非線性-積分拋物型方程零階項的識別問題

許瑤瑤，楊 柳

（蘭州交通大學 數理學院，蘭州 730070）

數理物理方程反問題是以具有物理背景的偏微分方程（組）作為研究的主要對象，它與其他數學分支及物理、化學等自然科學和工程技術的很多領域都有著廣泛的聯系［1］.眾所周知，正問題的求解過程一般是由條件推導出結果.對于正問題而言只要條件充分，那么正問題的解必然存在且唯一.對于反問題的求解過程來說，它是一個逆向的，因此反問題的研究難度非常大.我們應該指出正問題和反問題之間有一個主要的區別是在Hadamard意義上，正問題是適定的，而大多數反問題是不適定的［2］，即反問題的解是不存在，不唯一或不穩定的.因此為解決反問題的不適定性，大多會采用正則化［3］和最優控制等理論方法來解決.例如文獻［4］中的方程：

使用Tikhonov正則化方法，識別橢圓型方程Dirichlet問題中系數q（x）的收斂速度.文獻［5］考慮一個二階拋物型方程反演輻射系數的初邊值問題：

其中?（x）是區間（0，1）上給定的一個光滑曲線，q（x）是所要反演的系數，假設給定如下附加條件：u（0，T）=f（x），x∈（0，1）利用最優控制的方法確定滿足問題的u和q.文獻［6］研究期權定價中著名的Black-Scholes方程：

主要基于最優控制理論利用市場觀測數據重構隱含波動率σ的反問題，文獻［7］基于極值原理討論退化拋物型方程的源系數反演問題，文獻［8］在最優控制的框架下分析帶有積分源項的拋物型方程的反源問題，證明解的存在性、唯一性和穩定性.文獻［9］主要運用最優控制方法來考慮具有積分型源項的二階拋物型方程的初值反演問題.通過閱讀相關文獻可知對于非線性帶積分型源項的拋物型方程的系數反演問題的研究較少，在實際應用中如污水治理、污染物揮發等都會遇到這一類的問題.

本文研究當終端觀測數據已知時，重構非線性-積分拋物型方程的零階項識別問題，該問題P可描述為如下形式：

其中：f（x），φ（x），Ψ（x），p是（0，l）上已知的光滑函數，Ψ（x）表示在終端時刻T＞0時的觀測值，φ（x）是初始時刻的觀測值.如何確定滿足問題P的u和q（x）？

本文主要是從理論分析的角度出發對問題P進行研究，由于問題P的不適定性，可轉化為一個新的控制問題來代替原來的問題P.

1 最優控制問題

這里我們假設φ（x）＞0，φ∈C2，α［0，l］，0＜α＜1且Φ=maxx∈［o，l］|φ（x）|.在方程（1）中，假設函數p∈C2［0，Φ］并且p滿足Lipschitz條件：

以及p（0）=0，|p′|，|p″|≤L，且q（x）是有界函數，即|q（x）|≤c，考慮到問題（1）的不適定性，以及對于一般終端觀測數據Ψ（x），問題P可能沒有解，我們轉而考慮以下問題P1如下所示.

問題P1求，使得

這里

A=｛q（x）|0＜α0≤q≤α1，▽q∈L2（0，l）｝U（x，T，q）是問題（2）的解，q（x）=A，N是正則化參數，α0，α1是兩個給定的正常數.

引理1.1［10］假設φ∈C2，α［0，l］，0＜α＜1，對于?q（x）∈A，問題存在唯一解

引理1.2假設φ（x）∈L2［0，l］，對q（x）∈L2（0，l），存在一個與T和M有關的非負常數C滿足下式

證明根據問題（1），對于0＜t≤T，有

即

又因為

那么

這里|q|=abs（q）

又因為

因此

即

由Gronwall’s不等式得

引理1.2得證.

2 存在性

定理2.1 存在一個J（q）的極小元q∈A，即

定理2.1的證明是標準的，可參考文獻［11-13］.

3 必要性

定理3.1 若q為最優控制問題（2）的解，則存在一個三元函數（u，v；q）滿足以下方程

且對于?h∈A有

證明對于?h∈A，0≤δ≤1，令

則

令uδ是方程（1）的解，其中q=qδ從而有

由式（7）可得

假設v是以下問題的解

其中L*是L的共軛算子，

由式（9）和（11），可得

所以

由式（10）和（12）可得

定理3.1得證.

4 局部唯一性和穩定性

由于最優控制問題P1的控制泛函是非凸的，故不存在全局唯一解，但當T足夠小時，可以證明P1的解具有局部唯一性和穩定性.

引理4.1對于任意有界連續函數h（x）∈C（0，l），有

這里的x0是（0，l）上的不動點.

證明對于0＜x＜l

引理4.1得證.

引理4.2對于方程（4）由極值原理可得

引理4.2的證明是標準的.

引理4.3［14］設u（x，t）∈C2（Q）∩C（）是問題（1）的解，則有如下估計

在這一節中，本文證明解的局部唯一性和穩定性.假設Ψ1（x），Ψ2（x）是給定的函數，并滿足Ψ（x）∈C［0，l］.令q1（x）是問題P1對應的Ψ1（x）的極小元，q2（x）是問題P1對應的Ψ2（x）的極小元，｛ui，vi｝分別是當q=qi時（i=1，2）問題（3）和（4）的解，令u1-u2=U，v1-v2=Λ，q1-q2=Q.因此U和Λ滿足

引理4.4對于方程（16），有以下估計

證明有0≤θ≤1

從方程（16）中，有0＜t≤T

則有

即

整理得

其中|q1|為q1的絕對值.

從而有

由Gronwall’s不等式得

其中：C是與T無關的常數.

引理4.4得證.

引理4.5由方程（17）可得如下估計

證明由方程（17）可得

通過積分可得

即

從P滿足的條件可知

從而有

又因P是光滑函數，有

由引理4.2和Cauchy不等式得

結合式（18）可得

由Gronwall’s不等式可得

引理4.5得證.

定理4.6令q1（x），q2（x）是最優控制問題P1的兩個最小值，如果存在x0∈（0，l），使q1（x0）=q2（x0），這里T?1，C是不依賴T，l，N的常數，有以下估計

證明在式（5）中，當q=qi時取h=q2，當q=q2時取h=q1，則有

當q=qi（i=1，2）時，｛ui，vi｝（i=1，2）分別是式（3）和（4）的解

由式（20）和（21）得

即

由定理4.6假設知存在x0∈（0，l）使

由引理4.1知

再由式（23），（25）和Young不等式可得

由引理4.2和4.3可知

又因為p（u）是有界函數，故

則

當T?1時，使

則

定理4.6得證.

注：極小元的唯一性是定理4.6的直接推論，正則化參數的選取會對反問題的研究產生影響.由定理4.6容易得到如果存在誤差界δ，令N→0，δ→0，則，那么最優控制的解是局部穩定且唯一的.

5 結論

本文主要是在最優控制理論框架下，研究當終端觀測數據已知時，反演非線性-積分拋物型方程零階項q=q（x）的識別問題.并通過建立控制泛函，完成了對控制泛函極小元的存在性、必要性、局部唯一性和穩定性的證明.本文著重于對一維情況下進行理論分析，將在后續工作中考慮對此模型在二維情況甚至更高維情況下進行研究，將其應用到實際生活的問題當中，實現研究的價值.