一種頻率-相位混合編碼的MIMO 雷達波形設計*

廖正龔，任淵，畢井章

（南京艦載雷達研究所，江蘇 南京 210000）

0 引言

多輸入多輸出（multiple input multiple output，MIMO）雷達采用低增益寬波束同時照射進行探測，因此具有較強的抗干擾和多目標探測與跟蹤能力［1-2］。其優良特性歸功于它采用波形分集的收發處理方式。而正交波形是獲得MIMO 雷達分集增益的重要前提。因此，正交波形集的設計和優化對MIMO 雷達系統具有重要意義。

相位編碼信號因具有較高對冗余度和圖釘狀的模糊函數而廣泛運用于MIMO 雷達系統。文獻［3］綜合了模擬退火算法和傳統迭代選擇算法，用于尋找一組適用于正交組網雷達的正交多相碼集；文獻［4］將遺傳算法運用于多相碼的優化，設計出適用于MIMO 雷達的正交多相碼集；文獻［5］將蟻群算法改進并運用于MIMO 雷達多相碼集的優化，能夠在相對原算法較短的時間內獲MIMO 雷達正交四相碼集，但自相關性能略遜于遺傳算法的所得碼集。上述文獻討論的都是常規單載頻子脈沖相位編碼波形，波形帶寬是子脈沖時寬的倒數，受實際點路元器件限制，信號帶寬有限，限制了目標距離分辨率。文獻［6］設計了一種適用于MIMO 雷達的正交頻分線性調頻（OFD-LFM）信號集，但波形單一，適用范圍有限；文獻［7］構建了一種適用于MIMO 雷達的脈內線性調頻、脈間相位編碼（LFM-PC）的混合正交波形，使其具有大時寬帶寬積，但該信號的模糊函數有較大的“柵瓣”，總體呈“釘床狀”；文獻［8-10］對LFM-PC 信號進行了優化，但柵瓣問題依舊存在。

在本文中，首先針對以上波形的不足，提出了一種基于換矩陣時頻分布的頻率-相位混合編碼波形，其構型為脈內線性調頻、脈間相位編碼和置換序列頻率編碼混合調制（perm-LFM-PC，PLP）波形，相比于單載頻子脈沖相位編碼信號，該波形信號的距離和速度分辨率較高，且該波形的模糊函數無“柵瓣”現象。然后，通過對PLP 信號集的分析，建立了置換序列調頻編碼和相位編碼雙變量的非線性優化模型。最后，由于上述文獻提到的算法只對單一相位變量序列進行優化，為此，提出了一種適用于多種變量條件尋優的多種群優化遺傳算法來求解該優化問題。仿真結果表明，PLP 波形具有上述提到的優良性質，通過多種群優化算法優化后具有良好的相關特性，性能優于文獻［3-7，11-13］。

1 信號模型的建立與模糊函數分析

1.1 PLP 信號模型的建立

假設MIMO 雷達發射信號的編碼長度為M，置換矩陣頻率編碼信號時間和頻率之間的關系可以用M階置換矩陣AM×M=(aij)（aij=0或1，為矩陣第i行j列的元素）來表達，每個頻率編碼只出現一次、持續的時間都相同 。將置換矩陣AM×M的第m(m∈{1，2，…，M})列非零元素對應的列坐標記為am，則該置換矩陣對應的置換序列可記為{am}；記Δf為單位置換序列調頻編碼的調頻大小，fm為經置換序列頻率編碼am調制后頻率，則有fm=am·Δf。在置換序列頻率編碼調頻子脈沖信號上調制LFM 信號和相位編碼信號，得到目標波形，波形結構圖如圖1所示。

圖1 PLP 波形結構示意圖Fig.1 PLP waveform structure

設載頻為f0，則置換序列調頻信號的第m個子脈沖信號的表達式為

式中：tb為子脈沖寬度。記uPerm(t)為調頻信號子脈沖的復包絡，則有

偽碼調相信號的復包絡函數為

即偽碼調相信號的采樣函數uPC(t)為

復合調制信號uPerm-PC(t)為置換序列調頻子脈沖信號uPerm(t)和偽碼調相信號uPC(t)在時域上的卷積，即

對于每個子脈沖，都進行線性調頻，最終得到目標信號

式中：μ=Δf/tb，為LFM 信號的調頻斜率。

1.2 PLP 信號模糊函數分析

設χPerm(τ，fd)為uPerm(t)的模糊函數，則有

式中：χv(τ，fd)為矩形脈沖包絡的模糊函數，

設χPC(τ，fd)為uPC(t)的模糊函數，則有

利用模糊函數的卷積性質，可得PLP 信號的模糊函數為

取相位編碼碼長M=40，子脈沖Δf=0.1 MHz，采樣率160 MHz，子脈沖寬度tb=1 μs，模糊圖像如圖2 所示。相比于文獻［6］的LFM-PC 模糊函數，仿真圖2 表明，PLP 波形模糊函數圖沒有柵瓣，總體呈現圖釘型，主瓣高而尖，旁瓣低而平，距離和速度分辨率較高［14-16］。

