(α,β)-區間值模糊子格

任詠紅，孫煜超，閆玉華

(遼寧師范大學 數學學院, 遼寧 大連 116029)

自從L.A.Zadeh[1]引入模糊集的概念和Rosenfeld[2]引入模糊子群的概念, 開創了模糊代數學的研究領域以來, 各種模糊代數理論相繼出現.學者們引入了模糊子格的概念并研究其理論[3-6], 從而將模糊代數推廣到格的情況.Bhakat和Das[7-9]基于模糊點和模糊集的鄰屬關系, 研究了(α,β)-模糊子群的定義.袁學海等[10-11]先后定義了區間值模糊集的區間值水平截集, 區間值模糊點和區間值模糊集鄰屬關系, 并將這種鄰屬關系應用于區間值模糊代數的研究中, 提出了(α,β)-區間值模糊子群的概念, 2009年楊家歧[12]討論了(α,β)-直覺模糊子格.

本文基于區間值模糊點和區間值模糊集的鄰屬關系, 提出了(α,β)-區間值模糊子格的概念, 分別研究了α,β∈{∈,q,∈∨q,∈∧q}時,(α,β)-區間值模糊子格的性質, 討論了幾種(α,β)-區間值模糊子格的等價條件, 并證明了格L上的一個區間值模糊子集分別為這3種區間值模糊子格的充要條件是其對應的區間值水平截集為格L的三值模糊子格.

1 預備知識

設M={[a1,a2]|0≤a1≤a2≤0.5或0.5≤a1≤a2≤1}, 在M中規定：

對λ=[a1,a2],μ=[b1,b2]∈M, 滿足

λ≤μ?a1≤b1,a2≤b2;λ<μ?a1≤b1,a2

定義1.1設A:L→[0，1]為格L的一個模糊子集, 若

A(x∨y)≥A(x)∧A(y)，A(x∧y)≥A(x)∧A(y)，

則稱A為格L的一個模糊子格.

定義1.2[7](1)設X為集合, 稱映射A:X→M為X上的一個區間值模糊子集, 記作A(x)=[A-(x),A+(x)],?x∈X.

定義1.3[8]設xλ為一個區間值模糊點,A是X上的一個區間值模糊子集.

(1)令[xλ∈A]表示xλ屬于A的程度,[xλqA]表示xλ重于A的程度, 且當λ=[a1,a2]時, 有

(2)[xλ∈∧qA]=[xλ∈A]∧[xλqA],[xλ∈∨qA]=[xλ∈A]∨[xλqA].

2 (α,β)-區間值模糊子格

令“→”表示三值蘊涵算子, 則有三值蘊涵真值表(見表1).

表1 三值蘊涵真值表

(1)([xλαA]∧[yμαA]→[(xλ∨yμ)βA])=1; (2)([xλαA]∧[yμαA]→[(xλ∧yμ)βA])=1.

則稱A為L的一個區間值模糊子格, 這里xλ∨yμ=(x∨y)λ∧μ,xλ∧yμ=(x∧y)λ∧μ.

定義2.1與下述定義2.2等價.

(1)[(xλ∨yμ)βA]≥[xλαA]∧[yμαA]; (2)[(xλ∧yμ)βA]≥[xλαA]∧[yμαA].

則稱A為L的一個區間值模糊子格.

由于α,β∈{∈,q,∈∧q,∈∨q)}, 所以(α,β)-區間值模糊子格一共有16種, 下面來研究這些(α,β)-區間值模糊子格的性質.

令λ=[A-(x)∧A-(y),A-(x)∧A-(y)], 則有λ∈M且[xλ∈A]=1,[yλ∈A]=1.存在μ=[b1,b2]∈M, 滿足

0<1-b11-b1,A-(y)>1-b1,1-b2≤1-b1<1.

因此，[xμqA]=1,[yμqA]=1,b2>0.

當α=∈或∈∨q時,[xλαA]=[yλαA]=1, 于是對β∈{∈,q,∈∧q,∈∨q}有

1=[xλαA]∧[yλαA]≤[(x∨y)λ∧μβA]≤1.

A-(x∨y)≥A-(x)∧A-(y)>0或A-(x∨y)>1-A-(x)∧A-(y)≥0.

當α=q時,[xμαA]=[yμαA]=1, 于是對β∈{∈,q,∈∧q,∈∨q}有

1=[xμαA]∧[yμαA]≤[(x∨y)μβA]≤1.

A-(x∨y)≥b2>0或A-(x∨y)>1-b1>0.

0<1-b2≤1-b11-b2,A+(y)>1-b2,b1>0.

A+(x∨y)≥A+(x)∧A+(y)>0或A+(x∨y)>1-A+(x)∧A+(y)≥0.

A+(x∨y)≥b1>0或A+(x∨y)>1-b2>0.

定理2.2設A為L的一個區間值模糊子格, 對x∈L, 令A(x)=[A-(x),A+(x)], 設A-(x)>0, 則當(α,β)∈{(∈,q),(∈,∈∧q),(∈∨q,q),(∈∨q,∈∧q),(q,∈),(q,∈∧q),(∈∨q,∈)}時, 有A(x)=[1,1].

