基于余氏理論及元胞自動機的Ti-2Nb合金組織模擬

林麗彬，林成，郭麗麗，莫永星，楊靜怡，崔建瀟，彭賢民

（1.遼寧石油化工大學 機械工程學院，遼寧 撫順 113001；2.錦州錦恒汽車安全系統股份有限公司，遼寧 錦州 121007）

近α鈦合金由于密度低、耐腐蝕性能好、焊接性好被廣泛應用于船舶、海洋管道和化工行業[1]。Nb是鈦合金中廣泛使用的一種合金元素，具有β穩定化作用。同時，Nb元素固溶在鈦合金中能夠產生顯著的固溶強化作用，在提高合金強度的同時，也能保持良好的塑性。因此，研究Nb元素對鈦合金組織演變規律的影響，尤其是對其理論模型進行研究，對鈦合金的合金化原理具有重要的價值。

目前，合金微觀組織模擬方法主要有相場法（PF）[2-5]、蒙 特 卡 羅 法（MC）[6-10]和 元 胞 自 動 機 法（CA）[11-16]。這些組織模擬方法大體上可分為兩類：一類為數值解析法，它是在經典的材料晶粒長大理論模型的基礎上，利用數值計算方法對經典理論方程進行求解，從而實現組織模擬的方法；另一類為計算機抽象圖形顯現法，它是設計一定幾何陣列來構造初始組織，然后依據材料晶粒長大的物理和數學規律，通過程序操作來完成組織模擬的方法，該方法側重事件的隨機性。由于后者比較方便、實用，因而得到廣泛應用，如蒙特卡羅法和元胞自動機法。但是，如何對抽象的幾何陣列賦予材料在設計、制備、相變及服役中的真實物理內涵，仍是研究者一直探討的問題。近年來，大數據、機器學習和人工智能技術在國內外發展迅速，機器學習輔助材料設計與優化已成為材料研究的熱點領域之一[17]。目前，以機器學習為代表的材料基因組工程[18]已經在功能材料領域獲得比較成功的研究結果，但在結構材料方面仍需進一步深入研究。由于該方法依賴大量實驗數據以及多學科方法手段，因此如何在分析模型中嵌入材料科學基本原理，仍面臨諸多挑戰。

吉林大學余瑞璜院士于1978年建立了固體與分子經驗電子理論（簡稱余氏理論）[19]，該理論已經廣泛應用于材料領域，如相變[20-24]、結合能[25-27]、強韌化[28-30]、磁性[31-32]、界面[33-34]、復合材料[35]等。但是，基于余氏理論的合金組織模擬工作仍未深入開展。最近，遼寧石油化工大學合金價電子結構與成分設計課題組首次提出了基于余氏理論及元胞自動機開展鈦合金β相組織模擬的方法[36]。但是，該方法主要適合多元鈦合金的情況，對不含Al元素的鈦合金體系（如二元合金）并沒有給出具體方法。因此，本文利用文獻[36]給出的方法思路，開展了Ti-2Nb合金β相高溫固溶組織模擬研究，進一步闡明了不含Al元素鈦合金β相高溫固溶組織的模擬方法。本文給出的方法思路與實現途徑，為豐富和發展基于余氏理論的組織模擬方法提供了重要的基礎數據，具有一定的參考價值。

1 建模方法

Ti-2Nb合金在升溫 過程中，α相逐 漸向β相轉變。隨著溫度的升高，α相比例逐漸減少，而β相比例逐漸增多。當溫度達到β相變點以上時，Ti-2Nb合金中α相全部轉變為單一的β相固溶體。在固溶溫度剛剛達到相變點以上時，Nb元素在合金中分配并不均勻，處于不平衡狀態，隨著固溶處理的持續，Ti-2Nb合金中Nb元素達到平衡。Nb元素在合金中再分配過程中，伴隨著β晶粒形核和長大。Nb溶質原子固溶到基體β-Ti后，在其周圍產生濃度梯度，形成有利于形核的位置。在這些有利形核位置中，有些相結構單元形成若干晶坯，并逐漸長大成細小晶粒，然后這些細小晶粒經過晶粒的吞并與長大，形成常見的等軸β相組織?；谏鲜鼋饘賹W基本原理，開展了Ti-2Nb合金β相高溫固溶組織模擬。

Ti-2Nb合金β相組織模擬的流程示意圖如圖1所示。圖1中，a、b分別為β-Ti-Nb、β-Ti的結構單元；c為相結構單元隨機分布圖；d為形核點隨機分布圖；e為四鄰居生長的細小晶粒；f為八鄰居生長的晶粒組織。

