齒條類刀具展成加工修形齒廓的理論設計

馮錦平 周國鵬 藍公仆

（1 湖北科技學院 工程技術研究院， 湖北 咸寧 437100）

（2 湖北香城智能機電研究院有限公司， 湖北 咸寧 437100）

（3 佛山科學技術學院 物理與光電工程學院＆粵港澳智能微納光電技術聯合實驗室， 廣東 佛山 528000）

（4 廣東唯仁醫療科技有限公司 廣東省“珠江人才計劃”引進創新創業團隊， 廣東 佛山 528000）

0 引言

基節誤差是引起齒輪嚙入嚙出沖擊的重要因素，易導致齒頂刮行和接觸應力大幅增加，惡化齒輪傳動系統的振動噪聲和縮短齒輪壽命。通過齒廓修形可以有效地改善上述問題，并提高齒輪傳動的精度和平穩性[1-3]。

目前，針對齒廓修形的研究多側重于修形參數的設計與優化，如采用B 樣條曲線修形[4]，高階曲線修形[5]，以承載傳動誤差、齒面閃溫為目標優化多工況下齒輪的修形參數[6-7]等。隨著數控技術的發展，業界逐漸開展了修形齒輪數控加工方法的研究，比如通過優化設計CNC 磨齒或者銑齒機床的多軸運動參數，加工齒輪拓撲齒形[8-10]，但是，對采用齒條類刀具加工修形齒廓的研究還很少。齒條類刀具（如滾刀）被大量地應用于齒輪加工。通常采用修形刀具加工修形齒廓，但是，修形刀具的加工適應性差，特定參數的刀具只能加工相應的修形齒廓，造成了修形刀具繁多，利用率低下等問題。隨著數控技術的發展和刀具精度的提高，研究標準齒條類刀具展成加工修形齒廓的理論，有利于提高標準齒條類刀具的加工能力，避免對齒條類刀具進行修形加工，從而降低刀具成本。馮顯英等[11-12]以標準漸開線齒輪滾刀為例，提出了正交聯動變位創成修形齒廓的方法，通過增大刀具與工件的徑向距離，同時控制刀具沿其軸向的位移，采用求解刀具包絡線的方法，模擬了修形齒廓的加工效果。李左章等[13]在加工完漸開線齒廓后，基于正交聯動變位位置模擬了數控滾刀加工修形齒廓的效果，并將該方法移植到華中I型數控系統以及YK5612數控插齒機中。以上研究采用求解包絡線的方法，側重考慮修形齒廓的包絡創成過程，從理論和實踐的角度證實了采用齒條類刀具數控加工修形齒廓的可行性，但沒有定量對比模擬加工的修形齒廓與設計修形齒廓的一致性，沒有考慮修形齒廓的嚙合點偏離漸開線齒廓嚙合線后對刀具加工位置的影響，也未說明刀具與齒輪在加工1個修形齒廓轉角周期內的相對運動關系。

本文中圍繞齒條類刀具加工修形齒廓的全時刻速度控制方程和精確地加工復現出修形齒廓這兩個核心問題，不考慮齒輪加工過程中的熱變形、承載變形及制造加工誤差對加工修形齒廓的影響，提出了采用分段的傳動誤差模型描述齒條類刀具在全時刻的速度控制方程的方法；采用輪齒接觸理論，精確地計算出修形齒廓與齒條類刀具在嚙合線外嚙合的傳動誤差，確保在理想情況下齒條類刀具展成修形齒廓理論上的完整性和準確性。以齒條類刀具加工直齒輪修形齒廓為例，加工工序為：先完成漸開線齒廓加工；再基于正交聯動變位理論，將刀具移動到修形加工位置；最后，依據傳動誤差模型控制齒條類刀具（如滾刀）的旋轉速度，完成修形齒廓的加工。根據加工1個修形齒廓周期內刀具與齒輪工件的嚙合狀態，將整體傳動誤差曲線分解為3段，分別為加工修形齒廓的修形加工段、與漸開線齒廓嚙合的漸開線嚙合段和未與輪齒接觸的空嚙合過渡段。在設計修形加工段傳動誤差模型時，充分考慮了齒條類刀具與修形齒廓的展成點偏離標準漸開線齒廓嚙合線對傳動誤差的影響，確保了模擬展成的修形齒廓與理想設計修形齒廓一致，完善了采用齒條類刀具展成加工修形齒廓的理論。

