基于聯系數集對勢置信區間估計的旱災風險分析模型

周戎星，金菊良，崔 毅，周亮廣，周玉良，白 夏，張宇亮

(1.合肥工業大學土木與水利工程學院, 安徽 合肥 230009;2.合肥工業大學水資源與環境系統工程研究所, 安徽 合肥 230009)

集對分析是用于研究兩個集合間確定性與不確定性關系的系統數學理論，已在眾多領域得到廣泛應用[1-4]。聯系數集對勢的概念在聯系數的基礎上提出，用來反映聯系數同一度a、差異度b和對立度c間的差別[5]，其實質是對聯系數所表達的研究對象確定性整體發展趨勢的描述。對于三元聯系數，趙克勤[5]提出用a/c構造集對勢，但存在未考慮差異度的影響、對立度不能等于0，且當對立度趨近于0時計算結果失真等問題。為此，周家紅等[6]考慮了差異度在極端取值條件下對集對勢的影響，提出將所有差異度轉化為對立度的悲觀勢和同一度的樂觀勢；為解決對立度不能等于0的問題，李德順[7]和潘爭偉等[8-9]借助指數函數改進傳統集對勢，分別提出了廣義集對勢和集對指數勢；金菊良等[10]和Chen等[11-12]提出將差異度按差異度系數的比率取值法進行分配，分別構造了三元聯系數的減法集對勢和五元聯系數的減法集對勢，根據聯系數值確定集對勢序(集對勢之間大小關系的次序)；金菊良等[13]又借鑒萬有引力定律重新分配不確定項，提出了引力減法集對勢，并根據偏聯系數的思想，進一步構造了半偏減法集對勢[14-15]。分析發現，現有的研究在構造集對勢時，或未考慮不確定項bI(I為差異度系數)對集對勢的影響，或著力于如何合理地把差異度分配到同一度和對立度中，得到確定性的總體發展趨勢，卻忽略了聯系數能同時反映研究對象確定性和不確定性的優點。為此，本文在已有聯系數和集對勢理論研究的基礎上，提出將集對勢看作一個服從正態分布的隨機變量，根據差異度系數的變化特性和三元聯系數的集對系統結構[16]，提出該隨機變量概率分布的估計方法，進一步構建基于聯系數集對勢置信區間估計的旱災風險分析模型，并以宿州市為研究區域進行實例驗證。

1 模型構建

1.1 集對勢概率分布參數的估計

三元聯系數的一般表達形式為

u=a+bI+cJ

(1)

其中a+b+c=1a,b,c∈[0,1]I∈[-1,1]

式中J為對立度系數，一般取J=-1。為計算該聯系數對應的研究對象的相對確定狀態和發展趨勢，金菊良等[10]提出根據比率取值法把不確定項按比例分配到確定的同一項和對立項中，得到減法集對勢s1(u)：

s1(u)=a-c+ba-bc=(a-c)(1+b)

(2)

考慮減法集對勢的不確定項b2I，將s1(u)變化為

s2(u) = (a-c) (1+b) +b2I

(3)

若基于樂觀勢[6]將不確定項b2I全部分配到同一項中，即取I= 1，可得到s2(u)的最大值：

s2max(u) = (a-c) (1+b) +b2

(4)

若基于悲觀勢[6]將不確定項b2I全部分配到對立項，即取I=-1，可得到s2(u)的最小值：

s2min(u) = (a-c)(1+b) -b2

(5)

根據中心極限定理[17-18]，如果一個事物受到多種因素的影響，無論各因素本身是什么分布，它們總和結果的平均值符合正態分布。聯系數所描述研究對象的發展趨勢通常受多種因素影響，而聯系數集對勢正是描述研究對象發展趨勢的隨機變量，為此，本文將集對勢看成是一個服從正態分布的隨機變量X。若已知X的數學期望x和標準差σ，可得到該隨機變量的概率分布。根據正態分布的“3σ原則”，隨機變量X落在區間(x-3σ,x+3σ)外的概率小于0.3%，在實際問題中可視為基本不會發生，因此可以把(x-3σ,x+3σ)看作是隨機變量X實際可能的取值區間[19]。因此可得：

x-3σ= (a-c)(1+b)-b2

(6)

x+3σ=(a-c)(1+b)+b2

(7)

聯立式(6) (7)可得：

x= (a-c)(1+b)

(8)

σ=b2/3

(9)

