考慮缺貨影響的企業產品滿足率和價格均衡分析

言小明,王 平,余玉剛

(中國科學技術大學 管理學院,安徽 合肥 230026)

0 引言

根據ECR Europe[1],缺貨是當消費者沒有找到所需商品的形式、口味或大小,或沒有在可銷售的條件下找到所需商品,又或該商品沒有被擱置在預期位置的情況。近年來,研究人員和咨詢企業對零售業的缺貨情況進行了廣泛的分析,雖然缺貨問題并不是一個新話題,但是缺貨仍然是許多零售商的關鍵問題。缺貨的發生對零售商造成了利潤和銷售的損失。根據Che 等[2]的研究,雜貨類產品的平均缺貨率為7.9%,造成了零售商4%的銷售損失。Jing 和Lewis[3]發現如果消除所有的缺貨情況可以將收益提高12.5%,并且將長期客戶權益提高56.2%。此外,缺貨的發生也對消費者的行為造成了影響。Sanchez-Ruiz 等[4]指出,當消費者面臨缺貨情況時可能采取的措施是購買替代品、延遲購買決策或者不購買并且直接離開商店。而且缺貨可能會降低消費者的滿意度,影響消費者對企業產品的忠誠度,不僅破壞了產品形象,甚至給企業帶來消費者的永久流失?，F在,購物的多種渠道以及快速的信息獲取使得消費者更加不能接受缺貨的情況。但是對于企業來說,在面對不確定市場時,準確地預測需求和提供恰到好處的庫存是存在難度的并且需要大量的成本。所以,在決策時考慮缺貨情況以及消費者對缺貨的厭惡程度,能夠使零售商更合理地制定產品決策。因此,在考慮缺貨的影響下,分析競爭市場中企業滿足率和價格決策的均衡情況,是值得研究的重要問題。

產品滿足率,即產品可獲得性,通常被認為是需求中可以被當前庫存滿足的部分。Dana 和Petruzzi[5]在構建需求模型時假設,消費者購買企業產品獲得的效用不僅取決于產品的價格,而且與預期的產品可獲得性有關。Dana[6]通過視頻租賃市場的案例討論價格與產品可獲得性之間的關系。作者在需求不確定的假設下提出了一個在價格和產品可獲得性維度進行競爭的模型,并且表明,在單周期Cournot 模型中,企業使用更高的價格表明更高的產品可獲得性,在單周期Bertrand 模型中,較高的價格會促使企業持有更高的庫存。同樣地,Lei 等[7]認為零售商以較高的價格表明產品的可獲得性。Craig 等[8]從實證角度上研究了供應商的服務水平對零售商需求的影響,并且通過對Hugo Boss 的研究發現滿足率每增加1%,零售商需求增加11%。以上文獻大多研究了價格或庫存決策對產品可獲得性的影響,但鮮有將產品滿足率作為決策變量加以討論。

此外,本文的研究針對競爭市場中多個企業同時進行決策的問題,其中每個企業的產品有區別但可替代。早期對報童模型的研究主要集中于庫存決策上,該研究可以追溯到Parlar[9],他研究了銷售可替代產品的兩個企業的庫存博弈問題,并且證明了納什均衡的存在性與唯一性。這一結果被Wang 和Parlar[10]以及Nestessine 和Rudi[11]擴展到三個企業和n個企業的情形。后續的研究學者在報童競爭問題中加入了價格因素,研究價格決策對市場均衡的影響。如Chen等[12]研究了價格和庫存競爭市場,并證明了市場均衡的存在性與唯一性,表明競爭導致了更低的價格和更高的訂購量。Zhao 和Arkins[13]擴展了Nesteessine 和Rudi[11]的模型,將n個企業的庫存競爭理論擴展到企業在價格和庫存維度同時競爭的情況。但以上的研究未考慮缺貨情況以及消費者對于缺貨的反應,忽視了消費者與企業之間的關聯,本文的研究將消費者對缺貨的反應考慮到報童模型中,更加符合實際,同時也能夠對相關研究領域進行補充。