1 齒條刀具與齒輪的傳動誤差設計

標準齒條刀具在圖1所示標準位置加工漸開線齒輪時，由于重合度大于1，齒條刀具與齒輪在齒頂I處和齒根II 處同時嚙合，若對齒輪進行修形加工，會破壞相鄰輪齒根部齒廓的形狀，所以，標準齒條刀具在標準位置不能加工修形齒廓。通過增大齒條刀具和齒輪的徑向距離至圖1中的修形位置，可減小重合度。當重合度小于1時，齒條刀具與齒輪只存在1個嚙合點，可以實現對齒頂齒廓的修形加工，同時避免了與相鄰齒的互相干涉。完整的修形加工工序為：先加工標準漸開線齒輪；再將齒條刀具移位到修形位置，加工齒頂修形齒廓。為了保證加工過程具有可延續性，修形位置齒條刀具與標準位置齒條刀具的加工輪廓保持共線。因此，修形位置與標準位置的刀具與漸開線齒輪具有統一的嚙合位置關系。

圖1 齒條刀具與齒輪嚙合位置Fig.1 Meshing positions of rack cutters and gears

根據輪齒嚙合分析理論，已知修形齒廓參數、刀具齒廓參數，可以確定刀具與修形齒輪的相對運動關系即傳動誤差。反之，若齒條刀具按照設計的傳動誤差加工齒輪，可加工對應的修形齒廓。所以，為了加工齒頂修形齒廓，設計了如圖2所示的傳動誤差曲線。圖2 中，M3M4為修形加工段，對應齒輪修形段齒廓與齒條刀具的傳動誤差，基于齒廓理論修形方程及輪齒接觸分析理論計算；M2M3為漸開線嚙合段，傳動誤差為0，對應齒輪的一部分漸開線齒廓與齒條刀具嚙合；M1M2為空嚙合過渡段，齒輪與齒條刀具在該段嚙合時未產生實際接觸，其主要作用是實現齒條刀具與輪齒平滑的進入和退出嚙合，并保證刀具速度平滑。以圖1中加工齒輪右側齒頂修形齒廓為例，M1、M4分別為對應齒頂退出嚙合位置；M2為對應齒條刀具與漸開線齒廓切入嚙合位置；M3為對應齒廓修形起始位置。

圖2 齒條刀具與齒輪嚙合的傳動誤差曲線Fig.2 Transmission error curve of gear meshing with rack cutters

傳動誤差的設計流程如圖3所示。設計的關鍵在于根據齒廓理論修形方程精確推導計算修形齒輪的嚙合轉角和對應的傳動誤差。

圖3 齒輪齒條刀具嚙合傳動誤差模型設計流程Fig.3 Transmission error model design process of gears and rack cutters

齒輪齒條刀具傳動誤差的設計過程如下所述。

1.1 標準漸開線齒廓建模

首先，建立齒條刀具的輪廓方程；然后，按照理論傳動關系，依據輪齒接觸理論，采用坐標變換矩陣方法，建立標準漸開線齒廓模型。

圖4（a）所示為齒條刀具的模型。記rt為齒條坐標系otxtyt下刀具直線段AC的齊次向量，有

式中，yt≥πm/4 -BCsinαn，

其中，ha為齒頂高系數；ca為頂隙系數；m為模數；αn為壓力角；ρ為刀具CD段的圓弧半徑。

圖4（b）所示為齒輪與齒條刀具嚙合時的坐標關系。以S1表示漸開線齒輪的局部坐標系o1x1y1，隨齒輪轉動而轉動；以St表示齒條坐標系otxtyt；以Sa1表示輔助坐標系oa1xa1ya1，其坐標軸保持固定；M為嚙合點；xi為變位系數；rp為分度圓半徑；θ為漸開線齒輪與齒條嚙合時的理論轉角。根據齊次坐標變換方法可得

