基于時變隱馬爾科夫模型的連鎖故障預測

宋玉琴，趙攀，周琪瑋，李童

(1.西安工程大學 電子信息學院，西安 710600； 2.國網新疆電力有限公司電力科學研究院，烏魯木齊 830001)

0 引 言

當今社會，無論是工業生產還是居民生活，都離不開電力的供應。隨著時代的發展，電力系統的規模和復雜度都在逐步提高。面對日益復雜的系統，保證穩定運行、避免大停電事故的發生已經越來越重要。英國“8.9”大停電[1]、阿根廷“6.16”大停電[2]、中國海南“9.26”電網崩潰事故[3]的發生，引起了國內外學者的高度重視。研究發現，這些事故都是由連鎖故障引發，電力系統中的支路一般都處于正常運行狀態，不會為空載狀態，若系統中某一條支路因故障退出運行，該支路所承擔的負荷就會轉移到其他支路上[4]，系統負荷重新分配，引起潮流轉移；若正常支路無法承受新轉移的潮流，將會引起這些支路過載停運，造成新一輪負荷分配，潮流轉移，若不加以控制，將引起大面積停電事故的發生。雖然該類事故屬于小概率事故，但有著嚴重的危害?？紤]如何阻斷故障遠沒有如何預測故障有意義。因此，分析連鎖故障發生原因，預測發展路徑并及時處理，對于保證電網穩定運行、避免大停電事故的發生具有重要的意義。

國內外學者對連鎖故障的預測進行了大量的研究[5]，連鎖故障的預測方法基于三大理論[6-7]：模式搜索理論[8-9]、具體有事故鏈模型[10]、概率推理模型等，通過建立符合電網實際物理過程的模型進行預測，但是若故障范圍太大，將導致算法運行時間過長。文獻[10]在事故鏈預測模型中加上C均值聚類算法。該方法能在工作量與預測結果完備性之間做出較好的平衡，但是該模型只適合小系統，大系統會導致預測速度迅速變慢。自組織臨界理論[11-12]具體有OPA模型[13]、CASCADE模型等，可直接展現電力系統的演化過程，但無法準確地模擬支路停運對潮流轉移的影響。復雜網絡理論[14]具體有小世界網絡模型、有效性能模型等，可從拓撲結構角度分析系統對突然攻擊的承受能力以及可能發生的潛在連鎖故障，但對電力系統的簡化比較嚴重，無法準確地描述電網動態運行情況。

雖然現有方法能得到預測結果，但考慮的故障因素比較單一。文中將從系統拓撲結構，上下級支路間關聯性，是否計及支路保護/斷路器拒動、誤動；支路硬件故障；支路壽命等角度綜合考慮。將在馬爾科夫模型的基礎上，提出時變隱馬爾科夫模型的連鎖故障預測方法，提高預測的準確度，有助于預防和控制連鎖故障的發生。最后，以IEEE 36模型為算例，將驗證所提方法的可行性和有效性。

1 連鎖故障預測模型

1.1 馬爾科夫預測模型

馬爾科夫過程(Marko Process)通過分析隨機事件的前后關系，預測該事件的發展規律。特點是事件發生過程中各個時刻的隨機變量有一定的相關關系。但僅僅體現在當下時刻只與上一時刻有關，與上一時刻之前的時刻無關。而連鎖故障中每一級故障只與上一級故障有關，與上一級之前的故障無關，所以連鎖故障過程與馬爾可夫過程類似[15]，為文中的預測提供了理論支持。

1.2 隱馬爾科夫預測模型

隱馬爾科夫模型(Hidden Markov Model，HMM)是一種雙重隨機概率模型，比起馬爾科夫模型更加復雜。不同之處在于：該模型的觀測值和狀態轉移矩陣之間通過觀測值概率分布相聯系[16]。HMM在數學上可以歸納為一個雙內嵌的隨機過程，由隱含的狀態轉移矩陣和與其有關的觀測序列共同組成，在這兩個隨機過程中，狀態轉移矩陣并不是直接與觀測序列聯系，即為隱含狀態，隱含的狀態轉移矩陣對應馬爾科夫過程，而該結果需要通過另一個隨機過程輸出的觀測序列進行推斷。用觀測值概率分布描述狀態與觀測序列間的關系。

