凸輪轉子外擺線輪廓的3種特定形態及其性能分析

陳慶紅 李玉龍 張平山

（1 福建林業職業技術學院 信息工程系， 福建 南平 353000）

（2 宿遷學院 機電工程學院， 江蘇 宿遷 223800）

（3 華閩南配集團股份有限公司， 福建 南平 353000）

0 引言

凸輪轉子泵是一種應用廣泛的容積式流體設備，一對同尺寸的轉子為泵的核心部件，并通過其輪廓將轉子室分隔成若干個小空間；隨著轉子副的連續旋轉，驅使這些小空間發生周期性變化，從而實現物料吸排的泵送目的[1]。其中，轉子輪廓的構造質量直接決定了物料的泵送品質[2]等諸多性能[3-4]，且與泵送流量間構成了明確的因果關系[5]。轉子輪廓的優化目的在于提高轉子泵的綜合性能[6]，主要體現為盡可能小的單位排量體積、流量脈動系數和盡可能少的泵內泄漏等。目前，在頂圓弧過渡的葉型構造中，漸開線[7]、圓弧[8]和圓擺線[9]的應用最普遍。其中，圓擺線一般采用180°滾動周期下的外擺線[10]，而非180°滾動周期下的外擺線構造則相對較少[11]。有鑒于此，本文中擬以滾徑比為變量，以泵的最佳綜合性能為目標，探究非180°滾動周期下的外擺線輪廓構造。

1 外擺線轉子的輪廓構造

圖1 中，外擺線轉子的半葉輪廓由頂圓弧01、外擺線12、內軛線23 和根圓弧34，共4 段首尾相連組成。其中，頂圓弧01 和根圓弧34 為過渡輪廓段，不參與轉子副的共軛運動，外擺線12 和內軛線23 為工作輪廓段，承擔轉子副的共軛運動；O、O′分別為本體轉子、配對轉子的中心，O0、O4 為頂、根（對稱）軸，頂、根軸間的角平分軸為中軸O2，頂軸與中軸、中軸與根軸的夾角均為共軛圓心角φ，φ=0.5π/N，N為轉子葉數，即轉子副的重合度為1；頂、根圓弧的圓心分別為頂軸、根軸與節圓的交點5、交點6；外擺線成形的定圓、滾圓半徑分別為節圓半徑R、r，滾徑比i=r/R，滾圓圓心為o；轉子副間的間隙為δ。

依據轉子副間隙為[12]

選用原則，可以忽略δ對轉子輪廓的構造影響。

圖1 所示給出了轉角為θ時轉子副輪廓間的共軛關系。其中，轉角以中軸O2 為旋轉的起始位置，0≤θ≤φ。

圖1 外擺線轉子的輪廓構造Fig.1 Profile construction of epicycloid rotors

在圖1 所示的XOY直角坐標系下，設本體轉子外擺線上對應的共軛點為點7（x7，y7），點7 處法線與節圓的交點為轉子瞬心點8（x8，y8），78 連線的長度為轉動瞬徑ρ，78 連線與O8 連線間夾角為傳動角α，α≤90°，滾圓以點2 為起點的滾動角∠7o8 為β，點8 關于中軸O2 對稱的點為8′（x8′，y8′），點8′在內軛線23 上的垂足為共軛點7′（x7′，y7′）。即，在同一轉子的輪廓上，點7 與點7′存在著先中軸O2、后瞬心處節圓切線8′8"的雙對稱幾何關系。

外擺線成形原理為

由式（3），點8（x8，y8）和點7（x7，y7）表達式分別為

由式（4）可得，外擺線12的成形方程（x12，y12）為

由式（3）、點8′（x8′，y8′）和點7′（x7′，y7′）的表達式為

由式（6）可得，內軛線23的成形方程（x23，y23）為

2 外擺線轉子的3種特定形態

設α0、ρ0分別為外擺線輪廓端點1 處的傳動角α和轉動半徑ρ，ε為轉子的形狀系數，其中，α0也為頂圓弧01和根圓弧34的圓心角。

由式（3）及θ=φ=0.5π/N可得

由式（8）可得轉子的形狀系數ε為

由式（7）中橫坐標x23表達式為

由式（10）可得i=0.5、1.0。其中，對應的縱坐標y23為

以N=3 為例，外擺線隨i=1/6、0.5、1、1.5 的形態變化，如圖2所示。其中

由圖2 和式（12）知，i越大，ε越大。其中，i=1/6 時，α0=0°、β=0°～180°滾動周期下的輪廓構造，如圖2（a）所示。此時，并無頂圓弧和根圓弧，且內軛線為節圓內的圓內擺線，此為常見180°滾動周期下的等幅圓擺線輪廓構造。

i=0.5 時，α0=60°、β=0°～60°滾動周期下的輪廓構造，如圖2（b）所示。此時，內軛線為與中軸重合的直線段，這與由式（9）～式（10）給出的（x23，y23）=（0，Rcosθ）完全一致。

i=1.0 時，α0=75°、β=0°～30°滾動周期下的輪廓構造，如圖2（c）所示。此時，內軛線收縮為輪廓點2，這與由式（9）～式（10）給出的（x23，y23）=（0，R）完全一致。