圖2 PLP 信號模糊函數圖Fig.2 Fuzzy function of PLP signal

令fd=0，式（12）為距離模糊函數，也即自相關函數

根據卷積和傅里葉變換的性質分析式（14）可知，設Bb為子脈沖的帶寬，用Δτ表示PLP 信號的距離分辨率，則有

這表明PLP 波形的距離分辨率與子脈沖時寬無關，僅由子脈沖的調頻帶寬所決定，這樣在工程上容易實現寬頻帶脈壓波形。

速度（多普勒）模糊函數為

式中：C為常數；式（16）化簡過程利用了傅里葉變換的頻域卷積定理，即式（16）第2 行對應的變換域為3個矩形波的乘積；由式（16）可知，PLP 波形的速度分辨率Δfd為

2 PLP 正交波形集優化設計

2.1 PLP 波形集模型的建立

假設正交PLP 波形集包含N個信號組成，每個信號包含M個經過置換序列頻率編碼和相位編碼調制的LFM 子脈沖，則信號集S可表示為

式中：∈{1，2，…，M}，且每行的M個元素互不相同，有且只有出現一次。

子集個數為N、碼長為M、相位數L的多相碼集P，可以用以下N×M相位矩陣表明為

式中：第n行為信號sn(t)的多相序列，矩陣中的所有元素只能從式（20）中的相集中選取。

PLP 波形集第n個波形sn的自相關函數為

式中：χPLP(τ，0)在式（14）已給出。下面將推導PLP波形的互模糊函數和互相關函數。

設χPerm，p，q(τ，fd) 為矩形子脈沖uPerm，p(t) 和uPerm，q(t)的互模糊函數p≠q；p，q∈{1，2，…，N}，由互模糊函數定義得

2 個PLP 波形的相位編碼部分的互模糊函數可表示為

根據自模糊函數和互模糊函數定義可知，相同波形的自模糊函數等于互模糊函數，因此子脈沖LFM 波形的自、互相關函數相同，即

設sp(t)，sq(t)為PLP 波形集中的2 個波形，它們的互模糊函數可表示為

令fd=0，即可得sp(t)和sq(t)的互相關函數為

理想正交信號的非周期相關函數的自相關旁瓣和互相關函數為0，MIMO 雷達信號集要求具有良好的相關性能，將自相關函數峰值旁瓣和互相關峰值的總和作為代價函數，信號集優化問題就轉化為代價函數最小化問題。代價函數如下：

式中：A(sn，τ)由式（14），（22）給出；C(sp，sq，τ)由式（23）～（27）給出；ω1，ω2為代價函數E(S)的加權系數。

2.2 基于改進多種群遺傳算法的PLP 正交波形集優化

觀察自相關函數式（14），（22）和互相關函數式（23）～（27）可知，PLP 信號的置換序列頻率編碼和相位編碼共同影響著代價函數的取值，且二者與代價函數值均為非線性關系，所以必須對頻率編碼序列集和相位編碼序列集進行聯合優化。本文中的置換序列頻率編碼序列的優化是一個排列組合優化問題，屬于典型的旅行商問題（traveling salesman problem，TSP）；而多相碼序列的優化是一個非線性多變量（nonlinear-multivariable problems，NP）問題。

本文采用多種群優化遺傳算法，根據頻率編碼和相位編碼的優化種類，將多個種群分為2 個類別，對不同種類別種群采取不同的初始化、交叉和變異等策略，利用人工選擇和移民操作，即讓同一優化類別的各個種群的優秀個體進行種群間的轉移，使多種群協同進化。例如，在傳統遺傳算法中主要通過交叉算子來產生新個體，用變異算子來輔助產生新個體。交叉概率Pc的取值（一般取值較大，常取0.7～0.9）和變異概率Pm的取值（取值較小，一般取0.001～0.05）決定了算法的全局搜索和局部搜索能力的均衡，但二者的取值方式有無數種，對于不同的Pc和Pm，優化結果有較大差異。多種群遺傳算法彌補了傳統遺傳算法的這一不足，通過多個設有不同控制參數的種群協同進化，同時兼顧了算法的全局搜索和局部搜索。