HMM由系統初始狀態概率分布π、狀態轉移概率矩陣A和觀測值概率分布B共同決定，模型表述為λ={A,B,π}[17]。其中，A為狀態轉移概率A={Pm_k}。B為狀態Sk條件下輸出的觀測值概率分布，如式(1)所示：

(1)

式中Si(t)=0為支路i斷開的概率；Sk(t+1)=0為支路k斷開的概率；t為時間變量；π為系統初始概率分布，表示為π={πi,1

1.3 時變隱馬爾科夫預測模型

上述兩模型存在一個問題，狀態轉移矩陣為常數，不符合電力系統連鎖故障復雜性和多變性的特點。所以，狀態轉移矩陣應改進為時刻變化的動態值。但時變的可靠性是難以確定的，特別是在HMM模型訓練的過程中。首先狀態轉移矩陣的變化模式難以掌握；其次完全的參數估計法很難運用到時變的模型中，導致模型求解的難度變得很大[18]。針對上述問題，提出根據韋布爾(Weibull)分布的估計值計算HMM的狀態轉移矩陣。

1.3.1 Weibull分布

Weibull分布應用于設備壽命預測，將其引入，可在計算過程中將支路壽命與Weibull分布結合，使狀態轉移矩陣為含支路運行時間的時變值。

Weibull分布函數如式(2)、式(3)所示：

(2)

(3)

式中x為支路運行時間，x>0為支路運行在最佳年限之前(文中最佳年限為10年，)，x<0為支路運行在最佳年限之后；η為環境參數，描述支路所處的工作條件、負荷大小等要素；β為支路的功率參數，當β<1時，故障率函數λ(x)隨時間x遞減，此時支路傳輸功率較低，用于描述低功率故障；當β=1時，故障率函數λ(x)趨近于定值，支路傳輸功率在其最佳傳輸功率附近，用于描述隨機故障；當β>1時，故障率函數λ(x)隨時間x遞增，支路傳輸功率較大，用于描述大功率故障。

對于Weibull分布的參數估計，選擇更加直觀和簡單的圖形變換法，其計算如式(4)所示：

(4)

由式(4)可得y=y(t)=β(t-lnη)，式(4)得出的變換稱之為Weibull變換。式中的參數計算如式(5)～式(7)所示：

(5)

(6)

(7)

式中xi、yk為支路i、支路k的故障率。

1.3.2 基于時變隱馬爾科夫模型的故障預測

該模型通過Weibull分布，將支路運行時間變量引入狀態轉移矩陣中，使其成為時變值。狀態轉移矩陣由定常值改進為時變值的過程如式(8)所示：

(8)

令θ1=ed1，可得bik(t+Δt=kΔt)=ed1kaik。

式中 ɑik為上級支路i斷開與下級支路k間的狀態轉移概率；bik為時變的狀態轉移概率，1代指下一時刻；Δt為潮流轉移的時間。

對Weibull分布的指數部分做Taylor展開，然后用合并同類項的方法求得系數如式(9)所示：

(9)

對式(9)進行泰勒展開時，展開后的前幾項由β確定。因為β為非整數，且由高等數學知識可知，要取到最低階的項之后，才能避免由于取項太少導致前面幾項全部消掉的問題。所以，確定取項為在β的基礎上舍掉小數位整數位進1的數。如此便可得到動態的狀態轉移矩陣。式(9)中的系數，隨著支路運行時間而變化，可得到bik也是一個隨支路運行時間而變化的值，因此狀態轉移矩陣會隨著支路運行時間而變化，符合連鎖故障的特點。

2 連鎖故障的狀態轉移概率分析

電力系統連鎖故障發生的誘因有很多，最主要的原因是初始故障支路斷開后，導致系統潮流發生轉移[19]，造成其他支路過載，系統支路保護/斷路器不正確動作、系統的硬件突然失效等小概率事件，也會引起系統連鎖故障的發生。

因此，當故障由m級傳遞到m+1級時，系統正常支路k的狀態轉移概率Pm_k如式(10)所示：

Pm_k=Ptransfer_k+Pline_k

(10)

