彈性地基加肋功能梯度板自由振動分析的無網格法

陳思亞， 陳 衛， 黃鐘民， 彭林欣*,2

(1.廣西大學 土木建筑工程學院，南寧 530004;2.廣西大學 廣西防災減災與工程安全重點實驗室 工程防災與結構安全教育部重點實驗室，南寧 530004)

1 引 言

功能梯度材料FGM(Functionally Graded Materials)作為一種新型復合材料，其組分在空間的連續變化，使其性能也得以連續變化，可以有效緩解應力集中等問題。FGM憑借其優越的力學性能，廣泛應用于航天航空和建筑等領域?，F已有很多文獻基于經典板理論[1，2]、一階剪切變形板理論[3,4]和高階剪切板理論[5,6]對功能梯度板自由振動進行了研究。其研究多采用數值解法，如有限單元法[7]、微分求積法[8]和自然單元法[9]等。

對于彈性地基上功能梯度板自由振動問題，國內外也有諸多學者進行了研究。Yang等[10]利用一維微分求積法和伽遼金法求解具有初始應力彈性地基功能梯度板的動力響應。Hosseini-Hashemi等[11]提出中厚功能梯度板自由振動的解析解，并用于分析彈性地基支撐的功能梯度板自由振動。Hasani等[12]基于三階剪切變形理論，采用解析方法分析彈性地基功能梯度厚板的自由振動。Shahsavari等[13]提出一種新的準三維理論，分析功能梯度多孔板在彈性地基上的固有頻率。滕兆春等[14]采用微分變換法研究了彈性地基功能梯度板受壓時自由振動和屈曲特性。在研究功能梯度板的問題時，其控制方程除了可以基于幾何中面建立，也可以基于物理中面建立。對此，Zhang等[15,16]在此方面做了大量工作，結果表明基于物理中面建立的功能梯度板的控制方程可消除拉彎耦合的影響，具有簡化方程的優勢。

上述文獻很少有涉及彈性地基加肋功能梯度板的研究。文獻[17，18]分別研究了彈性地基加肋斜板和變厚度加肋板的自由振動問題。Duc等[19,20]采用伽遼金法和應力函數等方法，在彈性地基加肋功能梯度板結構方面做了一些工作。

本文基于一階剪切變形理論[21]和物理中面的概念，利用移動最小二乘近似[22]推導近似位移場，通過引入位移協調條件，建立板和肋條節點參數轉換關系，分析Winkler彈性地基加肋功能梯度板的自由振動問題。討論了邊界條件和地基系數等對彈性地基加肋功能梯度板自振頻率的影響。

2 彈性地基功能梯度肋板無網格模型

2.1 模型描述

如圖1所示，功能梯度矩形板由兩種材料組成，表面為陶瓷，底面為金屬；在全局坐標系(x,y,z)下，矩形板的長寬高分別為a,b和hp，肋條截面的高寬分別為hs和ts。

假定材料常數沿厚度方向遵循如下規律變化

(1)

圖1 Winkler彈性地基功能梯度加肋板無網格模型

圖2 位移協調

功能梯度板與肋條的位移協調如圖2所示，z0表示功能梯度板物理中面所在位置，定義為

(2)

2.2 移動最小二乘法近似

由移動最小二乘近似(MLS)[22]求出平板第I個節點的形函數

HI(X)=p(X)TA(X)-1BI(X)

(3)

B(X)=p(XI)ωI(X)

XI和X分別為離散節點和未知點的坐標向量，p(X)為基函數向量，本文基函數均采用二次基，一維p(X)=[1,x,x2]T；二維p(X)=[1,x,y,x2,xy,y2]T;wI為第I個節點的權函數，本文采用如下的三次樣條權函數，影響域為圓形影響域。Num表示離散節點數目，板節點取np，肋條節點取ns。

2.3 功能梯度板的能量方程

基于一階剪切變形理論[21]和物理中面，功能梯度板的位移場可以表示為

(4)

將式(4)表示為基于節點參數的插值,即

(5)

式中

根據幾何方程[23]，板的面內應變表達為

(6)

(7)

式中微分算子λκ和λγ分別為

功能梯度板的形變勢能為

(8)

式中

彈性矩陣Dp和剪切模量G為

由式(5)得板的動能表達為

(9)

假設彈性地基與功能梯度板底部緊密接觸，Winkler彈性地基系數為kw，則彈性地基接觸勢能為

(10)

由式(8～10)得到板的總能量為

(11)

式中Kp=Ku+Kξ

2.4 肋條的能量方程

肋條采用Timoshenko梁理論，在局部坐標下的肋條位移場Vs為

(12)

(13)

肋條的形變勢能為

(14)

式中

由式(13)得肋條的動能表達為

(15)