聯合優化算法步驟如下：

（1）編碼

PLP 波形中置換序列調頻編碼采用整數編碼方式，即對于M個調頻編碼的TSP 問題，染色體分為M段，其中每一段對應調頻編碼的序號。如5 個編碼的TSP 問題｛1，2，3，4，5｝，則｛2|3|1|5|4｝就是一個合法的染色體。將上述編碼方式記為“編碼1”。

PLP 波形多相碼采用串行編碼，編碼方式如下，記為“編碼2”：

式中：為編碼矩陣P的第n行m列元素。

（2）初始化種群，即在確認染色體編碼方式后，產生對應的初始種群用作初始解。

編碼1 對應的初始化種群記為“初始化1”，可表示為

式中：randpermsn(·)表示第n個波形的置換序列調頻編碼全排列中的隨機一種?！俺跏蓟?”種群個數設為MP1。

編碼2 對應的初始化種群記為“初始化2”，該類初始種群數個數設為MP2。

（3）適應度計算。代入式（28）即可得。

（4）選擇根據適應度函數采用輪盤賭選擇策略。

（5）交叉。相位編碼對應個體采取兩點交叉，該方式記為“交叉1”；置換序列調頻編碼需要采用部分映射雜交，即交叉后若同一個個體中有重復的子碼，不重復的數字保留，有沖突的數字利用介于交叉操作中間段的對應關系進行映射消除沖突，以確保交叉后的子代符合置換序列性質，個體內子碼沒有產生重復，該交叉方法記為“交叉2”。

（6）變異。以某一較小概率改變種群中個體的某些基因，從而為新個體的產生提供機會。需要注意的是，為了保證變異后的置換性質，頻率編碼的變異策略為變異策略采取隨機選取2 個點，將其對換位置，該變異方式記為“變異1”，相位優化種群對應“變異2”。

（7）移民。同一類種群間是相對獨立的，相互之間通過移民算子聯系。移民算子將各種群在進化過程中出現的最優個體定期地（每隔一定的進化代數）引入其他的種群中，實現種群之間的信息交換。

（8）人工選擇。找出精華種群。

（9）算法終止。當適應度函數達到期望值，或遺傳代數達到閾值，或者精華種群中最優個體保持代數達到設定值，算法終止；否則繼續執行步驟（3）～（8）。

多種群優化遺傳算法結構示意圖如圖3 所示。其中，GA1表示采用編碼1、初始化1、交叉1 和變異1的遺傳算法；GA2表示采用編碼2、初始化2、交叉2和變異2 的遺傳算法。

圖3 多種群優化遺傳算法結構示意圖Fig.3 Structure of multi-population optimization genetic algorithm

3 仿真校驗

根據第2 節所述過程，采用多種群優化算法對PLP 波形集進行優化，MIMO 雷達波形參數設置如下：波形個數N=4，碼長M=40，相位數L=4，子脈沖寬度tb=1 μs，子帶寬Bb=0.1 MHz；算法參數設置如下：個體數目400，各種群數目MP1=MP2=10，最優個體保持代數為30，采用兩點交叉，每個種群交叉概率取值為區間［0.7，0.9］中的隨機數，變異概率為［0.005，0.01］中的隨機數。

多種群優化遺傳算法的進化代數和代價函數曲線如圖4 所示；優化得到的相位序列見表1，表中數字乘以π/2 即為相位；頻率編碼序列如表2 所示。所得PLP 優化波形集的自相關旁瓣峰值和互相關峰值如表3 所示。所得的波形的平均自相關旁瓣峰值（autocorrelation sidelobe peak，ASP）為 0.119 8（-18.43 dB），最大ASP 為0.109 8（-19.19 dB）；平均互相關峰值（cross-correlation peak，CP）為0.150 4（-16.47 dB），最大CP 為0.131 5（-17.62 dB）。

表1 PLP 優化相位序列Table 1 Optimized phase sequence of PLP

表2 PLP 優化置換序列調頻編碼Table 2 FM coding of PLP-optimized permutation sequence

表3 PLP 優化波形集的ASP 和CP 值（歸一化）Table 3 ASP and CP Values（normalized amplitude）of PLP-optimized waveform set

