次解析集的正規嵌入

許靜波，周 彤

(吉林師范大學 數學與計算機學院，吉林 四平 136000)

分類是奇點理論中一個著名的問題，其中正則函數芽的bi-Lipschitz分類近年來被廣泛研究.E.Bierstone等[1]利用半解析集、次解析集的基本性質，給出了對纖維切割引理的簡單證明，也對次解析集的補集定理進行了闡述；L.Birbrair等[2-4]給出了次解析平面函數芽bi-Lipschitz接觸等價性的一個完全不變量，并證明了不變量的存在意味著這個等價性沒有模.bi-Lipschitz分類介于拓撲分類和解析分類之間，并且在Lipschitz分類下，誘導度量中的等價性與長度度量中的等價性是相同的.郭青松[5]將次解析集與bi-Lipschitz映射的理論相結合，研究了二維次解析集在bi-Lipschitz等價關系下的分類，為本文研究準備了豐富的基礎知識；L.Birbrair和T.Mostowski[6]研究了半代數集的正規嵌入，對本文思路有著引導的作用.本文基于A.Parusinski等[7-12]對pancake度量的研究，借助其將次解析集的度量性質與bi-Lipschitz分類問題聯系起來.

1 預備知識

設X是n的次解析連通子集.由于每個連通次解析集都是弧連通的，所以在X上定義以下兩個度量，第一個是n的誘導度量，用dind表示；第二個是長度度量，定義如下：設x1，x2∈X，且Γ是連接x1和x2的所有分段光滑曲線γ的集合；即γ：[0，1]→X使得γ(0)=x1，γ(1)=x2.令其中l(γ)表示γ的長度.

定義1.1如果度量dind和dl是等價的，則集合X稱為在n中的正規嵌入.也就是說存在一個常數C>0，使得對于每個x1，x2∈X，有dl(x1，x2)≤Cdind(x1，x2).

性質1.1在每個分層弧連通子集Y?n中定義正規嵌入，如果X正規嵌入Y，Y正規嵌入Z，則X正規嵌入Z.

定義1.2設x0∈X，如果存在一個以x0為心，半徑為r的球Bx0，r，使集Bx0，r∩X是正規嵌入，則稱集合X在x0處是局部正規嵌入的.

定義1.3設X是次解析集，Y?X.如果存在一個常數C>0使得對所有x∈X和y∈Y，有dl(x，y)≤Cdind(x，y)，則稱Y是相對正規嵌入在X中.

命題1.1設X是一個緊集，局部正規嵌入在每個點x∈X上，則X是正規嵌入.

命題1.2設X?n是一個閉次解析集，存在子集{Xi}的有限集，使得

(1)所有的Xi都是X的次解析閉子集；

(3)對每個i≠j，dim(Xi∩Xj)

(4)Xi正規嵌入在n中.

則集合Xi稱為pancake的，滿足條件(1)—(4)的分解稱為pancake分解.

該命題在文獻[9]和[10]中有類似證明.

定義1.4設X?n是一個閉連通次解析集，是X的pancake分解.考慮x1、x2∈X，{y1，y2，…，yk}是一系列滿足以下條件的點：

(1)y1=x1和yk=x2；

(2)每對yi，yi+1都在一個pancakeXj中；

(3)如果yi，yi+1∈Xj，則ys?Xj，對s≠i，s≠i+1.

ρi(x)=dp(x，Xi)

定義函數

ρi：X→，

其中dp是pancake距離.Γi?n+1表示ρi的圖，記μi(x)=(x，ρi(x)).

定義1.6如果存在一個同胚F：X1→X2和兩個正的常數K1和K2，對每個x，y∈X1，使得

K1d1(x，y)≤d2(F(x)，F(y))≤K2d1(x，y)，

則兩個度量空間(X1，d1)和(X2，d2)稱為bi-Lipschitz等價的，其中同胚F為bi-Lipschitz映射.

2 主要定理及證明

為了完成定理的證明，首先給出幾個引理.

引理2.1若存在K>0使得對于任意x1，x2∈X，則有

dp(x1，x2)≥Kdl(x1，x2).

證明設K=minKj，其中Kj是對應于pancakeXj的常數.所以，對每個y={y1，y2，…，yk}，有

dind(yi，yi+1)≥Kdl(yi，yi-1)，

因此

引理2.2若對于每個x1，x2∈X，存在y∈Yx1，x2，則有dp(x1，x2)=l(y).