最后,消費者的選擇行為是本文研究的重點,消費者需要在不同的企業產品以及外部選擇間進行決策,并且消費者選擇的結果決定了每個企業的市場份額。因此,本文使用多項式Logit 模型(MNL 模型)描述消費者的選擇行為。MNL模型的提出可以追溯至Luce[14]。在基于MNL 模型的定價問題中,消費者購買特定產品的概率取決于所有產品的價格。Li 和Huh[15]研究了多個差異化產品的定價問題。Gallego 和Wang[16]研究了銷售多種可替代產品的企業的價格優化問題,其中消費者的購買行為遵循嵌套Logit 模型,即消費者首先在所有產品中選擇一系列產品,然后在選定的產品中做出購買產品的決策。此外,Li 等[17]使用離散混合多項式Logit 模型(即MMNL 模型)研究產品線的價格優化問題。不同于上述研究,本文在使用MNL 模型描述消費者的選擇行為時,將消費者對缺貨的反應加入到模型中,使模型更加切合實際。

綜上所述,近年來現有文獻針對產品滿足率和報童競爭問題進行了較為廣泛的研究,但這些研究鮮有將消費者對缺貨情況的厭惡程度考慮到競爭企業的決策中。在許多情況下,假設消費者行為和企業決策之間的獨立性是不合理的。在實踐中,消費者確實對不良服務(如缺貨)做出了實質性和負面的反應,這可能導致他們在隨后的購買中更換零售商(Sanchez-Ruiz 等[4]),并且可能對未來的需求產生顯著的不利影響(Anderson 等[18]),另一方面,滿意的客戶可能會繼續從同一家企業購買商品(Anderson 和Sullivan[19])。在本文的假設中,市場中存在n個銷售有區別產品的競爭企業,因此,企業在制定決策時,不僅需要考慮其他企業的決策,也要考慮缺貨情況對消費者的影響。在此前提下,本文使用MNL模型刻畫消費者的選擇行為和市場需求情況,對競爭市場的均衡情況進行分析,以及討論不同參數對均衡解和企業利潤的影響。

1 模型構建

本文考慮一個由銷售有區別產品的n個企業構成的競爭市場。假設消費者是同質的,且對企業i產品的估值為vi。令ci表示企業i購買單位產品的成本,yi和pi分別表示企業i對其產品的訂購量和單位售價,故企業i的訂購成本可表示為ciyi。假設消費者市場是隨機的,市場容量為ε,ε的概率密度函數和概率分布函數分別為f(x)和F(x),且F(x)連續可微。由于需求是隨機的,但是訂購量是有限的,理性的消費者會在做出購買決策前考慮企業的滿足率,令ri表示企業i對其產品的滿足率?；谝陨系募僭O,消費者購買企業i的產品所獲得的效用可以表示如下:

由于vi-pi表示消費者購買企業i的產品所獲得的凈效用,ri表示消費者被滿足的概率。因此,ri(vi-pi)表示消費者購買企業i的產品所能獲得的期望凈效用。θilog(ri)表示消費者由于缺貨厭惡而引起的效用減少,θi是一個非負常數,因為滿足率ri∈[0,1],所以log(ri)≤0。故θi越大,缺貨帶來的效用減少越大,因此,θi可以理解為消費者對企業i產品缺貨現象的厭惡程度。這里使用的對數形式已被其他學者用過,如Gaur 和Park[20]。用對數函數刻畫消費者由于可能缺貨而引起的效用減少,其原因如下:1)當ri趨于0 時,θilog(ri)趨于負無窮,說明當企業的服務水平趨于0 時,消費者購買產品的效用會趨于負無窮,這種情況下消費者不會選擇購買產品。2)當ri=1 時,消費者購買該產品的效用完全由產品價格以及消費者對該產品的估值決定。

