熱化，最后三個電子大致在場峰值處同時電離，獲得能量會大致相同，其典型電子軌跡可參見如圖4（b）。

3 結論

本文通過利用Heisenberg 勢的量子修正改進了傳統的經典軌道蒙特卡羅方法來數值研究了800 nm 線偏振激光場中Li 原子三重電離的再散射過程，在強度約為20 PW/cm2的非序列電離區域，最外層電子在激光脈沖上升沿電離后返回母離子與內殼層的兩個電子發生再碰撞并通過e-e相互作用將能量重新隨機分配。在強度約為100 PW/cm2的序列電離區域，內殼層電子有一定的概率返回母離子發生彈性散射而獲得更高的逃逸能量。

近年來，結合冷原子囚禁技術、強激光脈沖和超快技術建立的磁光阱反沖離子動量譜（Magneto-Optical Trap Recoil Ion Momentum Spectroscopy，MOTRIMS）平臺［35］能夠將強場多重電離和超快過程研究擴展到堿金屬原子。我們揭示的Li 三重電離再散射過程值得進一步關注，這些預測可以通過基于MOTRIMS 的符合測量進行驗證。由于堿金屬獨特的原子結構和超冷的靶溫，超冷堿金屬原子在高分辨動量譜研究超快飛秒光場誘導的多體相互作用方面有著顯著的應用。本文計算模型與模擬結果為飛秒光場中多重電離的精確測量提供了理論參考，同時也為在阿秒尺度上有效操控多個電子提供可借鑒的理論方案。