路面基層檢測合格及模板安裝完成后，進行鋼筋網安裝。先將橫筋按設計尺寸布置于底層，再將縱筋布置橫筋上方，在此過程中要注意鋼筋在板厚方向的高度，預留足夠的保護層厚度。鋼筋布置完成后進行鋼筋連接，縱向鋼筋接頭采用電弧單面焊接，搭接長度為16cm，焊接接頭處應錯開布置，接頭連線與路面行車方向成45°夾角，縱向鋼筋與橫向鋼筋交叉處采用鋼絲繩綁扎。采用φ16鋼筋彎拉制做成“Ω”形置于橫向鋼筋下作為鋼筋支架，并采用電焊連接，橫向布置間隔約為150cm，縱向布置間隔約為120cm。

注序列y∈Yx1，x2使dp(x1，x2)=l(y)稱為對應于x1，x2的最小化序列.

推論2.1pancake度量是定義在X×X上的次解析函數.

結合文獻[6]類比給出如下推論.

推論2.2設X是緊次解析集，設LX是關于長度度量與X等價的所有次解析集的集合.定義LX上的半序關系X2X1，若存在關于長度度量的bi-Lipschitz和誘導度量的lipschitz映射F：X1→X2，則LX包含唯一的關于誘導度量的bi-Lipschitz等價的最大元素，稱這個元素是正規嵌入的.

定理2.1函數dp：X×X→是次解析的并且在X中定義了一個度量.

dp(x1，x3)≤l(z)≤l(y3)=l(y1)+l(y2)=dp(x1，x2)+dp(x2，x3).

定理2.1即證.

定理2.2pancake度量與長度度量是bi-Lipschitz等價的.

dl(x1，x2)≥dp(x1，x2).

定理2.2即證.

引理2.3映射μi：X→Γi具有以下性質：

(1)μi是關于X和Γi上長度度量的一個bi-Lipschitz映射；

(3)μi(Xi)是相對正規嵌入在μi(X)中.

(2)存在一個依賴于n的常數B，使得對任意x1，x2∈Xj有

max{dind(x1，x2)，|ρi(x1)-ρi(x2)|}≤Bdind(μi(x1)，μi(x2)).

因為Xj是一個pancake，L>0，得到

dl(x1，x2)≤Ldind(μi(x1)，μi(x2))，

由(1)，映射μi是bi-Lipschitz的.對任意x1，x2∈Xj，K>0，有

dl(μi(x1)，μi(x2))≤Kdind(μi(x1)，μi(x2)).

(3)實際上，通過(1)，找到K1>0即可，使得

dl(x，y)≤K1dind(μi(x)，μi(y)).

所以

dp(x，y)≤3dind(x，y).

由定理2.2有

dl(x，y)≤3Cdind(μi(x)，μi(y))，

其中C是一個常數，滿足dl≤Cdp.再令ρi(y)>dind(x，y)，有

對于依賴n的常數B>0，有

ρi(y)≤max{dind(x，y)，ρi(y)}≤Bdind(μi(x)，μi(y)).

所以

dp(x，y)<3Bdind(μi(x)，μi(y)).

通過長度度量與pancake度量的等價性，對K1=3Cmax{1，B}，同理可得到

dl(x，y)≤Kdind(μi(x)，μi(y)).

注集合μi(x)稱為X上的i-tent，映射μi稱為i-tent過程.

引理2.4設Y?X相對正規嵌入在X中，則μi(Y)相對正規嵌入在μi(X)中.

證明與引理2.3中(2)的證明相同.

接下來，給出本文的主要定理.

定理2.3設X是n的緊連通次解析子集，對于每個ε>0，則存在一個次解析集Xε?m使得

(1)關于長度度量，Xε是與X等價的次解析bi-Lipschitz；

(2)Xε正規嵌入在m中；

(3)X和Xε之間的Hausdorff距離小于ε.

3 結語

奇點的度量理論將集合視為度量空間，該理論中存在幾個分類問題，本文主要考慮的是bi-Lipschitz分類問題.通過pancake分解，定義pancake度量，即一個與長度度量等價的次解析度量；再由tent過程，得到次解析集與一些正規嵌入集的關系，并給出了證明.