證易證A-(x)=1.

事實上，若0

0

則A-(x)≥a2,A-(x)>1-b1, 即[xλ∈A]=1,[xμqA]=1.

當(α,β)∈{(∈,q),(∈,∈∧q),(∈∨q,q),(∈∨q,∈∧q)}時,[xλαA]=1.由A為L的一個區間值模糊子格知

[(x∧x)λ∧λβA]≥[xλαA]∧[xλαA],

即[xλβA]=1.于是有[xλqA]=1, 即A-(x)>1-a1.這與A-(x)<1-a1矛盾.

當(α,β)∈{(q,∈),(q,∈∧q),(∈∨q,∈)}時,[xμαA]=1.由A為L的一個區間值模糊子格知

[(x∧x)μ∧μβA]≥[xμαA]∧[xμαA],

即[xμβA]=1.于是有[xμ∈A]=1, 即A-(x)>b2.這與A-(x)

又A+(x)≥A-(x)=1, 所以A(x)=[1,1].

定理2.3如果A≠?且A是一個(q,q)-區間值模糊子格, 那么A-(x)在H={x|x∈L|A-(x)>0}上是一個常數.

證若存在x,y∈H,A-(x)≠A-(y), 不妨設A-(x)

A-(x)<1-a1,A-(x)>1-b1,A-(y)>1-a1,A-(y)>1-b1.

[(xμ∨yλ)qA]=[(x∨y)μ∧λqA]≥[xμqA]∧[yλqA]=1.

由于[((xμ∨yλ)∧xμ)qA]=[xλqA]≠1, 則[(xμ∨yλ)qA]=[(x∨y)μ∧λqA]≠1.這與[(xμ∨yλ)qA]=1矛盾.

同理可證,xμ∧yλ的情況.

因此,A-(x)在H={x|x∈L|A-(x)>0}上是一個常數.

證首先, 存在一個元素x∈H, 使A-(x)≥0.5.若不然, 則有A-(x)<0.5,?x∈H.由于A-在H上不是常數, 所以存在x,y∈H, 使得A-(x)≠A-(y), 不妨設A-(x)

A-(x)

(1)

則

[xμqA]=[yλqA]=[yμqA]=1,[(xμ∨yλ)qA]=[(x∨y)μ∧λqA]=1且[xλqA]≠1.

[((xμ∨yλ)∧xμ)∈∨qA]=[xλ∈∨qA]=[xλ∈A]∨[xλqA].

又[((xμ∨yλ)∧xμ)∈∨qA]≥[(xμ∨yλ)∈∨qA]∧[xμ∈∨qA]=1, 從而[xλ∈A]∨[xλqA]≥1, 這與式(1)矛盾.

因此, 存在x∈H,A-(x)≥0.5.

其次, 假設存在y∈H, 使A-(y)<0.5, 則存在λ=[a1,a2],μ=[b1,b2]∈M使得

(1-A-(x))∨A-(y)

(2)

則

[((xμ∨yλ)∧yλ)∈∨qA]=[yλ∈∨qA]=[yλ∈A]∨[yλqA]≥1.

故A-(y)≥a1或A-(y)>1-a1，這與式(2)矛盾, 于是有A-(x)≥0.5, ?x∈H, 從而A+(x)≥0.5.

同理可證，xμ∧yλ的情況.

定理2.5設A為L的(∈∧q,β)-區間值模糊子格,N={x|x∈L,A-(x)>0.5}，則當β∈{q,∈∧q}時，A(x)在N上為常量.

證只需對β=q的情況加以證明.

首先, 對A-(x)>0.5, ?x∈N, 證A-(x)在N上為常數.

事實上, 若A-(x)≠A-(y), ?x,y∈N.不妨設0.5

1-A-(y)

(3)

則

[xλqA]=[((xμ∨yλ)∧xμ)qA]≥[(xμ∨yλ)∈∧qA]∧[xμ∈∧qA]≥

[xμ∈∧qA]∧[yλ∈∧qA]∧[xμ∈∧qA]=1.

于是A-(x)>1-a1, 這與式(3)矛盾.

因此，A-(x)=A-(y), ?x,y∈N.

其次, 證明A+(x)=A+(y), ?x,y∈N.

事實上, 顯然有A+(x)>0.5,A+(y)>0.5.設存在λ=[a1,a2],μ=[b1,b2]∈M使

A+(y)>1-a2>A+(x)>1-b2>0.5，

(4)

則

[xλqA]=[((xμ∨yλ)∧xμ)qA]≥[(xμ∨yλ)∈∧qA]∧[xμ∈∧qA]≥

即A+(x)>1-a2, 這與式(4)矛盾, 因此，A+(x)=A+(y), ?x,y∈N.

同理可證，xμ∧yλ的情況.

綜上討論知,A(x)在N上為常量.

