“歪打正著”話“存在”

朱明明

(江蘇省如東高級中學,226400)

存在性問題涉及的數學知識點多、綜合性強,在中學數學中有重要的地位.解決這類問題時常由于對“存在性”的理解發生偏差,導致轉化不“等價”,從而引發錯誤,特別是在“歪打正著”得到正確結果的情形下,錯誤隱蔽更深且不易覺察,需要引起重視.

-3x2-2x-1

①

亦即

(-3x2-2x-1)min

②

令g(x)=-3x2-2x-1,x∈[1,2],易得g(x)min=-17.令h(x)=3x2-4x+1,x∈[1,2],易得h(x)max=5.故a∈(-17,5).

剖析本解答結果正確,過程上似乎也沒什么問題.事實果真如此嗎?

我們知道,命題“?x∈[m,n],使a>g(x)”等價于命題“a>g(x)min,x∈[m,n]”,命題“?x∈[m,n],使a

但是,命題“?x∈[m,n],使g(x)

那么,上述解答給出的結果為什么恰好是正確的呢?

在同一坐標系中畫出g(x)與h(x)的圖象,可以發現在區間[1,2]上g(x)為減函數,h(x)為增函數,從而g(x)min與h(x)max在x=2時同時取得!由此可知上述解答中從① 式推出② 式并不具備一般性意義,有點“歪打正著”的感覺!

無獨有偶,請看下一道題.

探究本題是某地高考模擬題.劉衛東老師在文[1]中結合對原參考答案的剖析,通過分類的方法給出了從正面思考的解題過程,并指出:一般地,對?x∈D(區間),“命題p∨q恒成立”并不等價于“命題p恒成立或命題q恒成立”,而且要解決p∨q型恒成立問題比較困難.因此,劉老師建議解題時最好避免將問題轉化為這種形式.筆者思考的是,如果解題時轉化成了該形式,有沒有一種方法可以做下去呢?經過探索,筆者發現借助否命題從反面來考慮,即利用命題“?x∈D,p∨q恒成立”的否定“?x∈D,p且q”來實施解答.

綜上,注意到U={c|0