數形結合思想的教學過程與階段性表現形態的研究*

王永強 (山東省煙臺市經濟技術開發區第六初級中學 265602)

1 數形結合思想孕育于“直觀形象”，表現為“經驗形態”

經驗是人類對世界認識的主要泉源，數學語言是對世界進行描述的最基本、也是最重要的語言形式，而數學知識的產生也孕育于人類的生活經驗之中.在人類的社會活動中，人們可以通過現實中所存在的客觀實物原型或模型的直觀形象，認識到世界中的空間形式及其所存在的數量關系.因此，事物的直觀形象往往會成為數學思想萌發、孕育的生長點[1]97.數學思想是數學中的一種較為高階的、理性的認識，它萌芽于我們不斷的社會實踐之中，并貫穿于數學整體的發展中.數形結合思想是最具有一般性的數學思想，它的萌芽與發展就是以直觀形象為基礎，以客觀事物模型為根源的，因而，在實現與探究數形結合思想發展價值的第一個階段中，我們應當樹立以直觀形象的實物為基礎的理念，使數形結合思想在學生頭腦中得以孕育.綜合分析，我們可以將數形結合思想的“直觀形象階段”的形態特征及其表現形態概括為“經驗形態”.

在這個過程階段中，數形結合思想是一種潛在的、待滲透于學生頭腦意識中的數學思想，是通過學生不斷的經驗活動積累并孕育生成的.“直觀形象”階段是學生對數形結合思想認識的開始，也是數形結合思想發展價值實現過程的邏輯起點，是學習者脫離具體內容進行抽象認識的開始，在本階段中，其大致表現出如下的特點：

較傾向于直觀形象，具有經驗性以及實驗性特征，并且在此過程階段中，尚不具有嚴密性的特征，數與形之間的邏輯上的聯系也存在一定的不嚴密性.在數形結合思想的孕育階段，學生對于數學知識的學習多依賴于現實實物或模型，抽象邏輯思維能力較低，學生思維特征多依賴于直觀、形象的具體事物或模型.一般來說，處于“直觀形象階段”的學生多為較低年級的學生群體.這個階段也是培養和發展學生數學觀察能力的前提.因此，在數形結合思想形成的萌芽階段，應當是學生在觀察的基礎上，通過對具體直觀形象的事物的觀察，感知數形結合思想.值得一提的是，在此過程中，教師甚至不用明確告知學生所涉及的具體的數學思想.

例如，在低年級的數學教學中，教授基本的加法，比如在對“9加幾”這一節進行學習時，教師一般會運用擺小棒的方法進行教授，其實這就是一種最簡單的數形結合思想的滲透案例.當對某一具體運算進行講解時，如“9+5”，學生很自然地會運用具體實物(小木棒)進行操作，他們會在5個小棒中取出其中一個，從而使得該組木棒的個數剩余4個，然后再移動所取出的1個與另外一組的9個木棒湊在一起，從而湊得個數為10.此時，將新組合的10個木棒再加上另一組剩余的4個，得出此時的結果為14個，然后總結得出“9+5=14”.初中數學中數軸的教學里，也是由形象實物進行引導，讓學生加以認識和學習的.

這樣，在教學中，雖然未明確點明所涉及的數形結合思想，但在一定程度上培養了學生的數學觀察以及直覺感知能力.教師將數形結合思想滲透于學生的數學學習過程中，為數形結合思想的貫徹提供了基礎性的保障.同時，對直觀形象的事物的運用，也進一步提高了學生的學習興趣，有利于調動其學習積極性，促進其在對數學思想的感知基礎上提升對數學知識的有效學習.

2 數形結合思想貫徹于“學科滲透”，表現為“綜合形態”

學科滲透是指將某一學科領域的原理或方法，應用到另一個學科領域中去，從而作出新的發現.[1]103在數學的歷史發展長河中，幾何學與代數學一直以來都是數學中的兩大極為重要的分支，它們兩者之間的相互滲透無疑促進了數學的發展.而在這個過程中，兩者間相互滲透的形態一般表現為“綜合形態”，并具有以下的幾點特征：充分地挖掘出代數與幾何各自的屬性，并調動兩者自身的優勢，充分發揮數形結合思想表象、表形以及邏輯性、算法性的本質特點，從而促使數學問題的發現，加深學生對數學基本概念的理解、加強數學知識間的聯系.