據此，可將三元聯系數u的集對勢視作服從數學期望為(a-c)(1+b)、標準差為b2/3的正態分布的隨機變量，可通過隨機模擬估計一定置信水平下的置信區間。

1.2 旱災動態風險分析模型構建

將該方法應用于旱災風險的動態分析中，建立基于聯系數集對勢置信區間估計的旱災風險動態分析模型，建模過程主要包括以下5個步驟：

a.指標體系的建立和評價等級的劃分。根據自然災害風險系統理論，建立旱災風險系統的子系統，根據指標選取的原則，結合文獻調研、實際調研和專家意見，建立旱災風險評價的指標體系Xj(j=1, 2, …,n)和對應的等級標準，相應的樣本集記為{xij|i= 1, 2, …,m;j= 1, 2, …,n}，其中m、n分別為評價樣本數和評價指標數。

b.建立評價指標值xij和評價標準等級間的聯系數uij[20]：

uij=aij+bijI+cijJ

(10)

式中aij、bij、cij分別為聯系數uij的同一度、差異度和對立度。aij越接近1，說明該指標值xij對應的旱災風險越??；cij越接近1，說明該指標值xij對應的旱災風險越大。

c.對uij加權可得評價樣本i的聯系數ui[20]：

(11)

式中：ai、bi、ci分別為聯系數ui的同一度、差異度和對立度；wj為指標j的權重。類似的，ai越接近1，說明樣本i對應的旱災風險越??；ci越接近1，說明該樣本i對應的旱災風險越大。

d.確定指標值xij和評價樣本i聯系數集對勢的置信區間。本模型采用95%置信水平下的置信區間(以下稱95%置信區間)作為評價結果。將樣本i聯系數集對勢記為si，si～ N[(ai-ci) (1 +bi),bi4/9]，對si隨機模擬104次，得到95%置信區間，記為(s1i,s2i)。類似地，可得指標值xij聯系數集對勢的置信區間(s1ij,s2ij)。根據均分原則，可以將集對勢s劃分為5個勢級[10]：反勢s∈[-1, -0.6)，偏反勢s∈[-0.6, -0.2)，均勢s∈[-0.2,0.2]，偏同勢s∈(0.2,0.6]，同勢s∈(0.6,1]。當某指標值的集對勢處于反勢或偏反勢時，可將該指標識別為系統脆弱性指標，作為旱災風險調控的主要對象[10]。

e.計算評價樣本i的評價等級區間。根據級別特征值法[21-22]計算得到評價等級h(本文中h取值范圍為[1,3])和集對勢s的對應關系(h=1時，s=1；h=1.5時，s=0.75；h=2.5時，s= -0.75；h=3時，s=-1)，h值越大，表示旱災風險程度越高。當h∈[1,1.5]時，表示旱災風險處于微險狀態；當h∈(1.5,2.5)時，表示旱災風險處于輕險狀態；當h∈[2.5,3]時，表示旱災風險處于重險狀態。利用線性內插法，建立集對勢和評價等級的關系[22]：

(12)

根據式(12)可得樣本i評價等級的95%置信區間(h1i,h2i)，該置信區間的長度可以反映評價結果不確定性的大小，區間長度越小，不確定性越小。

2 實例驗證

宿州市位于安徽省淮北地區，受季風性氣候影響，降水在時間上分布不均，導致干旱頻發。根據對宿州市1957—2010年5個氣象站點的統計資料分析發現，宿州市短期干旱、中期干旱、秋冬連旱的概率在63.0%～81.5%之間，干旱發生頻率較高[23]。作為安徽省冬小麥的主產區，頻發的干旱災害嚴重威脅著糧食安全，有必要對宿州市的旱災風險開展研究。本文選擇宿州市作為研究區域，通過集對勢的置信區間估計方法對旱災風險進行動態評估，分析具體指標與旱災風險等級之間的聯系，進而識別旱災風險脆弱性指標，以期為區域旱災風險評估和診斷提供新的有效途徑，通過將研究結果與現有結果對比，驗證本文提出方法的合理性和有效性。

2.1 評價指標體系的確定和評價等級的劃分

根據自然災害風險系統理論，將旱災風險系統分為危險性、暴露性、災損敏感性和抗旱能力4個子系統，根據指標選取的原則，結合文獻調研、實際調研和專家意見，建立宿州市旱災風險評價的指標體系如圖1所示，并確定各指標評價等級標準[20,24]。采用基于遺傳算法的模糊層次分析法(AGA-FAHP)確定各指標權重(圖1括號中的數值)[20]。