圖4 齒條刀具模型及加工嚙合坐標關系Fig.4 Rack cutter model and coordinate relation of machining meshing

式中，r_a1、r_1分別為齒條刀具輪廓在輔助坐標系Sa1、齒輪局部坐標系S1下的齊次向量；Rz（θ）、Tx（L）、Ty（L）均為坐標轉換矩陣，表達式分別為

齒條刀具與齒輪在M點嚙合，滿足嚙合方程，嚙合點處的齒廓法向向量和相對速度向量的點積為0，即

式中，n為嚙合點M的齒廓法向量；v為齒條刀具與齒輪在嚙合點處的相對速度。根據式（8），可將θ表達為rt中變量yt的函數。給定式（3）、式（4）中yt的取值，則可確定對應的嚙合點坐標，得到漸開線齒廓。

1.2 修形齒廓建模

齒廓理論修形方程通常沿嚙合線表示為

式中，ek為最大修形量，本文中取負值；x為修形點相對界點的距離；l為最大修形點與界點的距離；x、l均沿嚙合線度量，界點是修形起始點；冪指數b一般取1.0～2.0。齒廓修形方程在嚙合線上的度量方法如圖5所示。

圖5 齒廓修形方程在嚙合線上的度量Fig.5 Measurement of tooth profile modification equation along the meshing line

將漸開線齒廓沿嚙合線向輪齒內部偏移相應修形量可獲得修形齒廓。在輔助坐標系Sa1下，標準漸開線齒輪與齒條刀具的嚙合線通過節點，則通過在Sa1坐標系中將漸開線齒廓沿嚙合線偏移相應修形量，得到在圖1修形位置加工的修形齒廓表達式為

式中，Δar為齒條刀具修形位置相對標準位置沿xa1方向的距離；Δat為沿ya1方向的距離，均采用第2節中提供的設計方法確定。當齒輪按圖1所示運行方向加工右側修形齒廓時，上式取“+”號；加工左側修形齒廓時，上式取“-”號。θM3和θM4分別為漸開線齒輪在修形起始點和終止點與刀具嚙合時的轉角，由式（8）求解。

通過旋轉Sa1坐標系角度θ與S1重合，得到在S1坐標系下的修形齒廓為

1.3 修形加工段的傳動誤差計算

第1.1 節中定義了理論轉角θ，表示標準漸開線齒廓與齒條刀具嚙合時齒輪的轉角；在此引入實際轉角?，表示修形齒廓與齒條刀具嚙合時的齒輪轉角。加工修形齒廓時，嚙合點位于嚙合線外，需要采用數值方法求解修形嚙合點的坐標，再與處于相同轉角位置的標準漸開線齒輪的嚙合點坐標對比，獲取修形齒廓與齒條刀具的傳動誤差。在加工修形齒廓過程中，實際轉角?與理論轉角θ是兩個獨立的變量。修形齒廓在坐標系Sa1中的表達式為

根據刀具與修形齒廓在嚙合點處切線的斜率相等，可得

式中，r_a1_pm_mesh（1）為嚙合點在Sa1坐標系中的x坐標值；r_a1_pm_mesh（2）為y坐標值；αn為齒輪壓力角。

由式（8）中可知，理論轉角θ是yt的函數，在給定齒條刀具yt的情況下，由式（13）求解實際轉角?，代入式（12），可計算得到修形齒輪轉角為?時的嚙合點坐標值。

為了計算傳動誤差，還需要求解漸開線齒輪轉角θ等于?時的嚙合點坐標值。由式（3）和式（8），獲得標準漸開線齒輪的嚙合點坐標為

已知齒條刀具輪廓斜率及加工修形齒廓和漸開線齒廓的嚙合點坐標，可計算刀具沿yt方向的平移量即傳動誤差。

齒條刀具齒廓延長線與ya1軸的交點y值為

式中，by_pm為加工修形齒廓對應的y軸截距；by_inv為加工漸開線齒廓對應的y軸截距；加工右側修形齒廓時取“+”號，加工左側修形齒廓時取“-”號。

齒輪齒條刀具的傳動誤差為

1.4 修形加工段傳動誤差擬合建模

求解出位于各轉角的修形齒輪與齒條刀具的傳動誤差后，擬合修形加工段傳動誤差Te_pm與齒輪實際轉角?的表達式。修形起始點對應的轉角按式（13）求解，記為?M3，建立傳動誤差曲線M3M4段的三次項擬合方程為

