壓電壓磁材料中正n邊形孔邊裂紋分析

徐 燕， 楊 娟

(1.寧夏大學新華學院，銀川 750021; 2.寧夏大學 民族預科教育學院，銀川 750002)

1 引 言

20世紀60年代科學家首次注意到磁有序晶體中存在線性磁電效應[1]，但僅是大多數單相磁電材料只在低于室溫的環境下檢測到微弱的磁電效應，嚴格的溫度/磁場范圍限制了尖端技術領域對磁/電智能材料及元器件的廣泛應用。直到1972年，科學家第一次成功制備出磁電轉換系數較大的壓電壓磁材料BaTio3-CoFe2o4，才逐漸拓寬了磁電智能材料的使用范圍。壓電壓磁材料是一種新型的智能材料和信息功能材料，同時具有優良的力電/力磁轉化功能、較強的磁電耦合效應和對激勵快速響應等優勢，廣泛用于磁場探測器、磁電存儲器、微機械傳感器和智能濾波器等智能元器件中。近年來還在新能源、航天航空、生物醫療和國防信息化建設等領域具有巨大的應用潛能，但是，壓電壓磁材料天然固有的脆性特征，使其在鑄造過程中極易產生裂紋和孔洞等缺陷。在復雜的力、電和磁耦合載荷環境下缺陷處容易引起應力集中分布,最終導致材料斷裂損壞[2]。斷裂力學研究對于壓電壓磁材料和智能元器件的設計及其性能優化具有十分重要的工程價值和理論意義,近年來成為人們關注的熱點，并在這方面已取得許多重要的研究成果[3-5]。

孔邊裂紋問題的研究更是該領域中一個非?；钴S的課題，國內外學者已做了大量工作。文獻[7，8]分別給出磁電彈性介質中圓孔邊周期裂紋和橢圓孔邊多裂紋反平面問題的解析解及數值算例。文獻[9]求解了唇形裂紋反平面問題的解析解。文獻[10]通過引入一個拱形映射公式，討論了磁電彈體中含橢圓孔邊不對稱雙裂紋的靜力學和動力學問題。文獻[11]通過將納米橢圓孔簡化為納米裂紋，獲得問題的閉合解。文獻[12]探索了表面效應對磁電彈性材料中含帶四條裂紋的正4n邊形納米孔的影響。但是，至今未發現關于壓電壓磁材料中正n邊形孔邊裂紋反平面斷裂問題研究的報道。

2 壓電壓磁材料基本理論

本文對含正n邊形孔口單裂紋的橫觀各向同性壓電壓磁材料的斷裂性能的研究中，以x3軸為磁電極化方向，以垂直于x3軸的x1-x2平面為各向同性面，故本構方程可化簡為

(k=1,2)(1)

平衡方程及磁-電麥克斯韋方程

σ3i,i+bi=0,Di,i+be=0,Bi,i+bm=0

(i=1,2)(2)

若不考慮體力、體電荷密度和體電流的作用，即bi=0，be=0和bm=0，則

B02U=0

(3)

(4)

因為|B0|≠0，則由式(3)可得控制方程為

2U=0

(5)

式(5)的一般解可表示為

(z=x1+ix2)(6)

利用Stroh公式，引入一個廣義應力函數向量φ[13],可得

(7)

式中下標的逗號表示求偏導。

將式(1)代入式(7)得

(8)

由式(8)可得

(9)

因此，式(6,9)的一般解可以寫成Stroh公式的形式

(z=x1+ix2)(10)

式中A=I,B=iB0,I為一個3×3階單位矩陣，f(z)為一個由邊界條件決定的解析函數向量。

3 壓電壓磁材料中正n邊形孔邊裂紋問題的解析解

3.1 力學模型

如圖1所示,在含有正n邊形孔口缺陷的無限大橫觀各向同性壓電壓磁材料中,有一條沿x1軸方向的孔口邊水平裂紋，其長度表示為L，其中缺陷的孔口邊長表示為a，并沿磁電極化方向穿透。假設壓電壓磁材料在無窮遠場受均勻反平面剪切應力、面內電載荷和磁載荷共同作用。

圖1 無限大壓電壓磁材料中帶單裂紋的正n邊形孔口

3.2 場強度因子

在壓電壓磁材料內，復勢向量函數形式[14]為

f(z)=c∞z+f0(z)

(11)

式中c∞為一個與遠場載荷條件有關的復數形式的常向量，f0(z)為一個在無窮遠處取值為零的未知復函數向量，即f0(∞)=0。

對式(10)關于x1求偏導數，得

(12)

式中F(z)=df(z)/dz。將式(11)代入式(12)，再令z→∞得

(13)

(14)

壓電壓磁材料中正n邊形孔邊及其裂紋面上的力、電和磁邊界條件可表示為

ts=(t3-Dn-Bn)T

(15)

式中t3為沿邊界所受的反平面剪切應力，Dn為法向電位移，Bn為磁感應強度。

考慮磁電全非滲透型邊界條件時，假設孔口和裂紋面是自由的，則式(15)化為

(16)

將式(11)代入式(16)得

(17)

為了容易求解函數方程組，引入合適的數值保角變換[15]

(18)

其中常數R為正n邊形的形狀系數，a為正n邊形的邊長.此映射可將z平面上正n邊形孔洞外部區域映射到z1平面上單位圓孔外部區域。

利用式(18)能夠把z平面上正n邊形孔邊裂紋外部區域映射到ζ平面上單位圓內部，獲得復合映射函數為

(19)

2(1+ε)(1-ζ2)2]1/2}

(20)