由式(14,15)得肋條的總能量為

(16)

2.5 位移協調

如圖2所示，肋條的任意離散節點S可在板上找到對應點P(不一定為板的離散節點)，肋條與板的位移在接觸點C相等，在C點的耦合關系為

(ws)C=(wp)C

(17)

將式(17)由節點位移參數表達為

ds=Tt rdp

(18)

式中

由式(18)可以推導肋條節點參數和板節點參數協調轉換矩陣Ts p,詳細推導過程可參考文獻[24,25]。肋條位置改變只需重新計算轉換矩陣Ts p，不必改變板的節點分布。同時將肋條節點位移參數轉換為板位移節點參數，不會增加加肋板總體剛度矩陣大小。

2.6 自由振動控制方程

由式(11,16)可以得到整個加肋功能梯度板的總能量為

(19)

(20)

由式(20)可以推導功能梯度加肋板自由振動問題的特征方程為

(K-ω2M)δp=0

(21)

由于移動最小二乘(MLS)構造的形函數不滿足克羅內定理，節點位移參數并不是真實位移。因此，本文采用完全轉換法[26]處理本質邊界條件。

3 算例分析

通過與有限元以及文獻對比驗證本文方法的收斂性和有效性。有限元模型功能梯度板采用層合板建模，板和肋條分別采用四節點殼單元(S4R)和梁單元(B31)，單元數目分別為10000和100。板節點均勻布置，肋條節點與鋪設方向板節點數一致。本文質量矩陣、剛度矩陣以及板厚度方向的積分均采用高斯積分。加肋功能梯度矩形板的邊界條件均按x=0,y=0,x=a和y=b的順序給出，C代表固支，S為簡支，F為自由。本文相對誤差定義為(λ本文-λ有限元)/λ有限元。

3.1 收斂性以及準確性分析

表1 彈性地基四邊簡支功能梯度方板的無量綱基礎頻率λ

3.2 單肋條功能梯度加肋板

圖3 y向單肋條功能梯度板無量綱頻率收斂性

表2 四邊簡支n =3的y向單肋條功能梯度板的前五階無量綱頻率λ

表3 不同邊界下n =3的y向單肋條功能梯度板的前五階無量綱頻率λ

圖4 不同梯度系數四邊簡支y向肋條功能梯度板的前五階無量綱頻率λ

圖5 不同梯度系數y向肋條功能梯度板在邊界為SCFC下的前五階無量綱頻率λ

在β3=0.05,β4=2時，表4列出了梯度系數為3的四邊簡支單條中心加肋功能梯度板在不同地基系數下的前五階固有頻率。表5則給出各梯度系數四邊簡支單條中心加肋功能梯度板的基礎頻率隨著地基參數變化的數值結果。由表4和 表5 可知，隨著無量綱地基系數的增加，各階無量綱頻率均有所提高，而基礎頻率隨著梯度系數的增大而降低。

表4 不同地基系數下n =3的y向單肋條功能梯度板前五階無量綱頻率λ

表5 不同地基系數各梯度y向單肋條功能梯度板的無量綱基礎頻率λ

上述算例均表明，本方法在計算彈性地基加肋功能梯度板的不同邊界條件和不同梯度系數等問題時，均具有較高的計算精度，驗證了本方法求解這類問題的可靠性。

3.3 多肋條功能梯度加肋板

如圖6所示，A型加肋功能梯度板橫向和縱向中心各放置一根肋條，而B型加肋功能梯度板則是分別在兩個方向等距布置三根肋條。加肋功能梯度板的幾何尺寸為β1=1,β2=0.05，β3=0.05,β4=1。

圖6 肋條位置

圖7 A型加肋功能梯度板無量綱頻率收斂性

圖8 B型加肋功能梯度板不同邊界條件的無量綱基頻

表6 不同地基系數下n =3的四邊固支B型加肋功能梯度板前二階無量綱頻率λ

表7 不同地基系數四邊簡支A型加肋功能梯度板的無量綱自振頻率λ

4 結 論

本文基于Winkler彈性地基，采用一階剪切變形理論和物理中面建立加肋功能梯度板自由振動控制方程，在肋條與板界面引入位移協調條件，將肋條位移轉換為板位移，使得本方法在不增加總體剛度矩陣大小的情況下可以計算任意數量肋條的功能梯度加肋板。本方法對于網格沒有依賴，肋條位置改變時無需重新布置板的離散節點，僅計算協調矩陣Ts p即可。通過算例的對比驗證表明本方法具有良好的收斂性和準確性。對于不同尺寸和數量的肋條的加肋功能梯度板，以及不同地基系數和邊界條件下的固有頻率求解均有較強適用性。計算結果表明，加肋功能梯度板的固有頻率隨著邊界約束的加強和地基系數的增大而提高。