消費者外部選擇的效用為U0=ξ0。為了描述具有多個替代產品選擇的消費者的選擇行為,本文引入了MNL 模型,即本文假設{ξi},i=0,1,…,n,是獨立同分布的Gumbel 隨機變量,即Pr(ξi≤x)=exp(-exp(-(x/β+η))),其中η≈0.5772 為歐拉常數。并且,ξi的均值E[ξi]=0,標準差為βπ/。不失一般性,令β=1(McFadden[21],Wang[22])。消費者只有在購買企業i產品獲得的效用高于購買其他企業產品獲得的效用時才會選擇購買企業i的產品。因此,消費者選擇企業i產品的概率可以表示為:

在下面的分析中,qi也被稱作企業i的市場份額。因此,企業i產品的市場需求可以表示為qiε。

根據Deneckere 和Peck[23],在消費者進入市場條件下總需求的概率密度函數為g(ε)=εf(ε)/μ,其中,μ=E[ε],表示需求容量的均值。因此在消費者進入市場并購買企業i產品的條件下,企業i對其產品的服務水平可以定義為:

其中G(z)=(1/μ)E[min{z,ε}],且G(z)對變量z是遞增的凹函數。特別地,E[min{yi,qiε}]是企業i期望銷量,μqi是企業i期望需求。則yi=qiG-1(ri),其中G-1(·)是G(·)的反函數,并且是遞增的凸函數。因此企業i的期望利潤函數可以表示為:

將式(1),式(2)代入期望利潤函數(3)中,化簡得:

2 價格外生情況

類似Dana 和Petruzzi[5],本文在后續的模型中分別考慮了價格外生和價格內生兩種情形,區別在于企業是否能夠決策產品的價格水平。為了比較,本節將競爭情況分為滿足率競爭和市場份額競爭兩種競爭情形,分別對競爭市場的均衡情況和企業決策進行分析。

2.1 滿足率競爭

定理1對于價格外生情況下滿足率競爭市場的博弈,存在唯一的納什均衡,且該納什均衡滿足以下條件:

其中hi(ri)=μpiri-ciG-1(ri),表示hi(ri)的導數。

證明:由式(4)可知,企業i的期望利潤函數為:

其中hi(ri)=μpiri-ciG-1(ri)。

令xi=ri(vi-pi)+θilog(ri),則式(5)可以轉換為:

因此該博弈是對數超模博弈,根據Cachon 和Netessine[24],在超模博弈中,至少存在一個納什均衡,且該均衡滿足:

這里,考慮利潤函數的對數轉換是因為對數轉換為嚴格單調轉換,而如果利潤函數在經過嚴格單調轉換后在某一點取得極值,則原函數在該點仍然取得極值。

在證明均衡的唯一性前,定義如下矩陣:

根據Cachon 和Netessine[24],如果矩陣H1滿足“嚴格對角優勢”,即每一行對角線元素絕對值大于該行非對角線元素的絕對值之和,也就是,則該博弈具有唯一的納什均衡。

計算式(7)對xi的導數,可得:

根據式(5)和式(6),可得:

因此,納什均衡滿足一階條件式

且式(9)的解唯一,則該博弈存在唯一的納什均衡。

該納什均衡能夠通過二分法進行求解。求解式(9)相當于求解以下等式:

簡單來說,納什均衡是n個一階條件的解,因此納什均衡可能是不存在的。不存在均衡情況實際上是一個概念性問題,因為在這種情況下,博弈的結果是不確定的。在理論上證明均衡的存在性有很多方法,如布勞威爾不動點定理、證明收益函數的凹性,以及本文在定理1 中使用的證明該博弈問題為超模博弈等。從定性分析角度上來說,為了研究和比較市場結果,證明納什均衡的存在性和唯一性是非常有用的,它能夠從理論上說明市場的均衡狀態,市場中的每個博弈者都確信,在給定競爭對手的情況下,每個博弈者都選擇了最好的策略。正如定理1 中納什均衡滿足的一階條件所示,在競爭市場中,每個企業在自身成本等參數確定的前提下,能夠找到使自身收益最大化的策略。并且,在后續第四章的數值分析中,本文也分析了各參數對企業決策和利潤的影響,對于企業如何獲得更多的利潤提供了思路和方法。