圖1 Ti-2Nb合金β相組織模擬流程示意圖

β相固溶組織（β相組織，下同）模擬的建模思路為：首先，構建β相結構單元模型，即Ti-2Nb合金高溫固溶時β相組織由β-Ti、β-Ti-Nb結構單元混合而成（見圖1中a及b），并且在β-Ti-Nb結構單元周圍形成有利于形核的位置；其次，并不是所有的有利形核點都參與形核與長大，該過程與固溶溫度及結合能大小有關，故利用余氏理論計算的相結構單元結合能計算β相組織演變時的形核點數目（見圖1中c及d）；再次，利用元胞自動機中的四鄰居規則實現由相結構單元演變成微小晶粒的模擬（見圖1中e）；最后，利用元胞自動機中的八鄰居規則實現微小晶粒吞并、長大過程，從而完成Ti-2Nb合金β相組織模擬（見圖1中f）。

具體建模方法如下：假設Ti-2Nb合金在高溫固溶時β相組織中含有β-Ti、β-Ti-Nb相結構單元，并且通過Ti-2Nb合金的名義成分獲得β-Ti-Nb結構單元的可能份額Fβ-Ti-Nb，其計算公式為：

式中，CNb為Nb元素的原子分數。

為了在二維元胞空間中呈現出Ti-2Nb合金β相固溶時相結構單元的數量及其分布，利用式（1）給出的β-Ti-Nb相結構單元的可能份額，計算元胞空間Nx×Ny中β相可能形核點數目Nβ-Ti-Nb（不考慮溫度的影響），其計算公式為：式中，數字50表示100個原子形成β-Ti體心晶胞的數目；Nx為元胞空間中x方向單位元胞的個數；Ny為元胞空間中y方向單位元胞的個數。

在β-Ti-Nb相結構單元形成的有利形核點中，因固溶加熱產生的熱振動能夠引起有利形核點發生解體與原子擴散，并失去提供β相固溶體有利形核的作用，而有些β-Ti-Nb相結構單元能夠抵抗熱振動破壞，并且能夠形核長大形成典型的β相組織。這些能夠抵抗熱振動破壞并起到形核作用的相結構單元數量與固溶溫度有關，也與β-Ti-Nb相結構單元結合能大小有關。利用β-Ti-Nb相結構單元結合能建立不同固溶溫度下β-Ti-Nb結構單元在元胞空間Nx×Ny中的形核點數目Sj，其計算式為：

式中，Kp為經驗參數，取值1 330；T為固溶溫度，K；Ec為β-Ti-Nb結構單元結合能，取值466 kJ/mol；R為摩爾氣體常數，8.314 kJ/mol。

β晶粒長大是集熱激活、擴散與界面反應于一體的物理冶金過程，主要表現為晶界的遷移。根據式（3）可以計算不同固溶溫度下的形核點數目。然后，按照元胞自動機四鄰居規則演構出細小晶粒（見圖1中e），這些細小晶粒按照八鄰居規則進行吞并、長大（見圖1中f）。將上述建模方法編制成計算機軟件，在軟件中輸入元胞空間大小、形核點數目、模擬步長等參數，便可模擬Ti-2Nb合金β相組織。

2 結果與討論

2.1 不同固溶溫度的β相組織模擬

Ti-2Nb合金的名義成分見表1。

表1 Ti-2Nb合金的名義成分

根據表1給出的Ti-2Nb合金名義成分，計算可得Nb的原子分數CNb為1.04%。將Nb原子分數代入式（1），可得β-Ti-Nb結構單元的可能份額Fβ-Ti-Nb，其值為4.16。本文選取元胞空間50×50，將得到的Fβ-Ti-Nb值代入式（2），可求得β相中形核點數目（不考慮溫度影響），其值為208。將不考慮溫度的形核點數目及固溶溫度代入式（3）中，可求得Ti-2Nb合金在1 000、1 050、1 100、1 150、1 200℃固溶時的β-Ti-Nb結構單元的形核點數目，其值分別為208、200、193、187、181。將計算所得形核點數目（考慮固溶溫度因素）及模擬步長（以模擬步長600為例）輸入模擬程序中，便可得不同固溶溫度下的β相組織模擬圖，結果如圖2所示。

圖2 不同固溶溫度的β相組織模擬圖

從圖2可以看出，在模擬步長600下，固溶溫度對β相組織的影響并不十分明顯，這主要是因為晶粒中組織大小不均勻，差別較大。為便于對晶粒大小進行對比，采用線性截距法統計組織模擬圖的平均晶粒尺寸。具體做法為：在組織模擬圖1/2y軸處統計沿x軸方向上每個晶粒占有元胞數目。

在模擬步長為600、固溶溫度不同的條件下，β相組織的平均晶粒尺寸如圖3所示。圖3中，平均晶粒尺寸的單位U.G-C.N代表單位晶粒所占的元胞數（模擬平均晶粒尺寸）。

