基于改進遺傳算法的結構靜力響應區間分析

陳興望， 龍曉鴻， 馬永濤， 周群林， 桂石海

(華中科技大學 a. 土木與水利工程學院； b. 控制結構湖北省重點實驗室， 湖北 武漢 430074)

傳統結構分析與設計是基于確定性參數的，即分析設計過程中涉及的材料參數和荷載參數等都被視為確定的量值。然而，在工程各個階段都存在一些不確定性信息，若將其簡化為確定性信息處理，有時就會得出矛盾的或很不合理的結果[1]。所以為了讓分析結果更加貼近工程實際，在工程結構分析和設計時必須考慮這些因素的不確定性。目前結構參數不確定性的描述方式主要有隨機模型、區間模型和模糊模型。由于很多結構材料參數分布特征未知，但能確定大致分布范圍，適合用區間模型描述。

按區間模型考慮結構不確定性時，可以使用不同的方法計算結構響應區間。有學者使用Monte Carlo Method(MCM)計算結構響應區間，并針對一般MCM的不足作了不同的改進[2～4]。MCM的解比較穩定，在抽樣數量足夠大的時候，計算得到的解能無限逼近甚至有可能達到精確解。但是MCM抽樣效率較低，要得到比較精確的結果需要很大的計算量。Rao等[5]將靜力問題表示為線性區間方程組，通過高斯消元法、頂點組合法和基于不等式的方法求解區間方程組，發現基于不等式的方法更為精確，但是隨著自變量區間的增大會出現區間擴張的問題。這個問題可以通過區間截斷來解決，呂震宙等[6]在此基礎上提出了改進區間截斷法，但區間截的標準難以設定，截斷參數設置的主觀性使計算結果的有效性難以評估。郭書祥等[7]提出了求解區間控制方程的迭代法，但當區間離差較大時，迭代不容易收斂[8]。有學者通過Chebyshev多項式[9]、徑向基函數[10]和神經網絡[11]等建立結構的替代模型，通過替代模型求解結構響應區間，但是對于靜力問題來說，使用替代模型對計算速度的提高不明顯，且替代模型還需要結合其他方法才能求解響應的區間。

有學者將智能優化算法用于結構響應區間的計算。Liu等[12]將貝葉斯算法運用到了結構不確定性分析中。湯劍[13]將遺傳算法用于不確定性分析中。與傳統法相比，智能優化算法在不確定性分析中展現出更高的效率和精度。然而，在結構響應分析中，需要計算的往往不是單個響應，而是要同時計算多個響應。但目前的遺傳算法單次運行只能求解一個目標函數的最值，計算效率低。

智能優化算法的特點是迭代初期優化目標變化較大，而迭代中后期優化目標變化較小。因此若通過重復運行計算結構多個響應的區間，花費的計算時間與獲得的計算精度不相稱。針對這個問題，本文在傳統遺傳算法的基礎上加入多個適應度函數，相應地改變了遺傳操作方式，構建了能同時計算多個目標最優解的并行優化遺傳算法(Genetic Algorithm for Parallel Optimization, GAPO)。最后使用GAPO計算桁架結構靜力響應區間以驗證算法的有效性。

1 遺傳算法及其改進

1.1 遺傳算法

遺傳算法通過模擬生物進化中交叉、變異與自然選擇，逐代淘汰適應度較低的個體，并由適應度較高的個體遺傳產生下一代種群，使種群適應度逐漸收斂到最優值。遺傳算法沒有函數可導性和連續性的限制，并且具有較好的全局尋優能力，其核心內容為參數編碼、初始種群的生成、適應度函數設計、遺傳方式設計以及迭代控制方式設計。遺傳算法的計算流程及本文中各部分的處理方式如圖1所示。

圖1 遺傳算法計算流程

1.2 并行優化遺傳算法

傳統遺傳算法只能進行單個適應度函數的優化計算，而后續分析需要對多個神經網絡進行優化，所以使用傳統遺傳算法進行結構響應分析會使計算量非常大，計算效率低。為此，本文在傳統遺傳算法的基礎上進行改進，提出并行優化遺傳算法(GAPO)，同時進行多個神經網絡的超參數優化。

值得注意的是，提出的并行優化遺傳算法與多目標優化遺傳算法(Multi-objective Genetic Algorithm，MOGA)不同。兩個算法的共同點是都可能有多個適應度函數，但MOGA算法是尋找每個適應度盡量高的某一個個體，即適應度整體較高，但單個適應度不一定達到最優。而本文提出的GAPO算法是分別尋找每個適應度達到最優時對應的個體，相當于把多次優化分析整合為一次優化分析以提升計算效率。

(1)

(2)

式中：NFF為適應度函數的個數；nsvv為每個適應度下存活的個體個數；α為考慮計算量的調整系數;cmut為種群變異率。包含兩個適應度函數的遺傳算法遺傳，操作如圖2所示。