2.2 市場份額競爭

類似于Li 和Huh[15],我們接下來也考慮市場份額競爭,即每個企業決策自身的市場份額。在該節中,上標q表示企業進行市場份額競爭時的相關決策。

定理2對于價格外生情況下市場份額競爭市場的博弈,存在唯一的納什均衡,且該納什均衡滿足以下條件:

其中,φi(ri)=ri(vi-pi)+θilog(ri),表示φi(ri)的反函數。

證明:回顧式(1),企業i的市場份額為:

2.3 兩種競爭市場的比較

在價格外生情況下,兩種競爭市場的最優滿足率的關系有如下定理。

定理3價格外生情況下,對任意的企業i,兩種競爭情況最優滿足率的關系滿足。

證明:由定理1 和定理2 可知,兩種競爭情況的均衡取決于以下等式:

將式(12)代入式(11)中并通過化簡可得:

對于兩種競爭情況的利潤比較,由于從理論證明兩種競爭情況的利潤關系較為復雜,因此我們使用數值分析比較了兩種競爭情況的利潤關系,如圖1 所示。

圖1 滿足率競爭與市場份額競爭的利潤比較Figure 1 Comparison of profit in fill rate competition and market share competition

在該數值實驗中,假設產品的需求在[0,10]上服從截斷的正態分布(這一假設被很多學者采用,如Chen 等[25],Chen等[26],Yang 和Zhang[27]),參數的基準取值為:截斷正態分布的均值為5,方差為1;市場中存在2 個競爭企業,且ci=1,vi=3,θi=0.2,pi=1.5。圖1 表明,在不同參數變化情況下,企業在滿足率競爭市場獲得的利潤均小于在市場份額競爭情況下獲得的利潤,其中,單位成本參數變化下,企業在兩種競爭情形下獲得的利潤很接近,但從具體的數值表現上看,企業在滿足率競爭市場獲得的利潤小于在市場份額競爭情況下獲得的利潤。這表明,滿足率競爭市場的競爭強度更大,在滿足率競爭市場中,企業需要提供更高的產品滿足率,即企業需要設置更高的庫存水平,庫存浪費的影響超過了市場份額增加的影響,從而使得企業的利潤更低。

在價格外生情況下,由于市場中的每個參與者都是價格的接受者,價格只是給定的參數,每個企業通過制定滿足率決策來使自身收益達到最大。在下一節中,本文將針對價格內生情況進行詳細分析。

3 價格內生情況

本節討論了價格內生的情況,即競爭市場中的每個企業需要為各自的產品制定滿足率決策和價格決策。本節將競爭情況分為價格滿足率同時競爭與市場份額滿足率同時競爭兩種情形,分別對競爭市場的均衡情況和企業決策進行分析。

3.1 價格滿足率同時競爭

定理4對于價格內生情況,在價格滿足率同時競爭市場的博弈中,存在唯一的納什均衡,且該納什均衡滿足以下條件:

證明:令mi=ri(vi-pi)+θilog(ri),則企業i的期望利潤函數式(4)可以轉變為:

將式(14)對ri求偏導得到:

將式(15)對mi求偏導得:

在證明均衡的唯一性前,定義如下矩陣:

由一階條件化簡可知:

又因為mi=ri(vi-pi)+θilog(ri),因此對于價格內生情況下,價格滿足率同時競爭市場存在唯一的納什均衡。

由定理4 可知,每個企業的最優滿足率只依賴于自身的參數、消費者對該企業產品缺貨現象的厭惡程度以及市場中總的潛在需求量,與其他企業的決策無關。從定理4 的證明中可得,企業i的最優滿足率決策為。若將μθilog(ri)看作企業i由缺貨帶來的利潤損失(若滿足率為1,該損失為0)以及將vi看作產品i的售價(企業i將售價設置等于產品的價值),那么實際上是把企業i看作報童模型時的最優訂貨決策所產生的滿足率。因此,每個企業的最優滿足率決策可以由解各自的報童模型得到。因為mi=ri(vi-pi)+θilog(ri)表示產品i的平均效用,所以從定理4 可得,企業可以將價格競爭等價地轉化為平均效用競爭,通過決策自身產品的平均效用來達到均衡。

