差動式三平動柔順定位平臺優化設計及分析

杜厚成，王月，鄧子龍

（1.遼寧石油化工大學 機械工程學院，遼寧 撫順 113001；2.撫順榮盛機械制造有限公司，遼寧 撫順 113121）

柔順機構是現代機構學的一個重要分支，屬于微操作機器人技術相關的多學科領域，是隨著微/納米操作中精度需求的提高而形成的新研究方向[1]，由美國學者J.M.Paros等[2]于20世紀60年代提出。在隨后的近40年的柔順機構研究中，L.L.Howell等[3]提出了偽剛體法，周兆英等[4]提出了柔順鉸鏈設計計算公式，為柔順機構的發展做出了貢獻。

柔順機構通過柔順單元的變形來傳遞運動、力和能量，與傳統的剛性機械臂相比，柔順機構無間隙且運動過程中沒有零件間的相互摩擦，因此柔順機構具有高精度、小噪聲和長壽命的特點，也可以起到抗沖擊，降低設備損壞概率的作用[5-6]?；谌犴槞C構的微納定位平臺因具有結構緊湊、易加工、成本低、精度高、功率小、體積小等特點，近年來發展十分迅速[7-8]。

本文基于差動原理和杠桿原理設計了一種多級柔順位移放大機構，與杠桿機構相比其剛性桿轉角更大，實現更大輸出位移。通過路徑搜索法對放大機構進行了靜力學和幾何變形分析，以位移放大倍數為目標對其進行了參數優化，以正交形式裝配成微納定位平臺，對平臺進行了靜力學仿真分析。

1 定位平臺結構設計

基于差動原理的三自由度定位平臺應具有較大工作空間和較高分辨率，為此設計了如圖1所示的一種多級柔順放大機構——差動式位移放大機構。將壓電陶瓷安裝在輸入端，圖1中由輸入端到輸出端各鉸鏈依次用1—9表示，剛性桿用K1—K8表示。K1、K2、K3、K4、K5組成第一級差動桿組，K1、K5、K6、K7組成第二級差動桿組，K8為輸出端導向桿。在相同尺寸下，差動機構位移輸出放大比大于杠桿機構。對稱結構在理論上能夠消除水平方向的寄生位移，提高微納定位平臺定位精度和可靠性[9]。

圖1 差動式位移放大機構

將三個柔順放大機構以正交方式裝配在定位平臺（見圖2）；為降低寄生位移對機構定位的影響，設計導向機構和解耦機構（見圖3）。三個支鏈通過并聯方式連接動、靜平臺，形成閉環機構，使機構具有三個平動自由度。完全對稱的并聯機構具有無累計誤差和擁有較好各向同性的特點，可以保證定位平臺精度[10-11]。

圖2 定位平臺裝配圖

圖3 添加解耦機構的放大機構

該放大機構中的轉動副均選用直圓型柔順鉸鏈，其結構如圖4所示。圖4中，b為柔順鉸鏈寬度，mm；R為直圓型柔順鉸鏈缺口半徑，mm；t為柔順鉸鏈最小厚度，mm。定位平臺輸出端運動取決于柔順鉸鏈中間薄弱部位的彎曲變形，剛性桿則要有足夠的強度[12]。鋁合金、鈦合金、鈹青銅等高強度材料是制造柔順機構的常用材料。7075鋁合金相比其他常用材料具有價格低、密度小和易制造等優點，因此柔順機構選用7075鋁合金為材料。7075鋁合金的部分性能參數見表1。

圖4 直圓型柔順鉸鏈結構

表1 7075鋁合金的部分性能參數

2 放大機構靜力學模型

分析平面柔順機構的靜力學模型，僅需考慮該柔順機構在平面內的變形。在單個鉸鏈的局部坐標系下，鉸鏈末端的單元節點載荷用廣義力矩陣Ws表示，Ws=[FxsFysMzs]T。式中，Fxs、Fys分別為柔順鉸鏈末端受到x、y方向上的力，N；Mzs為鉸鏈末端繞z方向的力矩，N·μm。受廣義力作用產生的x、y方向的位移和繞z的轉角用變形矩陣Ts=[ΔxsΔysΔzs]T表示。式中，Δxs、Δys分別為鉸鏈末端在x、y方向上的位移，μm；Δzs為鉸鏈末端繞z方向的轉角，（°）。柔度矩陣用Cs表示。鉸鏈變形矩陣、柔度矩陣和廣義力矩陣的關系見式（1）。

