考慮位錯密度的鋁合金動態壓縮晶體塑性有限元分析

趙英杰，胡 廣，趙 聃，張團衛，馬勝國，王志華

(太原理工大學 a.機械與運載工程學院，應用力學研究所，b.材料強度與結構沖擊山西省重點實驗室，c.力學國家級實驗教學示范中心，太原 030024)

7075系鋁合金因其具有較高的比強度和較低的密度，在航空工業、結構材料、航天飛行器和汽車部件等方面得到了廣泛的應用，因此高應變率條件下對其力學性能的研究具有重要的研究意義[1]。分離式霍普金森壓桿(SHPB)試驗裝置是一種用于表征材料在高應變率下力學特性常用的動態測試技術[2]。通過SHPB可以獲得較寬應變率范圍以及不同溫度下材料的力學響應。KIM et al[3]利用SHPB研究了具有不同長徑比的7075-T6鋁合金在高應變率下的力學行為，觀察到其應力、應變行為受長徑比的影響。SASSO et al[4]使用SHPB測試了不同初始回火(T6和O回火)對7075鋁合金的高應變率行為，發現T6回火表現為脆性，而O的回火行為是韌性的，在高應變率下，二者均表現出高應變率下正應變率敏感。CHUNG et al[5]在室溫下通過SHPB對Fe27Co24Ni23Cr26合金的動態力學性能進行了研究，結果表明高應變率變形誘導微米孿晶、納米孿晶和亞納米孿晶組成分級結構，極大地提高了材料的強度和韌性。此外，SUZANE et al[6]采用SHPB對不同回火溫度的HHA(High Hardness Armor)鋼的高應變率變形行為及其微觀結構演化進行了研究，發現不同回火溫度的HHA鋼均出現了表現率敏感的特性，并在變形過程中形成了絕熱剪切帶。

相比于傳統宏觀模型，晶體塑性有限元方法(CPFEM)通過考慮位錯滑移、孿晶以及相變等微觀機制對金屬塑性變形和微觀結構演化進行了準確地描述[7]。有限元模型中網格每個積分點上包含一個或多個單晶晶粒并與特定的晶體取向相關聯，通過描述單晶變形本構關系在積分點上的運行，進而實現了用有限單元描述復雜的連續體變形[8]。ZHANG et al[9]將內熱的形成理論耦合到動態CPFEM模型中，成功預測了HCP多晶金屬材料微觀絕熱剪切帶的形成，研究發現熱擴散和塑性耗散相關常數之間的平衡以及微觀織構對控制應變局部化至關重要。LI et al[10]通過建立具有不同初始織構多晶模型的動態單軸壓縮和單軸剪切的晶體塑性有限元模型，研究了FCC金屬在高應變率載荷下典型織構對塑性變形的影響，其預測的變形行為與實驗結果大致相同。本文從宏觀和微觀尺度出發，發展了考慮位錯密度的跨尺度晶體塑性模型，采用CPFEM與SHPB實驗相結合的方式，研究了7075-T6鋁合金動態加載下的宏觀和微觀力學響應，探討了其動態變形行為以及微觀結構的演化規律。

1 晶體塑性理論

1.1 運動學

晶體的變形由彈性變形和塑性變形組成，其中彈性變形主要為晶格的畸變，塑性變形則包括晶體的位錯滑移、孿晶等。根據連續介質力學的理論[11]，假設材料初始構型為dX，當前構型為dx，則二者可以通過變形梯度張量F進行關聯：

dX=FdX.

(1)

其中，變形梯度張量可以根據晶體變形的機制進一步分解為彈性變形梯度和塑性變形梯度：

F=FeFp.

(2)

式中：Fe為彈性變形梯度，包含彈性變形及剛體轉動等可恢復的變形；Fp為塑性變形梯度，描述由位錯滑移和變形孿晶等產生的非彈性剪切變形等不可恢復變形。根據晶體塑性理論可以認為材料首先由初始構型dX經塑性變形Fp轉變至中間構型，隨后通過彈性變形Fe轉變至當前構型dx，該轉變過程示意如圖1所示。

(3)

圖1 變形梯度的分解Fig.1 Multiplicative decomposition of deformation gradient

(4)

L=D+Ω.

(5)

式中：D為變形率張量；Ω為旋率張量。需要注意的是變形率張量為對稱張量，旋率張量為反對稱張量。與變形梯度張量相類似，變形率張量和旋率張量也可分解為彈性部分和塑性部分：

D=De+Dp,Ω=Ωe+Ωp.