式中，p1、p2均為待求的擬合系數；?M3≤?≤?M4，其中，?M4根據修形齒廓點的向量模與齒頂圓半徑相等求解。

1.5 一齒轉角周期的傳動誤差模型

M3M4為修形加工段，傳動誤差按式（17）求解。

M2M3為漸開線嚙合段，傳動誤差為0，即

式中，?M2≤?≤?M3；?M2=?M3-?M2M3。

M2M3是空嚙合過渡段與修形加工段傳動誤差的銜接線，不可為負值，最小值可取0?？梢宰孕薪o定合理的小轉角?M2M3。

M1M2為空嚙合過渡段，其方程為

式中，?M1≤?1≤?M2；?M1=?M4- 2π/zg。

根據刀具運動的連續性條件，即傳動誤差曲線在M1點、M2點的位置坐標及其斜率（由式（17）、式（18）求導）相等，可以列出4個等式，唯一確定A1、A2、A3、A4。

2 刀具與齒輪的徑向及切向位置設計

在修形位置，齒條刀具的直線段齒廓頂點與圖6所示齒輪嚙合線的D0點嚙合。其中，D0E0線段的距離為lc，計算式為

根據圖6中的幾何關系，可以確定修形位置齒條刀具的分度線與齒輪中心的徑向距ar為

圖6 修形位置齒條刀具分度線與齒輪中心的徑向距離Fig.6 Radial distance between the rack cutter dividing line and the gear center at the modification position

式中，ra為齒頂圓半徑；rb為基圓半徑。

則齒條刀具的修形位置比標準位置沿齒輪的徑向（xa1坐標）遠離齒輪的距離Δar為

齒條刀具再沿齒輪切向移動，使刀具齒廓在修形位置和標準位置共線，則齒條刀具的修形位置相對標準位置沿齒輪切向（ya1坐標）移動距離Δat為

式中，加工圖1 所示齒輪右齒廓時取“+”號；加工左齒廓時取“-”號。

3 刀具與齒輪的速比關系

實際加工時，齒條類刀具可以是滾刀或者其他。將齒條類刀具與齒輪的位置關系轉換成速度關系，設齒輪轉速恒為ωg，刀具齒廓的位移s（t）等于等效齒條刀具的展成位移，則

將式（17）～式（19）中的實際轉角?以ωgt代替，根據傳遞誤差的周期性，可得傳動誤差Te（t）。

已知s（t），以滾刀刀具為例，齒輪工件勻速轉動時，刀具的轉動速度方程ωt（t）為

式中，zt為滾刀頭數。

按照以上的加工位置關系和速度方程，可以數控加工齒頂修形齒廓。

4 修形示例

以直齒輪為例，設模數為6 mm，齒數為20，壓力角為20°，變位系數為0，齒頂高系數為1，最大修形量為15.0 μm。則沿嚙合線度量的理論修形方程為

以單頭滾刀加工齒輪右側修形齒廓為例，求解出修形齒輪轉角與相應的傳動誤差后，根據式（17）擬合得到修形加工段的傳動誤差方程為

擬合效果如圖7 所示。R2系數為1，標準差為4.3×10-7mm。

圖7 齒輪修形加工段傳動誤差Fig.7 Transmission error of gear modification section

求解空嚙合過渡段的傳動誤差方程為

圖8所示為計算得到的齒條刀具與齒輪的周期性傳動誤差。本例中，齒條刀具的最大傳動誤差為18.5 μm，相當于齒條刀具沿其齒廓法向即嚙合線方向移動了17.4 μm，比沿嚙合線度量的最大修形量15.0 μm 大了許多，這是由于修形齒廓在由理論轉角θ計算的修形點處與齒條刀具嚙合時，修形齒輪的實際轉角?大于理論轉角θ所致。

