矩形基礎地基臨塑荷載公式

許年春， 鄭 瑞， 吳同情,2， 楊全虎

(1.重慶科技學院 建筑工程學院，重慶 401331；2.能源工程力學與防災減災重慶市重點實驗室，重慶 401331)

1 引 言

臨塑荷載是指地基中即將出現塑性區時的基底壓力，對應基礎荷載-沉降曲線(p-s曲線)上的比例界限，目前土力學教材中給出的臨塑荷載公式是根據條形荷載作用下地基中應力分布推導出來的，因此只適用于條形基礎[1-4]。文獻[2,3]認為將條形基礎地基臨塑荷載公式應用于矩形基礎，其結果偏于安全，但均沒有推導理論公式，也沒有提供實驗數據。

對于條形基礎臨塑荷載的研究主要集中于兩個方面,一是研究側向土壓力系數K0≠1時的臨塑荷載[5,8]，但文獻[5,8]在推導方法或利用開平方近似計算式方面存在爭議，所給臨塑荷載公式正確性值得商榷；二是研究考慮中間主應力影響的臨塑荷載，如文獻[9-12]采用雙剪強度準則替換庫侖強度準則，將中主應力引入臨塑荷載公式，計算出的臨塑荷載大于教材上的公式結果。

經查閱文獻，未發現矩形基礎地基臨塑荷載公式的研究報道，而在實際工程中柱下矩形基礎比條形基礎應用更廣泛，對矩形基礎地基臨塑荷載公式開展研究不僅對土力學學科發展具有理論意義，同時對矩形基礎設計具有實踐價值。

2 條形基礎地基臨塑荷載公式

條形基礎的受力可看成平面應變問題，如圖1所示，p表示基底壓力，q表示基礎埋深范圍內土體自重產生的壓力。

圖1 條形基礎地基中的附加主應力

under a strip footing

點M距基底的深度為z，β為點M到基底兩端點的夾角。利用Flamant解可得到基底附加應力p-q在點M產生的主應力[1-4]為

(1a,1b)

且σ1作用在β的角平分線上。

基底面以下土體重度γ，當土體側壓力系數K0=1時，q和基底面以下土體自重壓力γz在各個方向上產生相等的壓力，相當于靜水壓力，因此原主應力方向不發生改變，主應力可通過直接相加得到，即[1-4]

(2a)

(2b)

(3)

實際地基土K0<1，臨塑荷載小于式(3)的計算值，按照雙剪統一強度理論，Coulomb強度準則計算出的臨塑荷載偏小，如果把這兩個因素一起考慮，按式(3)計算條形基礎臨塑荷載仍然是合理的。K0<1時土體自重應力會引起主應力軸的偏轉，大大增加臨塑荷載公式推導的難度；對于埋深較淺或地基承載力較大的基礎，K0<1對于臨塑荷載影響很??；雙剪統一強度準則的中間主應力影響系數需要通過專門實驗才能確定，綜合考慮以上因素，本文推導矩形基礎地基臨塑荷載公式時，假設K0=1，采用Coulomb強度準則。

3 矩形基礎地基臨塑荷載公式

3.1 基底邊緣處的應力分析

如圖2所示為線框表矩形基礎底面，其寬度為2a，長度為2b，基底附加壓力為p-q，與條形基礎相比，相當于在矩形基底左右兩側區域內作用向上的拉應力-p+q。

圖2 矩形基礎底面

將坐標原點O置于兩側區域內任一位置，如圖2所示，x軸與寬度方向平行，y軸與長度方向平行，由于塑性區是從基底邊緣處開始發展的，臨塑荷載對應的塑性區開展深度為0，故取基底寬度方向邊緣處中點N1和端點N2作為觀察點。由于點N1的埋深z=0，根據Boussinesq單個豎向集中力作用下的應力解[2-4]，左右兩側區域內拉應力-p+q在點N1產生的y方向正應力為

(4)

(5a)

對于條形基礎，a?b，atan[a/(2b)]≈π/2，σy 1 - p + q=0。

同時-p+q在點N1產生的z方向(豎向)正應力和剪應力分別為

σz 1 - p + q=0,τy z 1 - p + q=0

(5b,5c)

對于點N2，-p+q產生的y方向正應力為

(6)

式(6)積分可得

(7a)

同時-p+q在點N2產生的z方向正應力和剪應力分別為

σz 2 - p + q=0,τy z 2 - p + q=0

(7b,7c)

比較式(5～7)可知，-p+q在兩點產生的豎向正應力和剪應力相等，y方向正應力差別在于最后一項，點N1為π/2-atan[a/(2b)]，點N2為π/2-(1/2)atan(a/b)，在后面的公式推導過程中，為了節省篇幅，只對點N1作詳細介紹。