根據直圓型柔順鉸鏈的設計計算公式[13]，柔度矩陣中各元素值可用式（2）表示。

式中，E為7075鋁合金的彈性模量，取值71 GPa；G為7075鋁合金剪切模量，取值27 GPa。

復雜的柔順機構參數較多，靜力學求解表達式冗長，利用矩陣可以更直觀地表示機構靜力學模型。根據路徑搜索法[14]建立如式（3）所示的柔順放大機構靜力學方程。

式 中，Hx、Hy分 別 為 各 鉸 鏈 輸 入 端 在x、y方 向 的輸入載荷矩陣，N；Iz為各鉸鏈輸入端在z方向的轉矩矩陣，N·μm；Fx、Fy分別為各鉸鏈輸出端受到x、y方向的力，N；mx、my分別為剛性桿位置矢量，μm；nx、ny分別為鉸鏈位置矢量，μm；Mz為各鉸鏈輸出端轉矩矩陣，N·μm；Q為剛性桿與柔順鉸鏈的相關性矩陣；Q+為剛性桿與柔順鉸鏈的正相關矩陣。Q、Q+可分別表示為：

基于圖1，用四種不同顏色的曲線表示輸入端到輸出端的四條路徑，連接同一剛性桿接入不同路徑中的輸入端、輸出端，并用a、b、c區分同一剛性桿在不同路徑中的連線，如圖5所示。

結合圖5中參數，在總體坐標系下，式（3）中各項可表示為：

圖5 柔順放大機構1/2模型路徑圖

圖5中各路徑的輸入、輸出位移關系可用如式（4）所示的幾何變形方程表示。

其中，Δm、Δn的表達式見式（5）。

式中，S為路徑相關矩陣；Δyin、Δyout分別為輸入端、輸出端位移矢量，μm；Δm、Δn分別為各剛性桿和柔順鉸鏈的位移矢量，μm；L為各剛性桿長度，mm；αs為鉸鏈與水平方向初始夾角，（°）；ωs為剛性桿與水平方向初始夾角，（°）；Δxs、Δys分別為柔順鉸鏈在整體坐標系下x、y方向的位移，μm。S可表示為：

矩陣中4行代表4條路徑，前12列表示模型中12根剛性桿，后9列表示9個柔順鉸鏈，剛性桿或鉸鏈在對應路徑中即為1，反之為0。

通過幾何變形方程求解得到差動式柔順放大機構的輸出位移放大比A，其表達式見式（6）。

3 機構參數優化及驗證

3.1 參數敏感度分析

篩選對優化目標敏感度較高的參數進行優化可以減少計算量。在輸入位移為30 μm的條件下，對柔順放大機構45個參數與輸出位移敏感度進行分析，隨機生成100個樣本。隨機樣本的最大輸出位移-最大應力散點圖、一階和二階擬合圖見圖6。

圖6 隨機樣本的最大輸出位移-最大應力關系曲線

由圖6可以看出，所有樣本的最大應力約為240.00 MPa，遠小于材料的屈服強度455.00 MPa。因此，僅篩選對輸出位移敏感度絕對值大于0.2的參數進行優化。對輸出位移敏感度的絕對值大于0.2的10個參數如圖7所示，其敏感度見表2。