圖8 加工修形齒廓的周期性傳動誤差Fig.8 Periodic transmission error in machining modified tooth profile

下面通過對比基于傳動誤差模型模擬加工的修形齒廓曲線、刀具相對輪齒的加工運動軌跡的包絡線輪廓以及根據齒廓修形方程建立的修形齒廓曲線偏差，驗證本文中提出的方法在理論上的正確性。

圖9所示為計入傳動誤差的影響，獲取的處于修形位置的齒條刀具相對輪齒的加工運動軌跡。齒條刀具的運動軌跡包絡線即為加工切削軌跡。由圖9中可知，刀具在加工修形齒廓時與其他輪齒未產生干涉。

圖9 齒條刀具在加工修形齒廓時相對齒輪的運動軌跡Fig.9 Motion trajectory of rack cutters ralative to gears when machining the modified tooth profile

圖10（a）所示為基于傳動誤差模型模擬加工的修形輪廓與刀具運動軌跡包絡線輪廓的對比，兩者整體重合。圖10（b）所示為局部放大的齒廓修形部分，可以看出，模擬加工的修形齒廓與刀具運動軌跡的包絡線一致。

圖10 齒條刀具運動包絡線與模擬加工的修形齒廓對比Fig.10 Comparison between rack cutter motion envelope and simulated modified tooth profile

圖11 所示為模擬加工的修形齒廓與理想設計的修形齒廓的對比，可以看出，兩者一致。模擬加工的修形齒廓點偏離理想設計的修形齒廓距離的最大值為1.33×10-14mm，平均值為2.81×10-15mm。因此，可以認為模擬加工的修形齒廓與理想設計的修形齒廓完美重合。

圖11 理論修形齒廓與模擬加工修形齒廓的對比Fig.11 Comparison between theoretical modified profile and simulated modified profile

通過對比模擬加工的修形齒廓、刀具的運動軌跡包絡線輪廓以及理想設計的修形齒廓可知，3條齒廓曲線重合，說明了齒條類刀具基于傳動誤差模型展成加工齒廓修形方法的正確性。

5 結論

根據沿嚙合線度量的理論齒廓修形方程，采用輪齒接觸分析理論推導出齒條類刀具在修形位置加工修形齒廓的傳動誤差模型及刀具的速度控制模型。在不考慮熱變形、承載變形以及加工制造誤差的情況下，基于傳動誤差模型模擬加工的修形齒廓與理論設計的修形齒廓重合。

（1）設計了加工1個修形齒廓周期內的完整傳動誤差曲線，重點設計了修形加工段傳動誤差模型和空嚙合過渡段傳動誤差模型。完整的傳動誤差模型為齒條類刀具在任意時刻的速度提供了具體的方程，能為數控加工控制提供依據。

（2）齒條類刀具與修形齒廓嚙合的傳動誤差不能定量為齒條類刀具齒廓從漸開線嚙合點沿嚙合線偏移到修形齒廓點的距離，需要精確計算出修形齒廓與齒條類刀具在嚙合線外的嚙合點的準確坐標，才能保證加工出來的修形齒廓與理論設計修形齒廓重合。

（3）空嚙合過渡段傳動誤差模型保證齒條類刀具展成加工修形齒廓時，其位移及速度具有連續性，且能與工件齒輪平滑地進入及退出嚙合。

本文中提出的齒條類刀具展成修形齒廓理論可用于指導齒廓修形加工。其不僅適用于標準的齒條刀具，也能擴展到具有不同齒廓方程的齒條類刀具；不僅適用于傳統的冪次修形方程，也適用于其他修形方程，具有通用性。但該方法對齒輪機床（如數控滾齒機）的性能也提出了更高的要求，要求在加工修形齒廓時需要解除齒輪工件與滾刀的固定速比關系，增加速度控制環，提高控制系統帶寬以及提升刀架系統和機床的動態響應特性。