(3)如果A是L的一個(∈∨q,∈∨q)-區間值模糊子格, 那么A是一個(∈,∈∨q)-區間值模糊子格.

證(1)(2)證明顯然成立.

(3)由于A是L的一個(∈∨q,∈∨q)-區間值模糊子格, 故

[(xλ∨yμ)∈∨qA]≥[xλ∈∨qA]∧[yμ∈∨qA]≥[xλ∈A]∧[yμ∈A]，

[(xλ∧yμ)∈∨qA]≥[xλ∈∨qA]∧[yμ∈∨qA]≥[xλ∈A]∧[yμ∈A]，

故A是一個(∈,∈∨q)-區間值模糊子格.

定理2.7(1)A為L的(∈,∈)-區間值模糊子格的充要條件是

A(x∨y)≥A(x)∧A(y),A(x∧y)≥A(x)∧A(y), ?x,y∈L.

(2)A為L的(∈,∈∨q)-區間值模糊子格的充要條件是

(3)A為L的(∈∧q,∈)-區間值模糊子格的充要條件是

(4)A為L的(∈∧q,∈∨q)-區間值模糊子格的充要條件是對?x,y∈L滿足

證僅證明(3), 其他情況的證明是類似的.

必要性.設λ=[A-(x)∧A-(y),A-(x)∧A-(y)].若

A-(x∨y)∨0.5

則

A-(x∨y)0.5,A-(y)>0.5,

(5)

故

[(x∨y)λ∈A]≥[xλ∈∧qA]∨[yλ∈∧qA]=1,

于是，A-(x∨y)≥A-(x)∧A-(y), 這與式(5)矛盾，故有A-(x∨y)∨0.5≥A-(x)∧A-(y).

設μ=[A+(x)∧A+(y),A+(x)∧A+(y)].若A+(x∨y)∨0.5

A+(x∨y)0.5,A+(y)>0.5.

(6)

故

于是，A+(x∨y)≥A+(x)∧A+(y), 這與式(6)矛盾.故有A+(x∨y)∨0.5≥A+(x)∧A+(y).

令a=[xλ∈∧qA]∧[yμ∈∧qA].

(i)當a=1時,A-(x)≥a2,A-(x)>1-a1,A-(y)≥b2,A-(y)>1-b1, 則A-(x)>0.5,A-(y)>0.5, 于是A-(x∨y)≥A-(x)∧A-(y)≥a2∧b2, 因此[(x∨y)λ∧μ∈A]=1.

若a1∨b1≤0.5, 則a2∨b2≤0.5, 有A+(x)>0.5,A+(y)>0.5.

若a1∨b1>0.5, 則A+(x)>0.5,A+(y)>0.5.

綜上所知,[(x∨y)λ∧μ∈A]≥[xλ∈∧qA]∧[yμ∈∧qA].

同理可證,[(x∧y)λ∧μ∈A]≥[xλ∈∧qA]∧[yμ∈∧qA].

因此，A為L的(∈∧q,∈)-區間值模糊子格.

定理2.8(1)A為L的(∈,∈)-區間值模糊子格的充要條件是(?λ∈M)Aλ為L的一個三值模糊子格.

證僅證明(2), 其他情況的證明是類似的.

[(x∨y)λ∈∨qA]≥[xλ∈A]∧[yλ∈A],

即

Aλ(x∨y)≥Aλ(x)∧Aλ(y).

同理可證，Aλ(x∧y)≥Aλ(x)∧Aλ(y).因此,Aλ為L的一個三值模糊子格.

[(x∨y)λ∧μ∈∨qA]=Aλ∧μ(x∨y)∨A[λ∧μ](x∨y)=

Aλ∧μ(x∨y)≥

Aλ∧μ(x)∧Aλ∧μ(y)≥Aλ(x)∧Aμ(y)=

[xλ∈A]∧[yμ∈A].

[(x∨y)λ∧μ∈∨qA]=Aλ∧μ(x∨y)∨A[λ∧μ](x∨y)=

A[λ∧μ](x∨y)≥A(λ∧μ)c(x∨y)≥

A(λ∧μ)c(x)∧A(λ∧μ)c(y)≥Aλ(x)∧Aμ(y)=

[xλ∈A]∧[yμ∈A].

同理可證，[(x∧y)λ∧μ∈∨qA]≥[xλ∈A]∧[yμ∈A].

因此,A為L的(∈,∈∨q)-區間值模糊子格.

4 結 論

本文基于區間值模糊點和區間值模糊集的鄰屬關系, 定義了(α,β)-區間值模糊子格.在“[a1,a2]≤[0.5,0.5]或[a1,a2]>[0.5,0.5]”的條件下, 對16種(α,β)-區間值模糊子格進行討論, 建立了基于區間值模糊點和區間值模糊集鄰屬關系的(α,β)-區間值模糊子格理論.進一步證明了格L上的一個區間值模糊子集分別為這3種區間值模糊子格的充要條件是其對應的區間值水平截集為格L的三值模糊子格.