圖7 對輸出位移敏感度絕對值大于0.2的10個參數

表2 對輸出位移敏感度的絕對值大于0.2參數的敏感度

3.2 機構結構優化

為保證柔順放大機構的安全性，最大應力應留有一定安全裕度，取安全裕度為0.5，安全系數Sf為1.5。柔順放大機構最大應力應滿足式（7）。

式中，σmax為材料的許用應力，MPa；[σ]為材料的屈服強度，取值455.00 MPa；Sf為安全系數，取值1.5。

將差動式柔順放大機構的位移放大比作為機構的優化目標，以靜力學方程、幾何方程及機構中的尺寸限制關系為約束條件，對10個參數建立優化模型：

通過MATLAB優化工具箱中fmincon模塊，對模型進行優化，并將優化后數值保留至小數點后一位，10個參數的優化結果見表3。

表3 10個參數的優化結果

3.3 優化結果檢驗

將優化前放大機構1/2模型導入ANSYS Workbench軟件中，按0.5 mm劃分六面體網格，設置輸入位移為30.00 μm進行靜力學分析，結果如圖8所示。由圖8可以看出，優化前柔順放大機構輸出端位移為525.55 μm，y方向位移仿真值為482.44 μm，最大應力仿真值為209.72 MPa。

圖8 優化前柔順放大機構靜力學分析

將優化后的放大機構1/2模型導入ANSYS Workbench軟件中，設置相同的約束條件進行了靜力學分析，結果如圖9所示。由圖9可以看出，優化后柔順放大機構輸出端最大位移的仿真值為648.37 μm；y方向位移的仿真值為595.36 μm；最大應力的仿真值為239.83 MPa，出現在圖8（c）中最大應力探針所示位置。優化后輸出端位移增加112.92 μm，較優化前提升23.41%；最大應力較優化前增加30.11 MPa，提高14.36%，但遠小于材料的許用應力303.00 MPa，不影響柔順放大機構的可靠性和安全性，證明優化結果具有準確性及可行性。

圖9 優化后柔順放大機構靜力學分析

根據式（4）求解可得，優化后柔順放大機構輸出位移計算值為654.61 μm，與仿真分析結果的誤差為9.95%。

誤差產生的原因：在理論計算中未考慮剛性桿產生的微小形變，多級差動桿組也會使誤差增大；網格劃分細致程度也會對仿真結果產生影響。綜合可知，靜力學方程計算值與仿真值的誤差較小，表明該靜力學方程與仿真結果具有較好的一致性。

3.4 微納定位平臺性能分析

微納定位平臺中三個柔順放大機構支鏈采用相互正交的裝配方式并聯到動、靜平臺，使定位平臺具有三個平動自由度。為降低耦合位移、寄生轉角對機構定位的影響，需對放大機構添加導向機構和解耦機構。添加的解耦機構如圖10所示。由圖10可以看出，解耦鉸鏈與柔順放大機構中其他鉸鏈呈相互垂直關系，柔順鉸鏈參數與其他鉸鏈相同，可以從理論上保證動平臺與靜平臺保持平行。導向機構剛性桿長30 mm，可以消除柔順放大機構輸出端轉動產生的水平方向位移對動平臺產生的影響，使動平臺實現僅在一個方向上移動。

圖10 放大機構中添加的解耦機構

輸入y方向位移時y方向的輸出位移如圖11所示。由圖11可以看出，當一個放大機構單獨作用時，輸出方向位移仿真值為391.42 μm，放大倍數達到13.05。通過實驗可知，其他兩個方向的耦合位移分別為5.85 μm和25.56 μm，耦合轉角為0.007 7°，耦合位移可以通過控制另外兩個方向輸入位移加以平衡，耦合轉角極小，證明該平臺輸出具有較好的線性度，可靠性較高。

圖11 輸入y方向位移時y方向的輸出位移

4 結論

設計了一種多級差動式柔順放大機構，正交裝配成微定位平臺。建立了柔順放大機構1/2模型靜力學方程及幾何變形方程，利用ANSYS Workbench軟件篩選出對輸出位移敏感度較高的10個參數，建立了關于位移放大比的優化目標函數，利用MATLAB軟件優化工具箱中fmincon模塊進行了優化。優化后柔順放大機構輸出位移仿真值為595.36 μm，較優化前提高了23.41%，證明了優化的可行性。根據幾何變形方程求解的輸出位移為654.61 μm，與仿真結果的誤差為9.95%，證明幾何變形方程具有較好的準確性。對裝配體進行仿真得到單方向的輸出位移可以達到391.42 μm，位移放大比為13.05，耦合轉角為0.007 7°，機構的行程和位移放大比較大，耦合轉角極小，可以滿足大行程精密定位需求。