條形基底附加應力p-q和土體自重壓力作用下,地基中主應力仍如式(2)，對于點N1和點N2，γz=0，大小主應力分別為

σ1=[(p-q)/π](β+sinβ)+q

(8a)

σ3=[(p-q)/π](β-sinβ)+q

(8b)

3.2 基底邊緣處的應力表達式

沿條形基底地基中主應力方向建立y′-z′局部直角坐標系，如圖3所示。

圖3 局部直角坐標系

z′與豎向的夾角為Ψ，當點N1無限接近地面時，點N1與基底遠端點連線近似為水平線，此時Ψ≈π/2-β/2，式(5)表示的應力在局部坐標系的應力為

(9a)

(9b)

(9c)

點N1的應力疊加為

(10a)

(10b)

τz′y′=τz′y′1 - p + q

(10c)

3.3 開平方近似計算式及誤差分析

為得到地基臨塑荷載公式，需要先根據式(10)中各應力分量求出大小主應力，再將主應力代入Coulomb抗剪強度公式。然而求大小主應力涉及到開平方求根，導致臨塑荷載公式推導很困難，因此，需要利用開平方近似計算式。

(11)

式中n為正實數。

在Mohr應力圓中，點N1的應力可用點P和點Q的坐標來表示，如圖4所示為P(σz′,τz′y′)和Q(σy′,-τz′y′)(注：β值預估范圍1.0～1.8，由式(10)可以判斷σz′>σy′，τz′y′>0)。PQ相對于σ軸的轉角為2α。

圖4 用Mohr圓上的點表示應力分量

近似計算式的誤差率用Δ來表示

(12)

對Mohr圓直徑|PQ|任意取值，通過幾何關系可得到不同2α值時的Δ值為

Δ=|100cos2α+100nsin2α-100|%

(13)

取n=0.06，0.08，0.1，0.12，0.14和0.16，分別作計算，圖5給出2α∈(0,25°)時Δ值變化。

圖5 2α -Δ關系

可以看出，隨著2α的增大，Δ先增大，后變小，再逐步增大。當2α較小時，n取較小值時Δ較小，如2α=10°時，取n=0.08，Δ<0.13%。當2α較大時，n取較大值時Δ較小，如2α=19°時，取n=0.1，Δ=2.19%；取n=0.12，Δ=1.54%；取n=0.14，Δ=0.89%；取n=0.16，Δ=0.24%。

3.4 臨塑荷載公式

土的Coulomb抗剪強度極限平衡條件為

(14)

根據主應力與應力分量的關系，極限平衡條件可以改寫為

(15)

將式(10)各應力分量代入式(15)，利用開平方近似計算式(11)，經化簡得到式(16)。

(16)

根據式(16)得p的表達式為

(17)

點N1臨塑荷載pc r 1為p的最小值，式(17)右側對β的導數等于0，得式(18)。

(sinβ+ncosβ)=0

(18)

利用三角函數的級數展開式,sinβ≈β-β3/6，cosβ≈1-β2/2+β4/27(注：取β∈(1.0,1.8)檢驗，最后一項分母取27，比取24有更高的精度)。

式(18)可轉變為

Aβ4+Bβ3+Cβ2+Dβ+E=0

(19)

當n在0.06～0.16區間取值時，A的第二項相對于第一項很小，可以忽略(后面取多組參數進行檢驗，結果表明忽略該項引起的臨塑荷載計算誤差小于0.7‰)，將式(19)轉換成式(20)。

β4+B′β3+C′β2+D′β+E′=0

(20)

式(20)有四個實數解，數學手冊上有其求解方法，限于篇幅，在此不作詳細介紹，直接給出在(1.0,1.8)范圍內的解為

(21)

將式(21)代入式(17)，即可求出點N1臨塑荷載pc r 1。

將式(17,21)的π/2-atan[a/(2b)]用π/2- (1/2)atan(a/b)來代替，即可得到點N2臨塑荷載pc r 2。

4 算 例

表1列出了pc r 1/pc r s和pc r 2/pc r s的計算結果，其中n取值與計算出的2α值相關，2α=atan[2τz ′ y ′/(σz ′-σy ′)]，先取n=0.10，再根據計算出的2α值對n作調整(小幅調整n對2α沒有影響，因此調整一次即可)，點N1與點N2的2α很接近(最大相差0.2)，點N2的2α略大，表1列出了點N2的2α及對應的Δ值。點N1與點N2的β幾乎相等(最大相差0.01)，表1列出了點N2的β值。

表1 pc r 1和pc r 2計算實例(a/b =0.5,c =20 kPa,q =30 kPa)

5 結 論