在數學的發展史上，有極為眾多的數學分支學科都是在學科之間相互滲透而產生并不斷發展起來的.例如，解析幾何(又被稱為坐標幾何)就是在學科的相互滲透中應運而生的，它也是學科滲透中最具代表性的一個數學分支，它是用代數學科思想滲透于幾何學科中產生的，是以代數的方法研究幾何的問題，解析幾何是數形結合思想的最為顯著的典型.具體分析就是將平面上的點與實數數對，在直角坐標系的運用中建立彼此對應性的聯系，這樣就可以利用方程來對曲線的性質進行研究.解析幾何的發端要追溯到古希臘時期，阿波羅尼斯在對圓錐曲線進行分析研究時，運用了兩條直線對圓錐曲線的性質進行探討.再后來，古希臘天文學家伊巴古(又譯為喜帕恰斯)在分析其研究中出現的幾何相關問題時，提出了坐標(經緯度)可以用來確定地球上的某一位置這一觀點.而直到14世紀，在法國數學家奧力森的著作中，提出了一種用幾何坐標的方法來確定某一點的位置的觀點.在17世紀初，格塔拉底對運用代數思想來研究幾何問題進行了比較全面的分析，著成《阿波羅尼斯著作的現代闡釋》一書，再后來，格塔拉底又進行了更加細致的探討，最終著成《數學的分析與綜合》一書.這些都是學科滲透的具體表現，也為后來解析幾何的產生與發展奠定了基礎.后來，笛卡爾與費馬在總結前人經驗的基礎上，開拓了解析幾何學這一領域，這也是數形結合思想比較有代表性的成果.

因此，數形結合思想的教學與貫徹過程離不開代數學與幾何學之間的相互滲透，表現出綜合性及一致性的特征，而這也正是與現代數學發展的趨勢相一致的，也即高度分化的同時又保持高度的綜合性.值得注意的是，在這個階段中，學生的思維已經具有了一定的抽象性、邏輯性，其頭腦中也已經具有了一定活動或經驗作為發展的基礎.例如，在小學階段的“線段表示數”就涉及到了最簡單的數形結合思想滲透.而在初中教學中，在數形結合思想的貫徹及教學的過程中，也應當是借助于數學史的發展的，因此，代數學與幾何學的相互滲透也就成為了初中數學教學中的重要的過程.因而，在初中數學教學中，在對數學新概念教學時，一線教師應當在代數學與幾何學的相互滲透中做好對數形結合思想的貫徹工作，而非只是在解題教學時.

例如，在初中數學的教學內容中，在代數學與幾何學相互滲透的成果中，在對新概念進行教學時，除了解析幾何的相關知識外，最典型的代表就是勾股定理的證明，它是歷史上第一個把數與形相聯系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯系起來的定理[2].而勾股定理也是初中數學教學中運用數形結合思想的極為重要的案例之一.因此，在初中數學教學中，尤其是新概念教學中，對勾股定理內容進行學習，是學生體驗數形結合思想較好的案例之一.再比如，在統計學中，我們也可以運用數形結合思想，充分發揮數與形的各自優勢，從而使得統計結果更加直觀并且具有算法性；在數據分析中，對于SPSS軟件的運用，及其通過線性回歸分析、相關分析、方差分析等所得到的數據的描述，便是數形結合思想本質的直接反映.在這一教學階段中，教師要把握好對數形結合思想的貫徹，充分發揮代數學、幾何學、統計學等數學學科分支之間的綜合性，以培養學生數形結合思想的意識，這無疑是對數形結合思想發展價值實現的一個重要階段，可為學生的數學應用、數學問題解決打下堅實的基礎.

3 數形結合思想鞏固于“運用訓練”，表現為“演繹形態”

數學思想源自于人類的數學活動，是一種數學實踐經驗[3].它是一種具體的問題解決方法的一般化思想.簡而言之，數學思想的運用訓練的過程其實就是問題解決及其歸納的過程，它是將數學思想內化于學生的頭腦中，使其表現為一種自動激活的狀態并能夠靈活運用的重要過程.數形結合思想是中學數學思想中最具有一般性的數學思想，因此，數形結合思想的價值、意義的體現必然最終是以數學活動為載體，并應用于數學問題解決的過程中.而數學運用或問題解決的過程階段是對數形結合思想一般化的必需條件，在這一過程中，學生需要足夠的樣例積累才能使數形結合思想發展價值的實現成為可能，也就是說學習者需要將數形結合思想運用于或依托于具體的問題情境中，通過發揮數與形各自的優勢，使學生通過數學觀察，調動直觀思維、形象思維等思維方式得出有效信息，并通過演繹推理等方式使得數學問題得以解決.因此，在運用訓練的過程中，將數形結合思想鞏固于學習者頭腦中，對于建立學生數與形結合的意識、提高學生的數學觀察能力、發展學生的思維表達方式、促進學生的演繹推理能力有著重要的價值.這一階段也是數形結合思想發展價值的實現過程中必不可缺的重要階段，對學生運用數形結合思想解決具體問題以及提高其數形結合思想運用意識有著重要的價值.

在初中數學教學中，數形結合思想實現中的重要一環是數學運用、問題解決及其歸納的過程.在這個過程中，學習者需要通過對一定數量的相關知識的積累以及相關樣例的訓練，運用數形結合思想對不同形式的問題或涉及不同學科內容領域的問題進行體驗并對問題給以解決，從而得出答案.在這一過程中，學習者通過不斷的累積、歸納、演繹推理，使數形結合思想在頭腦中得以鞏固.學習者對相關內容或對相關問題的解決方式進行訓練的過程，也是數形結合思想一般化、模式化的過程，它是將數形結合思想鞏固于學習者頭腦中的重要階段，也是促使學生形成遠遷移，并將數學思想(尤其是數形結合思想)運用于不同情境中的一個重要因素.

