基于應變梯度理論的微尺度蜂窩等效模量計算方法

賀 丹， 劉圣喬， 馮佳月

(沈陽航空航天大學 遼寧省飛行器復合材料結構分析與仿真重點實驗室，沈陽 110136)

1 引 言

蜂窩結構因其優良的力學性能廣泛應用于航空航天、交通運輸及建筑等領域[1]。因為蜂窩的結構較為復雜，所以在設計和計算過程中通常將其等效為均質材料，而等效方法的準確性則直接影響著蜂窩夾層結構的設計質量和使用安全。

Allen[2]最早開展了蜂窩面內等效模量的計算方法研究，采用反平面假設，在計算過程中僅考慮了橫向剪切剛度而忽略了芯層的面內剛度和彎曲剛度。Gibson等[3]將胞壁的變形簡化為歐拉梁的彎曲問題，計算了芯層面內等效剪切模量，并通過試驗驗證了該方法的準確性。富明慧等[4]考慮了胞壁伸縮變形的影響，對Gibson的等效模量公式進行了修正。趙金森[5]則在富明慧的基礎上，進一步明確了等壁厚蜂窩面內等效模量的計算方法。

隨著需求的增長與工藝的進步，蜂窩結構的尺寸有逐步發展到微納米級別的趨勢，因此有必要將尺寸效應[6]納入到蜂窩等效模量的計算過程當中。尺寸效應主要表現為本構關系會受結構幾何尺寸的影響，傳統連續介質力學理論無法解釋這種現象，因此發展了一些廣義連續介質力學理論來唯象地描述尺寸效應的影響。這些理論都需要在本構方程中引入額外的材料尺度參數，且不同的理論需要的材料尺度參數的個數和定義都不盡相同[7]。這些參數的確定是較為困難的，為了便于工程應用，學者們持續努力地發展需要較少尺度參數的新理論。Yang等[8]提出了僅含有一個尺度參數的適用于各向同性材料的修正偶應力理論。陳萬吉等[9]將其推廣到了各向異性材料?；谛拚紤碚?，張春浩等[10]研究了微納米蜂窩的等效模量的計算方法。Mindlin[11]提出了應變梯度理論，認為連續介質中的胞元除了宏觀運動與變形外，還存在微觀位移和變形，因此應考慮應變梯度的影響。其重寫的中心對稱的各向同性物體的變形方程中包含五個尺度參數[12]。Lam等[13]在Mindlin方程中引入了力偶矩平衡關系，由此重建了應變梯度理論，將尺度參數從五個減少到三個。Aifantis等[14]簡化了Mindlin應變梯度理論，將五個尺度參數簡化為一個，非常便于工程應用。近年，眾多學者[15,16]仍針對應變梯度理論進行改進與應用，其中Shahriari等[17]應用Aifantis簡化的應變梯度理論計算了碳納米管增強復合材料的自由振動。

綜上所述，將尺寸效應納入到蜂窩的等效模量計算中非常必要，但相關的研究工作較少，尤其是基于應變梯度理論的工作還尚未見諸報道。本文從Aifantis的單尺度參數應變梯度理論出發，發展能夠計及尺寸效應的微納米蜂窩面內等效模量的計算方法，并與宏觀等效理論的結果進行了對比，討論了尺寸效應對蜂窩力學性能的影響。

2 Y型蜂窩胞元

蜂窩結構是規律重復的幾何結構，對蜂窩分塊有利于分析。如圖1(a)所示，用矩形虛線分割蜂窩，得到的Y型蜂窩胞元可使面積不變，并且胞元含有的完整胞壁數不變。蜂窩各部分參數如圖1(b)所示，其中,L表示角度為θ的胞壁長度，h表示豎直方向胞壁長度，t為胞壁厚度，b為蜂窩高度。

圖1 Y型蜂窩胞元

3 應變梯度理論

根據Aifantis[14]提出的應變梯度理論，蜂窩材料的本構方程可表示為

σi j=Ci j k l(1-l22)εk l

(1)