圖4 多種群優化遺傳算法代價函數曲線Fig.4 Cost function curve of MSO-GA

將本文結果與同參數的文獻進行對比，圖5 和圖6 分別為本文與文獻［4，7，11，13］提到的遺傳算法（genetic algorithm，GA）優化算法優化的各信號的ASP 對比圖和CP 對比圖；圖7 和圖8 分別為本文與其他算法［3，5，12］優化的各信號的ASP 和CP 對比圖。表4 為對比結果。

表4 本文方法與其他文獻平均 ASP，CP 值比較Table 4 Comparison of average ASP and CP values between proposed method and other literature

圖5 MSO-GA 與其他GA 優化的ASP 對比圖Fig.5 ASP comparison of MSO-GA and other GAs

圖6 MSO-GA 與其他文獻GA 優化的CP 對比圖Fig.6 CP comparison of MSO-GA and other GAs

圖7 MSO-GA 與其他算法優化的ASP 對比圖Fig.7 ASP comparison between MSO-GA and other algorithms

圖8 MSO-GA 與其他算法優化后的CP 對比圖Fig.8 CP Comparison between MSO-GA and other algorithms

由圖4 可知，本文的多種群優化遺傳算法通過移民算子和人工選擇操作保證了多種群間的優秀個體快速形成精英種群，不但可以同時對多個不同的目標進行優化，且進化和收斂速度較快。觀察圖5～8 和表4 可知，相比于文獻［4，7，11，13］提到的GA優化算法，本文的算法平均自相關旁瓣分別優于它們0.038，0.024，0.019，0.028（轉換為dB 值再求差為1.83 dB，0.93 dB，0.63 dB，1.27 dB）；平均互相關旁瓣分別優于它們0.059，0.027，0.069，0.056（2.87 dB，1.47 dB，3.27 dB，2.42 dB）。相比于模擬退火，蟻群算法等其他優化算法［3，5，12］，多種群優化遺傳算法的自相關旁瓣分別優于它們0.043，0.020，0.056（2.13 dB，1.83 dB，2.84 dB）；互相關峰值分別優于它們0.049，0.057，0.006 3（2.47 dB，2.79 dB，3.04 dB）。

分別對PLP 信號、單載頻相位編碼信號、LFMPC 信號進行匹配濾波，匹配濾波輸出如圖9 所示。觀察可知，在子脈沖寬度tb=1 μs，子帶寬Bb=0.2 MHz 的同參條件下，PLP 信號匹配濾波的3 dB脈寬約為0.1 μs，遠小于相位編碼信號和LFM-PC信號的0.6 μs，距離分辨率優于它們。圖10 中a），b）分別為同參條件下改變子脈沖tb和子脈寬Bb各信號輸出的匹配濾波的有效脈寬。圖10a），b）反映出單載頻子脈沖和LFM-PC 混合調制信號受信號子脈寬的影響，受實際點路元器件限制，信號帶寬有限，限制了目標距離分辨率；相比之下，PLP 波形不僅在這些參數下距離分辨率均優于單載頻相位編碼信號和LFM-PC 信號，其距離分辨率與子脈寬無關，僅由子脈沖的調頻帶寬所決定，這樣在工程上容易實現寬頻帶脈壓波形。

圖9 各個信號的匹配濾波輸出脈寬對比圖Fig.9 Comparison of matched filter output of PLP，phase coding and LFM-PC signal

圖10 各信號的匹配濾波輸出與子脈寬、子帶寬的關系圖Fig.10 Relationship between the matched filtering output of each signal and the pulse width and bandwidth

4 結束語

本文提出的基于置換矩陣時頻分布的頻相復合調制MIMO 雷達波形具有大時寬帶寬特點，其模糊函數沒有柵瓣且為圖釘型；在同參條件下，距離分辨率優于單載頻相位編碼信號和LFM-PC 混合調制信號，且其距離分辨率僅由子脈沖的調頻帶寬所決定與子脈寬無關，在工程上容易實現寬頻帶脈壓波形。通過對PLP 信號的分析，得出該信號優化模型，最后利用多種群優化遺傳算法對該波形集的頻率編碼和相位編碼進行聯合優化。仿真結果驗證了PLP 信號的優良特性，表明了多種群優化遺傳算法能夠有效對頻率編碼集和相位編碼集進行優化，使得PLP 波形集獲得良好的相關特性。