式中Pm_k為支路i停運后，系統剩余支路中任意一條支路k的狀態轉移概率，由式(10)可知分為兩部分，其中Ptransfer_k為潮流轉移所引起的，Pline_k為系統硬件失效所引起的。通常前者的概率遠大于后者，即Pline_k<

2.1 潮流轉移引起的支路狀態轉移概率

潮流轉移引起的狀態轉移概率Ptransfer_k與系統潮流分布、系統網絡拓撲結構、支路保護/斷路器動作等因素有關，如式(11)所示：

Ptransfer_k=Pik_ys[(1-Pjd_l)(1-Pjd_b)(1-Pwd)]

(11)

式中Pik_ys為不計及支路保護/斷路器不正確動作的原始狀態轉移概率；Pjd_l為支路過載保護的拒動概率；Pjd_b為支路過載保護對應斷路器的拒動概率；Pwd為支路在保護/斷路器不正確動作的概率。

對于電力系統而言，其拓撲結構和網絡參數保持不變。當支路i切除后，其他支路的潮流由兩部分組成，一部分是故障切除前自身的潮流，另一部分是支路i轉移到該支路的潮流。其中，后者可通過以下方法計算。

支路i切除后，潮流轉移到其他支路的過程可等效為：支路i是一個給其他支路供電的電流源，其大小和方向與故障前的電流大小相等方向相反，等效為一個等值無源二端口網絡[20]。如圖1所示。其中，支路i給支路k轉移的潮流可以看成等值電流源在支路k上的響應。

圖1 無源網絡示意圖

由圖1中關系可得：

(12)

式中λki為系統中支路k的電流增加量與支路i停運前自身電流的比值，表征支路i停運后對支路k的影響程度。分析可得，該值僅受到系統拓撲結構和元器件參數的影響。因此，只要系統確定，可得到連鎖故障上下級支路間的狀態轉移因子矩陣，為預測故障路徑提供了可能性。轉移因子矩陣如下：

(13)

式中，每列元素表示一條支路發生故障切除后，與剩余支路間的潮流轉移因子，具體計算如下：

(14)

式中E為支路i停運后的潮流轉移等值網絡的支路導納矩陣；B為該網絡的關聯矩陣；Δ為該網絡的節點導納矩陣En(En=BEBT)的行列式；Δem為En中第e行、第m列元素的代數余子式；Δfm為En中第f行、第m列元素的代數余子式；e和f均為支路i的兩端節點編號。Δgm為En中第g行、第m列元素的代數余子式；Δhm為En中第h行、第m列元素的代數余子式；g和h均為支路k的兩端節點編號。因此，將提前得到上下級支路間的狀態轉移因子。

2.1.1 不計支路保護/斷路器不正確動作時的轉移概率

設定Dik(m)為上下級支路間的潮流轉移，為支路i停運對支路k的潮流轉移，由下級支路潮流變化率αik(m)、下級支路過負荷嚴重度βik(m)和下級支路潮流變化量與上級支路原有潮流間的耦合關系γik(m)決定，為更好地反應上述三者對于潮流轉移的影響，加上適當的閾值，根據理論和實驗結果，調整適當的閾值。如式(15)所示：

Dik=η1αik(m)×η2βik(m)×η3γik(m)

(15)

αik(m)為m級故障中，下級支路k在支路i停運后的功率變化量與下級支路k在支路i停運前功率的比值，如式(16)所示：

(16)

式中Fk(ta)和Fi(ta)為支路k和i在故障發生前的功率；Fk(tb)為支路k在故障發生后的功率。

βik(m)為m級故障中，支路i停運，潮流轉移使支路k過負荷的嚴重程度指標，如式(17)所示：

(17)

此時還應判定βik(m)的值，若βik(m)>1表示支路k上的潮流已經超過了極限，此時該條支路會由于過載而退出運行，即該條線路為下級故障線路，若0<βik(m)<1則表示支路k運行在正常范圍內，將與其他支路就上下級支路間的潮流轉移概率比較，確定可能的下級故障支路。

γik(m)為m級故障中，支路i停運導致支路k的潮流變化量與支路i原有潮流之間的耦合關系，如式(18)所示：

(18)