在定理4 的證明中,兩變量的利潤函數可以轉化為π(x,y)=π1(y)[π2(y)+π3(x)]的形式,其中π1(y)>0,即利潤函數式(14)的形式。在這種形式下,可以先將π1(y)和π2(y)視作常數得到最優的x?。因為x?與y是獨立的,即可以將π3(x?)視作常數,在給定x?的基礎上得到最優的y?,這種方法使得聯合決策問題可以分為兩階段來分析,降低了模型求解的難度。并且,本文沒有對F(x)有除了連續可微假設之外的其他限制。在此情況下,企業不需要對參數設置更多的假設條件,因此尋找最優解的過程可能是更加穩健的。

3.2 市場份額滿足率同時競爭

在本節的討論中,類似于Li 和Huh[15],我們在價格內生條件下也考慮了市場份額滿足率同時競爭的情況,即每個企業決策自身的滿足率和市場份額。

定理5對于價格內生情況,在企業進行市場份額滿足率同時競爭的博弈中,存在唯一的納什均衡,且該納什均衡滿足以下條件:

證明:類似式(14),企業i的期望利潤函數可以寫為:

在進行市場份額滿足率同時競爭的博弈中,企業的最優滿足率決策與價格滿足率同時競爭博弈中的最優滿足率決策相同,都可以通過解報童模型得到。因此,在價格內生情形下,企業的最優滿足率決策與競爭類型無關。從而多決策競爭博弈問題可以退化為單決策競爭博弈問題,大大簡化了博弈均衡解的分析。類似定理2,定理5 也是通過證明n個一階條件具有唯一解來說明納什均衡的唯一性,該證明均衡唯一性的方法在能夠推導出函數單調性時較為常用,類似文獻有Wang[22]等。定理4 與定理5 表明,通過變量替換能夠將聯合決策問題轉化為兩階段的優化問題,不僅能夠得到競爭市場的均衡結果,也為相關復雜聯合決策問題提供了解決思路。

3.3 兩種競爭情況的比較

在價格內生情況下,兩種競爭市場的最優滿足率和價格決策的關系有如下定理。

定理6價格內生情況下,對任意的企業i,在兩種競爭情況下具有相同的最優滿足率決策,最優價格決策滿足。

而在價格滿足率同時競爭情況中,均衡解滿足條件:

同樣,由于從理論證明兩種競爭情況的利潤關系較為復雜,因此我們使用數值分析比較了價格內生條件下兩種競爭情況的利潤關系,如圖2 所示。

與第二章類似,在數值實驗中假設產品需求在[0,10]上服從截斷的正態分布,參數的基準取值為:截斷正態分布的均值為5,方差為1;市場中存在2 個競爭企業,且ci=1,vi=3,θi=0.2。圖2 表明,在不同參數變化的情況下,企業在價格滿足率同時競爭市場獲得的利潤小于在市場份額滿足率同時競爭情況下獲得的利潤。這表明,價格滿足率同時競爭市場的競爭強度更大,由于均衡情況下價格滿足率同時競爭市場導致了企業需要制定更低的價格,價格降低的影響超過了市場份額增加的影響,從而使得企業的利潤更低。

4 數值分析

為了更加具體地分析不同參數變化對均衡解和企業利潤的影響,本節對模型進行算例分析。與前述章節中的數值實驗假設一致,本節假設產品的需求在[0,10]上服從截斷的正態分布,參數的基準取值為:截斷正態分布的均值為5,方差為1;市場中存在2 個競爭企業,且ci=1,vi=3,θi=0.2,pi(價格外生情況)=1.5,則數值實驗結果如下:

(1)市場中企業數目的影響

由圖3 可知,對于價格內生情況,競爭的企業數量越多,企業的價格水平越低,獲得的利潤越少。同理,對于價格外生情況,競爭使得企業的滿足率提高,利潤降低。但是價格內生情況下企業的滿足率決策與市場中企業的數目無關,這一點從定理4 也可以說明,價格內生情況下企業的最優滿足率只與市場需求分布、消費者對缺貨厭惡程度以及企業自身的產品參數有關,與企業數量以及其他企業的決策無關。

