巧構橢圓模型 求解另類問題

耿瑞照

(山東省淄博市淄川區般陽中學, 255100)

數學建模素養是新課標確定的六大數學核心素養之一,在新課標和新高考中的地位非常重要.應用已知模型是建模素養水平最基本的要求,并且此種建模方式具有可操作性.筆者發現很多看似與橢圓無關的問題,用常規解法難度很大,但利用橢圓模型求解能夠水到渠成,起到意想不到的效果.本文介紹幾種常見構造(引出)橢圓模型的方式,舉例說明該模型在非圓錐曲線問題中的應用.

一、借助方程引出橢圓模型

1.解無理方程

例1解方程

2.解雙絕對值的不等式

例2解不等式|x-3|+|x+3|≥8.

分析本題通常用分類討論去絕對值符號的方式求解,但運算較為麻煩.但結合例1,將|x-3|+|x+3|理解為點(x,0)到兩定點(-3,0),(3,0)的距離之和,由|x-3|+|x+3|=8聯想到建立橢圓模型,即可使陌生問題轉化為熟悉的模型,促成問題獲解.

二、借助三角形邊的關系引出橢圓模型

在?ABC中,若AB+AC=m,BC=n,其中m,n為常數,且m>n>0,則根據橢圓定義,點A的軌跡是以B,C為焦點的橢圓.借助三角形邊的關系建模往往會起到意想不到的效果.當然,有些題目中給出的邊的關系未必是完整的,需要我們去進一步探求;有些題目在構造橢圓時由于未知具體值,因此需用待定系數法來處理.

1.求三角形面積最值問題

2.三角形中求值問題

三、借助sin2α+cos2α=1引出橢圓模型

三角問題中經常借助sin2α+cos2α=1構建橢圓模型來求解(證)三角問題,特別是對于三角中的“難”題,該模型格外好用.

1.證明三角等式或不等式

2.求三角函數的最值或值域

四、借助mx2+ny2=1(m,n>0且m≠n)引出橢圓模型

除了上述三種引出橢圓模型的方式外,有時也會通過代換得出mx2+ny2=1(m,n>0且m≠n)形式的式子,從而引出橢圓模型.

1.求無理函數的值域

2.求二元函數的值域(最值)