例如，在一元一次方程的學習中，學生經歷了其中所涉及的方程思想以及數形結合思想等一般性的數學思想，學生在此過程中對數學思想(尤其是數形結合思想)有了一定的體驗，但如果要將數學思想內化于頭腦中，并使其呈現一種自動激活的狀態，能夠在不同的問題情境中靈活應用，仍然需要學生進行一定的運用訓練.因而，在學習二元一次方程、一元二次方程、一元二次方程組，尤其是在對一元二次不等式的解法等數學相關內容知識的學習過程中，要加強對數形結合思想的邏輯訓練，并在不同的問題中或實踐中運用數形結合思想，從而使得數形結合思想在學生的頭腦中得以鞏固，使學生有意識地運用數形結合思想建立問題中反映的數與形的關系，透過數形結合思想的表形、表象的本質特征，使得學生能運用數學觀察，并發揮直覺思維、形象思維，通過邏輯演繹、推理，從而得出問題的解決方案與問題的最終答案.這也是促使數形結合思想的發展價值實現的必要過程.

4 數形結合思想深化于“反思總結”，表現為“一般化形態”

在數學活動中，學習者頭腦中對數形結合思想的認識已經有了一定的提高，但是基于數形結合思想的培養與它在數學史上的進程一致的原則，數形結合思想一般化的重點在于學生對數學實踐的反思與不斷的總結.在數學問題解決之后，學生對數形結合思想經過概括、反思的過程，促使其一般化，使數形結合思想內化于學習者頭腦之中.

在學生解決數學問題的過程中，會運用一種或多種數學思想，而促使這些數學思想在其頭腦中一般化、程序化的過程正是學生深入理解數學思想的關鍵所在.簡而言之，雖然數學思想形成的重點是在數學活動中實踐以及在實際的運用中進行訓練，但形成的關鍵在于對數學活動經驗進行總結和概括[3].在數學史上，我們知道在平面直角坐標系創立之前，古希臘數學家阿波羅尼斯對圓錐曲線性質的探究、天文學家伊巴古對經緯度的規定以及阿拉伯人對三次方程的求解，都是坐標法萌芽的標志.但是，坐標法的成熟或形成則是以后來的笛卡爾與費馬為代表的，他們是在對前人成果的實踐、反思、概括的基礎上，將坐標法程序化、一般化，這樣，坐標法才能夠得以確立.同樣地，牛頓與布萊尼茲在實踐之后，在經歷反思、總結、概括的基礎上將積分思想一般化、模式化后，積分思想才得以產生.積分思想產生的歷程與坐標法的形成過程相一致，積分思想的萌芽也是要向前推至古希臘時期以及古代中國，那時候的人們將其用在對某些特殊圖形面積以及體積的求解過程，這一過程所用到的其實就是“窮竭法”以及“無窮小的思想”，但在這一時期，人們并沒有對它進行總結概括以及反思，也就沒有能夠使這些思想或者方法一般化.

在數學的學習中，將數學思想深化于學生頭腦中，同樣也必須要經歷一般化、模式化的概括過程.如果學生經歷了數學活動或對數學問題的解決之后，而沒有經歷概括與反思的過程，那么在對具體問題解決時所運用的數學思想也就不能推廣到一般，也就是說，不能使這些數學思想一般化、模式化，因此也就不利于遷移的產生.因而，在數學教學或學習中，教師應注意讓學生經歷對數學活動中所涉及的數學思想(尤其是數形結合思想)的概括這一過程，這一過程是在學生經歷了具體數學問題的解決之后進行的，它是經過反思總結而產生的.

數形結合思想是我們在小學數學教學中就開始有所接觸的數學思想.例如，在對正方形以及圓形等幾何圖形的周長、面積進行求解時，就體現出了以“數量”來對圖形的屬性進行描述的思想.在中學數學學習中，這種數與形間進行溝通的現象更多，最典型的就是數軸和平面直角坐標系的知識內容，兩者都是以“數量關系”對圖形位置進行刻畫的代表；在對距離、面積的探究中，運用的是以數量描述圖形度量屬性的思想；在相似三角形與全等三角形的學習中，所體現出的是運用角度大小或長度大小來表示圖形形狀關系的思想；在對函數圖象的研究中，所體現出來的是用圖形來對數量依存關系進行刻畫的典型代表，是數形結合思想的最直接的體現.在這些關于數形結合思想的數學教學內容中，應當注重讓學生在認識數形結合思想的基礎上，經歷數學活動實踐或數學問題解決的體驗過程，最終要實現數形結合思想的一般化、程序化，還必須經過反思與總結這一過程，這個過程是數形結合思想的貫徹或教學過程中較為關鍵的一步，也是促使數形結合思想發展價值實現過程中重要的認知操作過程，還是學生對于數形結合思想的認識在頭腦中得以深化的重要階段.