圖3 企業數目的影響Figure 3 Impact of the number of companies

(2)消費者對缺貨厭惡程度θi的影響

由圖4 可知,對于價格內生情況,隨著消費者對缺貨厭惡程度的增加,企業產品的最優價格升高,滿足率提高,利潤降低。同理,對于價格外生情況,消費者厭惡缺貨的程度越高,企業最優滿足率越高,利潤越低。企業可以通過提高自身產品的形象使消費者能夠接受缺貨的情況,降低消費者對缺貨的厭惡程度,從而獲得更大的利潤。

圖4 消費者對缺貨厭惡程度的影響Figure 4 Impact of consumers′ aversion of stockouts

(3)單位產品成本ci的影響

由圖5 可知,對于價格內生情況,隨著單位產品成本的升高,企業最優價格上升,產品滿足率和最大利潤下降。同理對于價格外生情況,單位產品成本對產品滿足率和最大利潤也存在負向的影響。并且,從算例中可以發現,單位產品成本的變化對價格外生情況下的滿足率決策影響更大。因此,不論企業能否制定價格決策,都可以通過降低成本來獲得更大的利潤。

圖5 單位產品成本的影響Figure 5 Impact of product unit cost

(4)消費者估值vi的影響

對于價格內生情況,隨著消費者對產品估值的增加,企業最優價格、產品滿足率以及最大利潤均隨之上升。同理對于價格外生情況,消費者對產品估值的變化對產品滿足率和最大利潤存在正向影響。并且,圖6 表明,消費者對產品估值的變化對價格外生情況下企業利潤的影響較小,即當企業能夠自行制定價格決策時,企業能夠根據消費者估值的變化及時調整產品價格,從而獲得更大的利潤。

圖6 消費者估值的影響Figure 6 Impact of consumer′s valuation

5 結語

本文以缺貨為背景,將消費者對缺貨情況的反應考慮到企業的滿足率和價格決策中,利用隨機效應理論建立MNL模型,分別在價格外生與價格內生條件下分析競爭市場的均衡情況。在價格外生情況下,分別證明了滿足率競爭和市場份額競爭兩種情形下納什均衡的存在性和唯一性,并給出了確定納什均衡的充分必要條件。通過對兩種情形下納什均衡的比較分析,得到滿足率競爭情形下企業提供更高的產品滿足率,企業產品的市場份額增加,但企業獲得的利潤更低;在價格內生情況下,考慮了價格滿足率同時競爭與市場份額滿足率同時競爭兩種情形,并分別證明了每種情形下納什均衡的存在性和唯一性。通過對納什均衡的比較分析,發現兩種競爭情形下的產品滿足率相同,但在價格滿足率同時競爭情形下企業會制定更低的價格,企業產品的市場份額增加,獲得的利潤更低。最后,本文通過數值仿真討論市場中企業數目、消費者對缺貨的厭惡程度、單位產品成本、消費者對產品估值等參數的變化對企業均衡解以及企業獲得利潤的影響。

算例結果表明競爭市場中的企業數量越多,企業的最優價格越低,利潤越低,但是當企業能夠決策自身產品價格時,企業的產品滿足率決策與市場中的企業數量無關。消費者對缺貨的厭惡程度過高會導致企業的滿足率升高并且無法得到更大的利潤。在此情況下,企業可以通過提高自身產品的形象來降低消費者對缺貨的厭惡程度,從而獲得更大的收益。此外,降低單位產品成本會提高企業的滿足率和最大利潤。最后,消費者對產品的估值越高,企業滿足率越高,獲得的利潤越高。本文模型是在競爭市場的前提下進行考慮的,對于壟斷廠商,在考慮消費者對缺貨的厭惡程度這一參數的影響下,如何決策產品集,最優滿足率等是需要進一步分析的問題。