(6)

1.2 本構模型

晶體內的彈性本構關系可根據文獻[12]的研究得出：

(7)

α滑移系的塑性剪切變形率可以根據率相關晶體塑性模型[13-14]表示為如下形式：

(8)

1.3 硬化模型

圖2 滑移面上的林位錯和運動位錯Fig.2 Forest dislocation and moving dislocation on slip system

基于位錯密度演化的硬化模型假設位錯運動的阻礙來源于林位錯，林位錯的空間分布密度ρα與滑移阻力gα的關系為：

(9)

(10)

式中：Gαβ為位錯密度相互作用矩陣G中的系數，其中存在G0～G5六個強度因子，它們之間相互獨立，代表不同滑移系之間的相互作用。其中，G0為滑移系中位錯的自硬化作用，G1為伯氏矢量不同的滑移面平行位錯間的相互作用，二者均描述了滑移面平行(包括共面)的位錯間相互作用強度，其余4個系數則描述了非共面位錯間的相互作用強度。ARSENLIS et al[15]通過對FCC金屬的研究得出了FCC金屬中6個強度因子分別為：G0=0.10，G1=0.22，G2=0.30，G3=0.38，G4=0.16，G5=0.45.

位錯密度不僅存在增殖，同時由于滑移系的相互作用還會產生位錯密度湮滅的現象，據此KOCKS et al[16]提出了Kocks-Mecking(K-M)模型用以描述位錯密度與剪切應變率的依賴關系：

(11)

式中：ρα為第α個滑移系的位錯密度；k1表示位錯的增殖系數；k2表示位錯的湮滅系數。將其與式(10)聯立可以得到通過位錯密度表示的當前強度變化率與剪切應變率之間的關系為：

(12)

上式為以位錯密度為中間變量的滑移阻力變化率與剪切應變率的關系，即基于位錯密度的硬化模型。

2 結果與分析

2.1 動態壓縮實驗

通過分離式霍普金森壓桿對7075-T6鋁合金制成的直徑6 mm，長12 mm的圓柱形試件進行動態壓縮實驗，實驗設備示意如圖3所示。試件放置于入射桿和透射桿之間，通過控制氣壓以調控子彈的速度從而達到對試件壓縮應變率的控制，入射桿和透射桿上的中心處對稱位置分別粘貼兩個電阻應變片，組成半橋電路以消除兩桿本身彎曲的影響，經過動態應變儀采集到應變片電阻的變化，并通過示波器將電阻的變化轉換成電壓的變化并進行顯示，通過計算機的進一步處理可以得到應變的變化。

圖3 分離式霍普金森壓桿示意Fig.3 Diagram of split Hopkinson pressure bar

雖然本文所研究的7075-T6鋁合金在材料內部晶粒存在不同取向，但從宏觀角度而言其各部分力學性能基本一致，符合材料的均勻性假設，所以本文采用二波法[17]對實驗數據進行處理。

(13)

圖4 壓縮后試件的工程應力-應變曲線Fig.4 Engineering stress-strain curve of sample after compression

為了對本文所用7075-T6鋁合金材料的初始微觀結構及變形后的微觀結構進行表征，獲取其織構信息，在初始圓柱形試件及實驗后試件上分別按照圖5所示方式取出厚度為1 mm的試樣，陰影面為其掃描面，樣品坐標系如下圖所示，選取其壓縮方向為RD方向。

圖5 EBSD樣品示意圖Fig.5 Diagram of EBSD simple

對取出后樣品做如下處理：1) 將樣品表面依次使用200目至2 000目的SiC砂紙進行初步打磨，隨后依次使用2 000目至4 000目的水磨砂紙對其進行進一步打磨，直至表面光亮且不存在肉眼可見的劃痕；2) 將通過砂紙打磨好的樣品依次使用W2.5至W0.5的金剛石拋光膏在機械拋光機上進行進一步的拋光處理，拋光至在光學顯微鏡下觀察不到明顯劃痕為止；3) 將機械拋光后的樣品在體積比為9∶1的乙醇高氯酸溶液中進行電解拋光，電解在25 V的直流電壓下進行，時間為15 s，并將電解后樣品在乙醇溶液中清洗，取出后使其自然風干。使用熱場發射掃描電子顯微鏡(JSM-7100F)配備的EBSD探針(HKL NordlysNano)對處理后樣品進行掃描，加速電壓和掃描步長分別設置為20 kV和0.5 μm.圖6(a)為實驗后得到鋁合金初始狀態的反極圖(inverse pole figure，IPF)，圖6(b)為實驗前后試件的極圖(pole figure，PF)對比。本文所采用鋁合金由拉拔成型工藝制作，由圖6(a)可知，本文所采用的鋁合金材料內部晶粒尺寸沿拉拔方向為300 μm左右，沿橫向為100 μm左右，其晶粒分布顏色可知，其晶粒的初始取向基本一致，以<001>方向和<111>方向為主，同時包含少量其他取向晶粒，大多數晶粒沿拉拔方向變形為纖維狀。當其經過動態壓縮后，材料內部晶粒發生旋轉，由初始方向向α-fiber方向發生聚集。