圖2 理論輪廓的3種特定形態Fig.2 Three specific forms of theoretical profile

i=1.5＞1時，內軛線23存在幾何干涉，不符合作為轉子輪廓的要求，如圖2（d）所示。

由此可知，在頂圓弧過渡的任意葉型構造中，i=1 的外擺線能取得任意葉型下的最大形狀系數；其次，i的取值范圍為0.5/N≤i≤1。即i=0.5/N、0.5、1.0 為外擺線轉子輪廓的3 種特定形態，對應的內軛線分別具有內擺線、直線段、固定點型的輪廓特征。

3 形狀系數和容積利用系數

由式（9）可得，3 種特定形態下轉子的形狀系數分別為

由文獻[13]，有

外擺線轉子的容積利用系數λ為

其3種特定形態下對應的容積利用系數λ分別為

以N=3 為例，ε、λ隨i的變化，如表1 所示。其中，0.5/N=1/6≤i＜0.5時，i對ε、λ的影響較大，ε增大了12.5%，λ增大了27.3%，轉子間因屬于凸-凹縫隙流，共軛間隙δ處的泄漏（簡稱為共軛泄漏）相對較??；0.5＜i≤1 時，i對ε、λ的影響很小，ε僅增大1.2%，λ僅增大1.9%，且因屬于凸-凸縫隙流，共軛泄漏相對較大；i=0.5 時，因屬于凸-平縫隙流，共軛泄漏居中[14]。即，i越大，ε、λ越大，但變化在i=0.5附近快速趨緩，即具有前急后緩的影響特點。

表1 形狀系數和容積利用系數隨滾徑比的變化Tab.1 Changes of shape factor and volume utilization factor with rolling radius rate

所以，i=0.5 外擺線為兼顧ε和λ數值最大化、共軛泄漏最小化、V 型易加工的一個較理想的轉子輪廓，如圖3（a）所示。3 葉時，1.5 的形狀系數比圓弧轉子的1.477 0 大1.6%、漸開線轉子的1.463 8[15]大2.5%；0.517 的容積利用系數比圓弧轉子的0.503 5大2.7%、漸開線轉子的0.499 8大3.4%。

i=1.0時，因點共軛造成縫隙流變成了孔口流[16]，共軛泄漏相對最大，但其卻具有最大的形狀系數和更易加工的節圓內全過渡輪廓，通過節圓半徑R的微調，極利于空間相對狹窄的節圓內輪廓采用標準圓孔加工，如圖3（b）所示。故，輪廓最簡單，加工最容易。

圖3 節圓內易加工輪廓Fig.3 Easily machined profile inner the pitch circle

4 理論流量的脈動系數

由文獻[17]，得外擺線轉子泵的理論流量Q為

式中，B為轉子寬度；ω為轉子旋轉角速度。

則，理論流量Q的最大流量Qmax、最小流量Qmin、平均流量Qave分別為

由此，得理論流量Q的脈動系數δ為

N=3 時，δ隨i的變化，如表2 所示。其中，i越大，δ越大，脈動性能越差，但在i=0.5 附近快速變緩。

表2 流量脈動系數隨滾徑比的變化Tab.2 Changes of flow ripple factor with rolling radius rate

5 理論排量及泵的輕量化

對于轉子泵這樣的容積泵，轉子腔的可利用空間是用于輸送工作介質的，在不考慮泄漏、壓縮等無容積損失的理論狀態下，轉子副每轉輸送的介質量等于可利用空間的容積，而每轉輸送的介質量等于平均流量Qave乘以每轉的時間2π/ω。

由式（18）中的平均流量Qave，得理論排量q為

由于轉子副所占空間的最小包裹體積即轉子腔內體積V0，直接決定了轉子泵的整體尺寸與質量，所以，可用KVV0代表泵的總體積V。其中，KV為大于1的體積因子。

此時，由式（20）和

可得單位排量體積qV為

由此可知，i越大，單位排量體積qV越小，輕量化效果越好，但在i=0.5附近快速變緩。

6 結論

（1）同一轉子上的外擺線與其內軛線，存在先中軸、后瞬心處節圓切線的雙對稱幾何關系。

（2）由輪廓構造所決定的形狀系數和容積利用系數，直接決定了泵的性能，彼此間存在明確的因果關系。

（3）在外擺線輪廓的3種特定形態下，內軛線分別具有內擺線、直線段、固定點型的輪廓特征。

（4）滾徑比越大，形狀系數越大，輕量化效果越好，但流量脈動性能越差，具有前急后緩的影響特點。

（5）0.5滾徑比對應的直型內軛線輪廓，具有綜合性能最佳及V型易加工的輪廓特征。

（6）1.0滾徑比對應的點型內軛線輪廓，形狀系數最大，構造最簡單，加工最容易。