一個偶數階導數非負的Hermite-Hadamard型不等式及其應用

孟 晴,吳藝婷

(中國計量大學 理學院,浙江 杭州 310018)

設f:[a,b]→是連續凸函數,則著名的Hermite-Hadamard不等式表述為[1]

(1)

近年來,有許多學者對該不等式進行了改進和推廣[2-7]。文獻[8]中,Dragomir和Agarwal得到如下關于Hermite-Hadamard不等式右側和中間項之差的恒等式:

(2)

并利用該等式導出當|f′|為凸函數時的Hermite-Hadamard型不等式:

(3)

文獻[9]中,鄧勇平和吳善和在|f(n)|為凸函數的條件下,得到如下涉及高階導數的Hermite-Hadamard型不等式:

(4)

本文將在f(2n)連續且非負的條件下,建立一個新的涉及高階導數的Hermite-Hadamard型不等式。

(5)

為Schur-凸函數。褚玉明等人在文獻[14]中證明了當f為凸函數時,

Ψ(x,y)=

(6)

為Schur-凸函數。本文將利用新建立的Hermite-Hadamard型不等式研究一個新的含變限積分的Schur-凸函數,并利用它導出著名的Bullen不等式[15]。

1 預備知識

定義1設f為區間[a,b]上的函數,若對任意x1,x2∈[a,b]和任意λ∈[0,1]有

f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),

則稱f為[a,b]上的凸函數。

定義2[16]設Ω?n,x=(x1,x2,…xn)∈Ω,若對任意n×n置換矩陣P,有Px∈Ω,則稱Ω為對稱集。

定義3[16]設Ω?n為對稱集,φ:Ω→,若對任意x∈Ω和任意n×n置換矩陣P,都有φ(Px)=φ(x),則稱φ為Ω上的對稱函數。

定義4[17]設向量x=(x1,x2,…,xn)∈n,y=(y1,y2,…,yn)∈n,x[1],x[2],…,x[n]表示x中分量的遞減重排,即x[1]≥x[2]≥…x[n],若x,y滿足：

則稱x被y所控制,記作xy。

定義5[17]設Ω?n,φ:Ω→,若對Ω中任意滿足控制關系xy的x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn)有

φ(x1,x2,…,xn)≤φ(y1,y2,…,yn),

則稱φ為Ω上的Schur-凸函數。

引理1[17](Schur-凸函數判定定理)設Ω?n為有內點的對稱凸集,φ:Ω→在Ω上連續,在Ω的內部可微,則φ為Ω上的Schur-凸函數當且僅當φ在Ω上對稱且對任意x=(x1,x2,…,xn)∈Ω有

2 積分恒等式

引理2設f:[a,b]→,若f(2n)(n≥1)在[a,b]上連續,則對λ∈[0,1],有

(7)

證明:當n=1時,

運用兩次分部積分,得

所以當n=1時,等式(7)成立。

假設當n=m時式(7)成立,即

(8)

運用分部積分,得

(9)

將式(8)代入式(9),得

所以當n=m+1時,等式(7)成立,故對任意自然數n≥1,等式(7)成立。

因此,引理2得證。

3 Hermite-Hadamard型不等式

事實上,若f(2n)(n≥1)在[a,b]上連續且非負,則式(7)中的A2n≥0,于是,我們得到如下結果:

定理1設f:[a,b]→,若f(2n)(n≥1)在[a,b]上連續且非負,則對λ∈[0,1],有不等式

(10)

推論1設f:[a,b]→,若f(2n)(n≥1)在[a,b]上連續且非負,則有不等式

(11)

注2在推論1中令n=1,即得如下結果:

推論2設f:[a,b]→,若f″在[a,b]上連續且非負,則有不等式

(12)

4 函數的Schur凸性

本節利用定理1中的Hermite-Hadamard型不等式證明一個含變限積分的函數的Schur凸性。

定理2設f:I?→,若對n≥1,f(2k)(k=1,2,…,n)在I上連續且非負,則

S2n-2(x,y)=

(13)

是I2上的Schur-凸函數。

證明顯然S2n-2(x,y)是I2上的對稱函數。當x=y∈I時,對任意t0∈I,有

(14)

同理,可得

(15)

因此,由式(14)和式(15)知當x=y∈I時,

(16)

當x≠y∈I時,

對S2n-2(x,y)分別關于x,y求偏導,得

(17)

(18)

利用式(17)和式(18)得

根據定理2的條件,f(2n)在I上非負,應用推論1中的不等式得到

(19)

由于

和

將其代入式(19)得

(20)

根據定理2的條件,f(2k)(k=1,2,…,n)在I上非負,可知f(2k)(k=1,2,…,n-1)為I上的凸函數,由凸函數的定義得到對任意n≥1,

(21)

由式(16)和式(21),運用Schur-凸函數的判定定理(引理1)知S2n-2是I2上的Schur-凸函數。

從而定理2得證。

注3當n=1時,由定理2得到如下推論:

推論3設f:I?→,若f″在I上連續且非負,則

S0(x,y)=

(22)

為I2上的Schur凸函數。

注4由定理2知,S2n-2(x,y)是I2上的Schur-凸函數,利用熟知的控制關系

根據Schur-凸函數的定義,可得

由上面不等式,即得如下推論。

推論4設f:I?→,若對n≥1,f(2k)(k=1,2,…,n)在I上連續且非負,則

(23)

特別地,在不等式(23)中取n=1,得到著名的Bullen不等式,即

(24)

5 結 語

本文建立一個關于高階可微函數的積分恒等式,然后利用該恒等式導出一個偶數階導數非負的Hermite-Hadamard型不等式。作為應用,我們將得到的新Hermite-Hadamard型不等式用于證明一個含變限積分的函數的Schur凸性,并進一步由該函數的Schur凸性導出Bullen不等式。結果表明,通過構造Schur-凸函數,運用本文的方法可以推廣和改進許多經典不等式。