式中l為尺度參數，σi j，εk l，Ci jkl和2分別為應力張量分量、應變張量分量、彈性張量分量和拉普拉斯算子。

應變張量分量εi j的表達式為

(2)

式中ui,j為位移的一階偏導數。體積為V的線彈性體發生小變形時的應變能可表示為

(i,j=1,2,3)

(3)

4 等效模量的求解

可將蜂窩胞壁簡化為在自由端受橫向剪切力F、軸向力N和力矩M的懸臂梁，如圖2所示。計算胞元的應變能，然后根據能量等效原理，得出等效的面內彈性模量。

圖2 蜂窩胞壁受力

首先,計算蜂窩胞壁彎曲變形的撓度，胞壁的位移場可表示為

(4)

式中u，v和w分別為x，y和z方向位移。

將式(4)代入式(2)，可得

(5)

將式(5)代入式(1)，可得

σx x=C11(l2zwI V-zw″)

σy y=σz z=C21(l2zwI V-zw″)

(6)

σx x=E11(l2zwI V-zw″)

(7)

最小勢能原理可表示為式(8)，計算撓度時可忽略軸向力的作用，推導出在F和M作用下的控制方程和邊界條件。

δπ=δ(U-V)=0

(8)

式中

(9)

(10)

可得控制方程為

EI(l2wV I-wI V)=q

(11)

由于胞壁未受均布力作用，則式(11)中q=0。求解式(12)得到

(12)

代入下列邊界條件

δw(0)=0，V≡EI[w?-l2wV]，δw′(0)=0

在x=L處，

M=EI[w″-l2wI V]=M

w″(0)=0，w?(L)=0

(13)

可解得，系數C1，C2，C3，C4，C5和C6分別為

c1=-(eL /lFl-FL+M)/[(1+e2L /l)EIl2]

c2=eL /l(Fl+eL /lFL-eL /lM)/[(1+e2L /l)EIl2]

c3=F/(EI),c4=-(FL-M)/(EI)

c5=[2eL /lFl2-[(1-e2L /l)(FL-M)l]/

[(1+e2L /l)EI]

c6=-l2(FL-M)/(EI)

(14)

4.1 Ec x的求解

設x方向面內等效彈性模量為Ec x，圖3給出了胞元在x方向受單向應力σx作用的示意圖。

圖3 胞元受x方向應力σx作用

由圖3可得

P=σxb(h+Lsinθ)

(15)

由點A處力矩平衡可得

(16)

從中選取AB段做分析，將其簡化為圖2所示懸臂梁，將P分別按F方向和N方向分解，得F=Psinθ，N=Pcosθ。

AB段彎曲應變能與F和M的外力功相等，即

(17)

因為AB段軸向應變能只與N有關，故

(18)

AB段的總應變能為

UA B=UA B 1+UA B 2

(19)

BC段應變能與AB段相同，單位厚度的等效體變形能為

(20)

(21)

式中R=1/(h+Lsinθ)

當I=t3/12,A=t,h=L,θ=π/6時，可得正六邊形蜂窩的面內彈性模量為

12l2L/cosh(L/l)+L(L2+3t2)]

(22)

4.2 Ec y的求解

設y方向面內等效彈性模量為Ec y，圖4給出了胞元受y方向單向應力σy作用時的等效模型。

圖4 胞元受y方向應力σy作用

由圖4可知

P=σybLcosθ

(23)

在點A處力矩平衡，即

(24)

從中選取AB段做分析，將其簡化為圖2所示懸臂梁，將P分別按F方向和N方向分解，即F=Pcosθ，N=Psinθ。

AB段彎曲應變能與F和M的外力功相等，即

(25)

因為AB段軸向應變能只與N有關，故

(26)

AB段總應變能為

UA B=UA B 1+UA B 2

(27)

BC段總應變能為

UB C=UA B

(28)