圖6 EBSD結果Fig.6 Results of EBSD

2.2 晶體塑性模型參數分析

由于本文所采用的動態隱式算法需要較小的分析步和較長的計算時間，綜合考慮計算精度和時間成本，本文將動態壓縮實驗簡化為剛性面板對圓柱形試樣的壓縮，試件尺寸與前文實驗中相同，直徑為6 mm，長12 mm.網格類型設置為六面體八節點線性減縮積分單元(C3D8R)，模型中一個網格代表一個晶粒，通過Python程序將EBSD得到的7075-T6鋁合金的初始織構輸入三維宏觀多晶模型中，通過實驗中得到的工程應力-應變曲線對不同參數的影響進行標定。由于本節主要分析某個變量對宏觀應力-應變曲線的影響，所以只對分析時的參數做控制變量的分析，即僅保證其他參數在合理取值范圍內且保持不變，并未使用確實符合實際的參數進行分析。

由于實驗中試件與入射桿和透射桿之間均存在接觸，所以在CPFEM模擬中應對其接觸時摩擦力的影響進行分析比較。文獻[18]的研究表明，當接觸面較為光滑時，鋁合金的摩擦系數為0.02左右，本文選取摩擦系數分別為0.01、0.02和0.05的3種模型進行分析，其工程應力-應變曲線如圖7所示。由圖可以看出，對于0.02左右的摩擦系數而言，相同模型的工程應力-應變曲線變化極小，說明摩擦系數對模擬結果力學性能的影響可以忽略不計。此外摩擦系數還會對存在接觸位置的變形產生影響，由圖7中的小圖接觸面對數應變分布云圖可以看出，不同摩擦系數接觸面的變形基本一致，三者直徑變化的相對誤差為1.5% 左右。綜合上述分析，在后續CPFEM的模擬中將不再考慮摩擦系數對結果的影響。

圖8(a)和圖8(b)分別為不同位錯增殖系數k1及不同位錯湮滅系數k2的模型中工程應力-應變曲線的變化情況，可以看出在其他參數不變的情況下，k1和k2對材料的屈服強度并不產生影響，僅與其屈服后的硬化行為有關。隨著k1的增加，材料的加工硬化行為更加顯著，就微觀結構而言，這是由于k1的增加導致晶粒內部位錯增殖速度上升，在材料發生塑性變形后位錯大量增殖，由于位錯間的相互作用導致材料內晶體位錯的運動更加困難，宏觀上即表現為材料的硬化行為加劇且極限強度提高。與k1相反，k2的增加則會導致材料極限強度下降且降低其塑性階段的硬化行為，這是由于當k2的值增加時，材料塑性變形過程中的位錯密度湮滅速度也隨之增加，晶體內部位錯運動的阻力減小，宏觀上則表現為極限強度和硬化行為的減弱。

圖7 不同摩擦系數模型工程應力-應變曲線Fig.7 Engineering stress-strain curves of different models with different friction coefficients

圖8 不同模型工程應-應變曲線Fig.8 Engineering stress-strain curves of different models

2.3 參數標定

根據上文對相關參數的分析，在對動態壓縮實驗進行CPFEM模擬時，本文選用網格尺寸為0.3 mm的模型進行計算，摩擦系數設置為0.02.通過對模擬中得到的工程應力-應變曲線與實驗中曲線比較以調整晶體塑性模型中的相關參數，當兩條曲線可以較好地相符時，則認為此時的參數能夠準確描述實際實驗中試件的宏觀力學行為及微觀結構變化。圖9為使用最終標定的參數計算時CPFEM模擬與實驗的工程應力-應變曲線對比，由于分離式霍普金森壓桿的二維彌散效應[19]，動態實驗中得到的工程應力-應變曲線存在較大波動，一般取其震蕩的中心值作為實驗結果。本文進行了3次相同應變率的動態壓縮實驗，通過3次實驗所得到鋁合金的工程應力-應變曲線具有較好的重復性，說明通過SHPB對鋁合金進行動態壓縮實驗是十分可靠的。需要注意的是，CPFEM模擬結果與實驗結果在彈性段有較大的誤差，這是由于動態壓縮實驗中材料迅速進入塑性段，處于彈性段的時間較短，由于數據采集和環境影響，導致實驗中的彈性段數據并不完全準確，本文所采用晶體塑性模型中，通過立方晶系中3個相互獨立的彈性常數C11、C12和C44[20]決定材料的彈性性質。由此可以看出使用CPFEM模擬7075-T6鋁合金動態壓縮實驗得出的工程應力-應變曲線在塑性階段能夠與實驗中得到的曲線基本相符，說明擬合后得到的參數與實際材料參數能夠很好地吻合，表1為7075-T6鋁合金CPFEM模型中的相關參數標定值，其中ρint為7075-T6鋁合金初始位錯密度[21]，μ為其剪切模量[22]。