圖2 兩適應度GAPO遺傳操作示意

2 基于GAPO的結構靜力響應區間計算方法

R=f(x1-x2-…-xm)

(3)

其中R={Ri},i=1,2,…,n為要求的n個結構響應組成的向量。該函數以GAPO中個體基因序列為輸入，提取其中的結構參數取值，將結構中的區間變量取為該組確定的值，計算并輸出需要的結構響應。求結構響應的區間此時轉化為求函數的值域。

GAPO與其他優化算法一樣，默認求各目標函數的最小值，所以求解區間需要分兩次分別求解最大值和最小值，且適應度函數值越低，適應度越高。當求各響應最小值時，各適應度函數取為

(4)

各最佳適應度函數值即為各響應最小值。而求解響應最大值時，適應度函數取為

(5)

各最佳適應度函數值的相反數為響應最大值。

對于容易寫出控制方程的結構體系，響應計算函數提取結構參數后可直接計算剛度矩陣和荷載列陣，進而得到結構響應列陣。而對于比較復雜或有較強非線性的結構，其控制方程的求解需要比較復雜的迭代，使用編程實現比較困難，此時結構響應的計算可以通過有限元程序實現?？紤]到計算速度和程序交互的需求，本文使用OpenSees進行結構的建模和計算，使用tcl命令流編寫結構建模、分析和結果輸出的文件。編寫文本文件修改程序，MATLAB結構響應計算函數提取區間參數的取值后，使用文本文件修改程序將tcl命令流中結構參數取值修改為當前抽樣的取值，在響應計算函數中調用OpenSees程序運行命令流文件計算并輸出結果文件，再讀取結果文件中需要的結構響應并輸出。此時結構響應計算函數如圖3所示。

圖3 結構響應計算函數

3 算 例

文獻[5]中介紹的平面桁架結構，如圖 4所示。該桁架由10根桿組成，在結點2和結點4分別受到豎直向下的力FP=100 N。桁架根據最小自重原則設計，各桿的橫截面積不同。各桿彈性模量均為E=107N/mm2，橫截面積以及不考慮結構不確定性時的軸應力見表1。當各桿件橫截面積存在1%的波動時，求各桿軸應力的區間。

圖4 10桿桁架/mm

表1 桁架的設計橫截面積和軸應力

文獻[5]中提出了解區間有限元控制方程組的截斷法，并與頂點組合法的計算結果進行了對比。本文用樣本數量為100000的MCM和GAPO算法分別對桁架軸應力區間進行計算，種群數量設置為300，存活率為2%，交叉率0.8，變異率0.2，最大迭代次數為30。截斷法(截斷參數t=0.01，0.1)[5]、頂點組合法[5]、MCM以及GAPO對桁架桿件軸應力上下限計算結果見表 2，各方法計算結果對比如圖5。

表2 桿件軸應力區間計算結果 N·mm-2

圖5 不同方法計算的桿件軸應力區間

由于MCM計算結果較為穩定和可靠，主要將其他方法計算結果與MCM計算結果進行比較。由表中數據和對比圖可見，截斷法計算結果極不穩定，截斷系數t對計算結果的影響很大，但要確定合適的截斷系數比較困難。頂點組合法對一部分構件的軸應力計算可以得到比較精確的結果，但由于沒有考慮結構響應在區間中的非單調性，可能會低估某些桿件軸應力的范圍。由圖可見GAPO計算結果的穩定性不亞于MCM，并且用GAPO計算的每根桿件軸應力區間都稍大于MCM(即GAPO計算的上限大于MCM計算的上限，GAPO計算的下限小于MCM計算的下限)。由于GAPO和MCM本質上都是抽樣的方法，計算結果只會趨近于精確解，而不會超越精確解，則可知GAPO精度高于MCM。

計算量方面，MCM進行了100000次靜力分析，而GAPO軸應力下限和上限計算分別迭代了30次，即一共進行了(30+1)×2×300=19200次靜力分析，計算量遠小于MCM。而對于一般遺傳算法，即使將種群數量設為100，最大迭代次數設為20，由于每次只能進行1個適應度的優化計算，要得到10根桿的軸應力區間也要進行 (20+1)×20×100=42000次靜力分析。所以對于多適應度問題，特別是多個適應度是同一次計算的多個輸出的時候，GAPO在計算量方面比一般遺傳算法更有優勢。

4 結 論

本文以區間變量描述結構參數的不確定性，考慮同時求解多個結構響應最值的需求，在傳統遺傳算法的基礎上加入多個適應度，改變了遺傳操作機制，構建了可以同時對多個適應度進行優化分析的GAPO算法，并使用GAPO計算結構靜力響應區間。經過算例測試發現，GAPO比區間截斷法和頂點組合法更穩定，能通過遠小于MCM的計算量，得到更精確的結果，且在計算量方面比傳統遺傳算法也更有優勢。此外，此方法也適用于結構動力響應問題，即在結構響應計算函數中計算結構的動力響應并返回需要的響應值。