上下級支路關聯度Dik(m)如下：

Dik(m)=η1αik(m)η2βik(m)η3γik(m)=

(19)

不計及支路保護/斷路器不正確動作時，支路k由潮流轉移引起的狀態轉移概率如下：

(20)

式中Dij(m)為系統中支路i與除支路i外其他支路間的關聯度。

2.1.2 計支路保護/斷路器不正確動作的轉移概率

在確定的電力系統中，支路過載保護的拒動概率、支路過載保護對應斷路器的拒動概率、支路保護/斷路器不正確動作的概率[21]，三者與元器件參數、系統狀態等有關系，且發生概率很小，因此這些值為常量。具體的數值會根據系統拓撲結構在實驗中具體設定。

將上述值代入式(11)中可得到潮流轉移引起的狀態轉移概率Ptransfer_k。

2.2 系統硬件失效引起的支路狀態轉移概率

系統硬件失效的發生概率依賴于硬件型號、支路運行時間和元器件壽命，這些值為常量，具體值根據實驗中設定的支路運行時間設定。

將上述值代入式(10)中，可得到連鎖故障的狀態轉移概率Pm_k。

3 連鎖故障預測模型的流程

綜上所述，提出的連鎖故障預測模型流程如圖2所示。

圖2 預測流程圖

按照圖2流程，逐一掃描上一級支路切除后剩余支路發生故障的概率，并對比大小，將概率值較大的支路作為下級故障支路集，具體選擇方法由系統而定。然后依次斷開下級故障支路集中的支路，重復上述過程，直到掃描到整個系統全部故障，記錄故障路徑并計算每條路徑的故障概率。

4 算例分析

將IEEE 36節點系統作為算例驗證所提方法的可行性及有效性。系統接線圖如圖3所示。

圖3 IEEE 36模型

根據文獻[22-23]，架空線路的使用壽命為20年，在實驗中，將支路運行年限設在0～20年之間。系統中，所有發電機容量為10 MW,輸出電壓為6 kV，經過升壓變壓器升為10 kV送出。10 kV線路有25條，運行時間8年～15年，長度70 km～90 km， 400 kV線路有9條，運行時間6年～10年，長度175 km～200 km，750 kV線路有2條，運行時間10年，長度為2 000 km。

文中主要展示了一條支路發生初始故障后的情況，考慮到系統存在兩條甚至多條支路同時發生初始故障的情況。設計了10套并行的預測模型，預測時，首先判斷初始故障條數，若為1條，只開啟一套預測模型，若同時為多條，則開啟多套預測模型。由于一般為1條初始故障，很少出現多套系統并行的情況，因此完全可以滿足日常預測。同時會根據實際情況在預測前適當擴展預測模型的套數。設定支路21-16斷開，導致系統負荷重新分配，該支路潮流轉移到其他支路，進一步造成其他支路過載停運。分別通過馬爾科模型、隱馬爾科夫模型、時變隱馬爾科夫模型獲得預測的結果，并進行對比。在實驗中，隨機將兩到三條支路的運行時間設為18年～20年之間，模擬支路硬件故障。

4.1 時變隱馬爾科夫模型的預測結果

圖4為時變隱馬爾科夫模型下支路21-16斷開后，下級各支路發生故障的概率。選擇3條～5條下級支路作為潛在故障支路。

該模型充分考慮支路所接負載的大小，系統硬件設備，支路保護/斷路器誤動、拒動，支路運行年限等因素得到下級故障支路。圖4中支路21-19、22-21、21-16、16-18故障率都在0.9以上，這幾條支路將是下級潛在故障支路。

4.2 三個模型下級故障支路預測對比圖

圖5為三個模型在支路21-16發生故障后，預測的下級支路發生故障的概率比較，為了更清楚地反應三個模型對于潛在下級故障支路的預測，將圖5中故障概率比較高的部分放大,如圖5(a)、圖5(b)所示。該實驗設定三個模型均考慮支路保護/斷路器的拒動、誤動概率以及支路硬件故障概率，但三個模型的狀態轉移概率不同。如圖5所示，馬爾科夫預測模型的結果有明顯錯誤，支路9-22、29-34的預測結果明顯高于其他兩種模型，由系統支路拓撲結構可知，支路9-22、29-34與支路16-21并沒直接相連，潮流轉移影響小，發生故障的概率也不高，反映了馬爾科夫模型預測存在一定誤差。此外，由于隱馬爾科夫模型中加入了觀測變量分布概率，造成預測的下級故障概率偏小，該模型也存在缺點。