圖9 CPFEM模型與動態壓縮實驗的工程應力-應變曲線對比Fig.9 Comparison of the engineering stress-strain curves in dynamic compression test between CPFEM model and experiment

2.4 織構演化分析

本文通過ABAQUS中的UMAT子程序對晶體塑性有限元模型進行計算時，可以獲得計算過程中每一步中的狀態變量(solution-dependent state variables，SDV)，包括試件內部每個晶粒的取向及其位錯密度等，據此，可以通過Python程序包將所需晶體取向的變化信息進行收集和處理，并將相應晶體的歐拉角信息輸入JTEX軟件中進行處理，便可將CPFEM模擬得到的晶粒取向變化結果與實驗結果加以比較。動態壓縮實驗后得到的試件極圖與CPFEM模擬中試件極圖的對比(見圖10)，可以看出二者可以較好地相符，但織構強度存在一定差異，這是由于實際實驗中對材料的表征以及計算中邊界條件的設置均存在一定的誤差，但總體而言本文所研究的基于位錯密度的晶體塑性有限元模型可以較為準確地預測材料的宏觀力學行為以及微觀結構的演化趨勢。為了進一步分析7075-T6鋁合金材料動態壓縮后織構的演化情況，并驗證CPFEM模擬計算結果的準確性，繪制了數值計算結果和實驗結果的取向分布函數圖(orientation distribution function，ODF)進行對比。

表1 7075-T6鋁合金CPFEM模型相關參數Table 1 Related parameters of CPFEM model of 7075-T6 aluminum alloy

圖10 CPFEM數值計算與實驗試樣極圖Fig.10 Pole figure of sample in CPFEM numerical calculation and experiment

通過JTEX軟件導出初始狀態、實驗后以及數值計算結果的ODF如圖11所示，對應體積分數柱狀圖如圖12所示，導出時誤差角設置為15°[23]。由圖可以看出，7075-T6鋁合金在初始狀態時織構類型主要為Cube {001}<100>織構以及一定量的Goss {110}<001>織構、A {110}<111>織構和Cu {112} <111>織構，其中Cube織構和Goss織構為鋁合金中典型的再結晶織構。本文所采用的拉拔成型的7075-T6鋁合金在初始狀態時產生了<111>方向和<001>方向的聚集。動態壓縮后由于試件內部晶粒發生了取向的擇優轉動，晶粒的織構類型發生了相應的變化，Cube{001}<100>織構、A {110}<111>織構、P{011}<211>織構和Cu {110}<001>織構的體積分數相較初始狀態材料下降，同時生成了較多的Brass{110}<112>織構和Goss {110}<001>織構，這些織構的體積變化趨勢與吳曉冬[24]對7003鋁合金動態壓縮后的微觀結構變化相符。同時根據CPFEM數值計算結果與實驗結果的對比可知，除S{123}<634>織構和F{111}<112>織構外，CPFEM模擬可以對動態壓縮過程中的織構體積分數變化趨勢作出較為準確地預測。

圖11 實驗、CPFEM計算結果及初始狀態材料的ODFFig.11 ODF figure of experiment, CPFEM numerical calculation, and initial stage material

圖12 實驗、CPFEM數值計算結果及初始狀態材料中的典型織構體積分數Fig.12 Volume fraction of ideal texture in experiment, CPFEM numerical calculation, and initial stage material

3 結論

1) 摩擦系數對試件宏觀力學性能的影響較小，只對其最終變形模態的顯示有一定影響。

2) 位錯增殖系數k1增大會導致材料的硬化行為加劇且極限強度提高，位錯湮滅系數k2增大則會導致材料的極限強度下降，且弱化其硬化行為。

3) 動態壓縮后由于試件內部晶粒發生了取向的擇優轉動，晶粒的織構類型發生了相應的變化，生成了較多的Brass{110}<112>織構和Goss {110}<001>織構。

4) CPFEM模型可以較好地預測動態壓縮過程中試樣內部織構的變化趨勢，但對織構體積分數的預測與實驗存在一定差異。