利用“箏形”公式求外接球半徑

陳淑紅

(河北省定州中學，073000)

有關外接球的問題綜合性強,思維難度大,學生常常為此望而生畏.本文從不規則的空間結構中提煉出箏形公式,代入求解外接球半徑,形成有法可依、有規可循的解題方法體系.

首先從外接圓到外接球,確定外接球球心的位置.如圖1,由于球心O在過截面圓心且與截面垂直的直線上,則過兩截面圓心O1與O2且與兩截面垂直的直線O1O與O2O之交點O即為多面體外接球球心.

其次,取兩截面圓公共弦AB的中點M,則∠O1MO2為兩截面二面角的平面角.易知O,O1,M,O2四點共圓,則OM為此圓的半徑.

OB2=OM2+BM2

因四邊形OO1MO2形狀為箏形,所以我們不妨稱上述半徑公式為“箏形”公式.

例2如圖3,在四面體ABCD中,有一條棱長為3,其余5條棱長皆為2,則該四面體外接球的半徑為______.

解不妨設BC=3，取BC的中點M,則?ABC的外心O2在AM上.根據勾股定理,有

O2B2=MB2+(AM-AO2)2

因為∠AMD為二面角A-BC-D的平面角,故可在?AMD中用余弦定理的逆定理,得

由上可見,利用箏形公式求外接球半徑,關鍵是選擇表面多邊形,注意選擇特殊性狀的多邊形(如正三角形、直角三角形、等腰三角形等),比較容易確定多邊形外心位置，求出外接圓半徑的大小.