式中ε為一實參數,且ε=(1+l+(1+l)-1/2，其中l為z1平面的裂紋長度,點的對應關系式為

d+L=R[(1+l)+c1(1+l)1 - n+

c2(1+l)1 - 2n+…+ck(1+l)1 - k n]

(21)

式中d為正n邊形的頂點到中心的長度,對應關系為z1=d+L=ω(1)。

利用保角映射z=ω(ζ)，式(17)在ζ平面上可變為

(22)

(23)

(|ζ|<1)(24)

運用Cauchy積分公式，對|ζ|<1內任一點ζ滿足

(|ζ|<1)(25)

運用留數定理，式(25)右端的積分結果可表示為

(26)

將式(26)代入式(25)，并對兩端關于ζ求導，得

(27)

式中F0(ζ)=df0(ζ)/dζ，且

(28)

式中

2(ε+1)(1+ζ2)]/{ε(1+ζ)2+(1-ζ)2+

由文獻[17],ζ平面內ζ=1處的應力、電位移和磁感應強度因子可表示為

(29)

將式(27)和式(14)的第一個公式代入式(29)得

(30)

(31)

(32)

(33)

式中L′=(h+L)/2，當n取奇數時，h為正n邊形的高，當n取偶數時，h為正n邊形的兩個頂點之間的最大距離.

故式(30)可化簡為

(34)

當不考慮磁場時，所得研究結果與文獻[18]的結果相一致。

3.3 能量釋放率

對于磁電全非滲透型裂紋，能量釋放率的數學表達式為[9]

(35)

式中

(36)

將式(34～36)代入式(35)，得

(37)

式中

3.4 結果與討論

(1) 當n=3時，由式(33,37)可獲得壓電壓磁材料中正三角形孔邊單裂紋問題的解析解

(38)

G=[πL′(K*)2/(2detB0)]Λ

(39)

(2) 當n=4時，由式(33，37)可獲得壓電壓磁材料中正四邊形孔邊單裂紋問題的解析解

(40)

G=[πL′(K**)2/(2detB0)]Λ

(41)

當不考慮磁場時，式(40，41)分別退化為壓電復合材料中正四邊形孔邊單裂紋的等效場強度因子解析表達式和能量釋放率的解析表達式。這與文獻[5]退化為孔邊單裂紋反平面問題的結果相吻合，由此進一步印證了計算方法的有效性。

(3) 當n=5時，由式(33，37)可獲到壓電壓磁材料中正五邊形孔邊單裂紋問題的解析解

(42)

G=[πL′(K***)2/(2detB0)]Λ

(43)

4 數值算例及分析

本文以磁電彈性復合材料BaTio3-CoFe2o4為例，其材料常數如下[19]

c44=4.4×1010Pa,e15=5.8 C/m2

d11=5.2×10-12Ns/VC

臨界能量釋放率為Gr=5.0 N/m。

取n=3,4,5，圖2和圖3分別顯示了等效場強度因子K與裂紋長度L/a和孔口邊長a的變化關系曲線?？梢钥闯?，裂紋長度和孔口邊長起初增大都會引起裂紋擴展，后趨于穩定狀態。另外，在相同條件下，n=3時對應的等效場強度因子最大。

圖2 等效場強度因子K隨L/a的變化關系

圖3 等效場強度因子K隨a的變化關系

取L/a=0.01,a=0.02 m。圖4給出了等效場應力強度因子K隨正n邊形邊數量的變化關系曲線?？梢钥闯?，帶一條裂紋的孔口為正三角形時等效場應力強度因子最大，隨著正n邊形邊數的增加，等效場應力強度因子逐漸減小，并且趨于帶一條裂紋的圓孔的等效場應力強度因子。所以 圖4 表明正n邊形邊數越小，孔邊裂紋擴展得越快。

圖4 等效場強度因子K隨n的變化關系

圖5 對不同a,無量綱能量釋放率G/Gr隨L/a的變化關系

圖6 對不同無量綱能量釋放率G/Gr隨的變化關系

圖7 對不同無量綱能量釋放率G/Gr隨的變化關系

圖8 對不同無量綱能量釋放率G/Gr隨的變化關系

從圖6～圖8可以看出，在相同條件下，n=3時對應的無量綱能量釋放率最大，這說明材料中含正三角形孔邊單裂紋更容易損壞。

5 結 論

本文采用復勢法和Schwarz-Christoffel(CS)變換技術，系統地研究了壓電壓磁材料中含帶單裂紋的正n邊形孔邊裂紋的反平面問題。所得的研究結果適用于任意規則多邊形孔邊裂紋問題。通過對幾種特殊情形的數值算例結果繪圖對比分析，揭示了壓電壓磁材料斷裂的破壞機理。同時得到一些有用的結論。

(1) 正n邊形的孔洞邊長尺寸和裂紋長度的增加會促進裂紋的擴展，并且孔洞邊長尺寸變化對裂紋的擴展影響更顯著一些。

(2) 在磁電全非滲透邊界條件下，根據能量釋放率準則，機械載荷對裂紋的擴展有顯著影響；電位移載荷既能促進也能抑制裂紋的擴展；磁載荷對裂紋擴展的影響與電場相似，主要與所施加的機電載荷組合的大小有緊密聯系，但磁場影響作用遠小于電場。

(3) 在相同條件下，等效場強度因子和無量綱能量釋放率隨著正n邊形邊的數量增加而逐漸減少，并最終無限接近于帶一條裂紋圓孔的值。反之正n邊形邊的數量越小，缺陷擴展越快。研究結果顯示正三角形孔邊裂紋構型更易損壞。