BD段的軸向應變能為

(29)

單位厚度的等效體變形能為

(30)

式中β=h/L。

(31)

當I=t3/12,A=t,β=1,θ=π/6時，可得正六邊形蜂窩的面內彈性模量為

(32)

4.3 Gc x y的求解

圖5給出了剪切應力τ作用時胞元等效模型的受力狀態。該模型需要滿足下列條件。

(1)A,B和C三個節點都沒有發生相對位移。

(2) 圖5中各個節點的轉角都相等。

(3) 剪切變形是因為BD段繞點B的轉動以及BD段的彎曲造成的。

圖5 胞元受剪切應力Gx y作用

由圖5可知

(33)

因為AB胞壁對點B的合力矩為零，即

ΣMB=0,M=Ph/4

(34)

將P和Q按AB分解為沿軸方向力N和垂直軸向力F，即

(35)

因為BC段和AB段的受力形式相同，且AB段彎曲應變能與F和M的外力功相等，故

(36)

又因為AB段軸向應變能只與N有關，故

(37)

AB段總應變能為

UA B=UA B 1+UA B 2=UB C

(38)

BD段軸向應變能

(39)

單位厚度等效體的應變能為

(40)

(41)

5 算例分析

算例1考慮一個正六邊形微尺度蜂窩，彈性模量E=68.97 GPa，蜂窩長度L=20 μm?？捎傻仁?22,32)計算等效后的模量Ec x和Ec y，可以看出，x方向與y方向等效模量相同Ec x=Ec y，這是因為正六邊形蜂窩結構具有面內各向同性，這一結果與傳統方法的結果一致。圖6給出了不同尺度參數下胞壁厚度對等效模量的影響，橫坐標為胞壁厚度t，縱坐標為應變梯度理論下的等效模量與經典理論下的等效模量的比值,其中，圖6(a)為拉伸模量Ec x/Ec x _ c，圖6(b)為剪切模量Gc x y/Gc x y _ c。當尺度參數為0時，本文模型預測出的等效模量與文獻中基于傳統方法的結果一致。當厚度t較小時，等效模量表現出明顯的尺度效應，這與傳統的宏觀模型不同。隨著t的增加，尺度效應對等效模量Ec x，Ec y和Gc x y的影響逐漸減弱。

圖6 不同尺度參數下t對等效模量的影響

算例2考慮一個正六邊形微尺度蜂窩，材料參數為彈性模量E=106.4 GPa，尺度參數l=0.843 μm。本文計算了不同胞壁長度與胞壁厚度比值L/t(t的值保持不變為t=1 μm，變化L的值)時各個等效模量的值，結果如圖7所示。其中，橫坐標為L/t，縱坐標為等效模量?？梢钥闯?，隨著L/t的增加,等效模量的值單調遞減，由于尺度效應的存在，本文結果總是大于傳統宏觀模型。但是當L/t增大到8以后，兩種理論預測的結果趨于一致，說明當胞壁長度很大的時候，尺度效應可以忽略。

圖7 蜂窩胞壁長厚比對等效模量的影響

5 結 論

本文基于單參數應變梯度理論發展了一種能夠計及尺度效應的微納米蜂窩等效模量計算的新方法。蜂窩模量的尺寸效應主要與胞壁厚度有關，當厚度較小時尺度效應非常顯著，此時基于本文方法預測出的模量會明顯高于傳統方法，而當胞壁厚度增大時，尺度效應變得微弱。需要注意的是，尺度效應還與胞壁的長度/厚度比有關，當長度/厚度比很大時，本文解與經典宏觀解一樣都非常接近于0，從工程角度來看此時尺度效應對計算結果的影響并不顯著。另外，本文提出的計算方法只含有一個尺度參數，減小了未來應用于工程的阻礙。同時在宏觀尺度下，本文方法能夠自然地得到與傳統宏觀方法一致的解，因此有著良好的普適性。