圖3 在模擬步長為600、固溶溫度不同的條件下，β相組織的平均晶粒尺寸

從圖3可以看出，在模擬步長為600、固溶溫度不同的條件下，β相組織具有基本一致的平均晶粒尺寸。

2.2 不同固溶時間的組織模擬

在同一固溶溫度下，固溶時間對晶粒形態、晶粒尺寸等也會產生影響。固溶時間對微觀組織的影響主要通過模擬步長來實現。

不同固溶溫度下β相組織平均晶粒尺寸隨模擬步長的變化趨勢如圖4所示。

圖4 不同固溶溫度下β相組織平均晶粒尺寸隨模擬步長的變化趨勢

從圖4可以看出，在不同的固溶溫度下，當模擬步長較小時，平均晶粒尺寸總體趨勢隨模擬步長的增加而增大；當模擬步長較大時，平均晶粒尺寸隨模擬步長的增加而呈現不變或波動變化；在每個固溶溫度下均出現晶粒急劇增大的現象。造成這一現象的原因可能是：當只有幾個大晶粒時，模擬步長對晶粒個數的影響較小，落在平均晶粒尺寸統計線上的晶界長度穩定，平均晶粒尺寸基本保持不變；隨著模擬步長的增大，晶粒間會發生吞并，此時平均晶粒尺寸會隨著發生突變，晶粒尺寸呈現急劇增加的現象。由此可知，不同固溶時間下組織的演變可以通過模擬步長的變化來體現。

固溶溫度為1 000℃時，不同模擬步長的β相組織模擬圖如圖5所示。從圖5可以看出，隨著模擬步長的增加，β模擬組織的晶粒逐漸增大，這一結果與圖4中的趨勢基本相符。

圖5 固溶溫度為1 000℃時，不同模擬步長的β相組織模擬圖

2.3 實際組織與模擬組織的關聯方法

β相固溶組織模擬圖顯示的是抽象的幾何圖案，為了和實際組織進行聯系，提出了模擬組織與實際組織的關聯式：

式中，D為模擬計算的晶粒尺寸；LT為實際組織按照標尺折算的總長度；NS為元胞空間內平均晶粒尺寸（按元胞個數進行統計）；PT為實際組織圖像的像素；CST為元胞空間中單元格點與實際組織的換算系數，可通過元胞空間大小和實際組織像素獲得。

以光學顯微鏡Olympus的金相組織為例，給出模擬組織與實際組織的關聯方法。選取Olympus光學顯微鏡的像素為4 912×3 684，金相組織標尺為200 μm（50倍）。假定Ti-2Nb合金在1 000℃下β相組織的實測晶粒尺寸為446.299 μm。通過式（4）及Image J軟件，可以獲得1 000℃固溶溫度、不同模擬步長下模擬組織的平均晶粒尺寸（實際平均晶粒尺寸），結果如圖6所示。

圖6 固溶溫度1 000℃、不同模擬步長下與實際金相對應的β相組織平均晶粒尺寸

利用該變化趨勢圖，可以獲得與實測值符合的模擬步長，然后將模擬步長輸入到計算機軟件中，便可獲得與實際符合的模擬組織圖。具體做法如下：在圖6的y軸上找到446.299 μm，然后沿著x軸方向畫一水平線，水平線與晶粒變化曲線相交點即為與實際相符合的模擬步長，即420、918和1 007。將獲得的模擬步長輸入到計算機軟件，便可獲得與實際金相組織相對應的Ti-2Nb合金模擬組織圖，結果如圖7所示。從圖7可以看出，盡管模擬步長420、918與1 007的平均晶粒尺寸相同，但是組織模擬圖相差比較明顯，模擬步長越大，組織模擬圖中晶粒越不均勻。這進一步表明，模擬步長大時晶粒吞并趨勢比較明顯。實際上，在合金中觀察的金相組織在不同區域內也是有明顯差異的。

圖7 1 000℃下的β相組織模擬圖

3 結論

（1）將余氏理論與元胞自動機規則結合，建立了基于余氏理論及元胞自動機的Ti-2Nb合金β相組織模擬方法。

（2）結合余氏理論，建立了β相組織形核點與固溶溫度的定量關系式，并建立了模擬晶粒尺寸的描述公式，為后續利用晶粒尺寸將固溶時間與模擬步長間建立定量關系提供了可借鑒的思路。

（3）將余氏理論與元胞自動機規則結合，對1 000、1 050、1 100、1 150、1 200℃下的Ti-2Nb合金β相組織進行了模擬，并給出了模擬組織與實際金相組織的關聯方法。