圖5 不同模型預測故障支路對比圖

4.3 是否計及小概率事件對預測結果的影響

為了探討支路保護/斷路器不正確動作、系統硬件故障對預測結果的影響，將隱馬爾科夫模型、時變隱馬爾科夫模型中的下級故障支路預測結果分為計及和不計及這些影響兩種進行對比。不選擇馬爾科夫模型是因為該模型的預測存在較多的錯誤，會影響判斷，結果如圖6所示。

由理論分析和實驗結論可知，小概率事件對預測結果可能會有很小的影響或是無影響。其中，系統硬件影響主要和支路運行時間有關，而支路保護/斷路器不正確動作的影響和拓撲結構有關。如圖6所示，對于和上級支路比較接近的支路，潮流轉移較多，導致保護器的動作會出現錯誤，如支路16-18。而距離比較遠的，由于潮流變化較小或者無變化，而這部分的變化對下級故障發生概率幾乎無影響，如支路25-26、29-34。

圖6 是否計及小概率事件

4.4 不同模型預測的連鎖故障路徑

如表1所示，可以看出：(1)隨著故障的傳播，發生概率越來越大，造成的影響也越來越大；(2)一旦發生初始故障，系統中的各條下級支路都會受到影響，雖然一次潮流轉移的影響不大，但是若任由其發展而不控制，將不可避免的發生大面積停電事故；(3)本次結果綜合考慮了各種因素，可以看出，面對大面積停電事故所造成的多條支路過載斷開，斷路器的控制能力有限，無法阻斷故障傳播。因此，必要的提前預測，提前處理是非常重要的。

表1 時變隱馬爾科夫模型預測的故障路徑及其概率

表1為時變隱馬爾科夫模型的預測路徑，而其余模型的預測結果由于篇幅有限將不展開說明，只對三者預測全面性方面進行對比，如圖7所示。

圖7 三種預測模型得到的故障路徑對比

如圖7所示，縱坐標為故障預測范圍，計算方法為故障支路與全部支路的比值。三個模型都會隨著預測故障等級的進行，預測的故障范圍逐漸擴大，在第二級到第三級，是一個明顯的擴大，因此也反映了故障處理最好在該階段之前進行。此外，圖中還反應了不同模型最終的預測故障范圍情況，可以看出，時變隱馬爾科夫可以完全在第五級故障時，實現對整個系統各條支路的覆蓋，預測的范圍更廣，對處理故障的指導更明確。

5 結束語

文中以電力系統連鎖故障發生路徑預測為研究對象，對比分析馬爾科夫預測模型、隱馬爾科夫預測模型的優缺點，引入Weibull分布，提出時變隱馬爾科夫模型，采用IEEE 36節點仿真模型的數據進行驗證。

(1)在對比分析常用的兩種預測模型的基礎上，為解決狀態轉移概率矩陣為常數，無法滿足電力系統動態性能的要求，首次提出將Weibull分布引入預測模型中，通過該分布在轉移概率中增加支路運行時間變量，在預測中充分考慮支路保護/斷路器拒動、誤動概率；系統硬件故障等小概率事件對預測結果的影響。該部分結論在4.2節中有所展示，驗證了所提方法能明顯提高預測的精度；

(2)分析了小概率事件對預測結果的影響，該部分結論在4.3節中有所展示?？芍「怕蕦τ陬A測結果的影響雖然小，但是不能忽略；

(3)文中研究工作主要針對電力系統連鎖故障的預測來開展，而如何對預測結果進行風險評估，建立可視化界面，更加清晰明確地反應電力系統連鎖故障的發展情況需要進一步探究。因此，若進行下一步研究，需要尋找合適的路徑風險評估模型，開發建立可視化界面，從而能有效及時地預測電力系統連鎖故障的發生。