圖1 宿州市旱災風險評價指標體系Fig.1 Drought risk evaluation index system for Suzhou City

2.2 結果與討論

利用基于聯系數集對勢置信區間估計的旱災風險分析模型計算宿州市2007—2017年每個樣本年對應的聯系數集對勢的數學期望和95%置信區間(表1)，根據式(12)計算得到宿州市2007—2017年旱災風險評價等級的95%置信區間(圖2)。

表1 宿州市2007—2017年旱災風險評估樣本聯系數集對勢數學期望及95%置信區間Table 1 Mathematical expectation and confidence interval at 95% confidence level for connection number set pair potential of drought risk assessment samples in Suzhou City from 2007 to 2017

圖2 宿州市旱災風險評價等級數學期望和95%置信區間Fig.2 Mathematical expectation and confidence interval at 95% confidence level of drought risk evaluation grade in Suzhou City

由圖2和表1可以看出，宿州市2007—2017年旱災風險評價等級值總體變化不大，在1.9～2.3之間波動，除少數年份95%置信區間的下限值小于2，其余均大于2，總體處于輕險狀態。其中，2010年宿州市旱災風險評價等級值最大，2016年風險評價等級值最??；2007—2017年，每年的置信區間長度均小于0.15，可見評價結果的精度較高。與文獻[20]的計算結果相比，一方面，文獻[20]的評價結果包含在本文得到的置信區間內，且置信區間長度較小，驗證了文獻[20]中減法集對勢、半偏減法集對勢的計算結果，說明本文的方法具有較高的可靠性；另一方面，本文得到的評價結果是一置信概率區間，相較于某一確定數值的評價結果，提供了關于評價結果可靠性方面的更多信息，可以反映受多種不確定因素綜合影響的旱災風險評價的實際情況。

為進一步分析導致宿州市旱災風險變化的原因，對宿州市旱災風險評價系統中4個子系統的評價結果和各指標聯系數集對勢的置信區間進行分析。各子系統旱災風險評價等級的數學期望和95%置信區間如圖3所示，圖中實線表示各子系統旱災風險評價等級的數學期望，相同顏色的虛線表示該子系統評價等級95%置信區間的邊界值。

圖3 各子系統旱災風險評價等級數學期望和95%置信區間Fig.3 Mathematical expectation and confidence interval at 95% confidence level of drought risk evaluation grade of each subsystem

由圖3可以看出，2007—2017年宿州市旱災風險評價的4個子系統中，評價等級值變化最大的是危險性子系統，呈現先上升后下降的變化趨勢；暴露性子系統評價等級值呈逐年下降的趨勢，從2007年的2.282～2.496下降到2017年的1.892～2.077；災損敏感性子系統和抗旱能力子系統評價等級值波動較小，相對較為平穩，其中抗旱能力子系統評價等級值基本在2.2～2.5之間波動，抗旱能力較差；災損敏感性子系統評價等級值基本處于1.6～1.7之間，評價結果穩定，其風險程度在4個子系統中最低。

對比圖2宿州市旱災風險評價等級曲線和圖3中危險性子系統旱災風險評價等級曲線發現，宿州市旱災風險評價等級的變化趨勢與危險性子系統的評價等級變化趨勢基本一致，但變化幅度較小，可以推斷危險性子系統是宿州市旱災風險波動的主要原因，其余3個子系統則一定程度上減小了宿州市旱災風險評價等級的波動幅度。例如，2010年危險性子系統的評價等級值達到峰值，而其他3個子系統的評價等級值相對上一年變化均較為平緩，可見危險性子系統的評價等級值突然增大是導致2010年宿州市旱災風險評價等級較高的主要原因；2007—2010年危險性子系統評價等級值逐年上升且變幅較大，而宿州市旱災風險評價等級值雖也逐年上升但幅度明顯較小，與此同時暴露性子系統評價等級值逐年下降，這在一定程度上減小了宿州市旱災風險評價等級的上升幅度。

要厘清各子系統的變化原因，還需進一步對各指標進行分析，進而識別旱災風險系統的脆弱性指標，提出有針對性的旱災風險管理對策。圖4中實線表示各指標聯系數集對勢的數學期望，相同顏色的虛線表示該指標聯系數集對勢95%置信區間的邊界值。從圖4(a)可以看出危險性子系統的6個指標中，除降雨負距平百分率聯系數集對勢大部分處于同勢外，其余5個指標聯系數集對勢大部分時間均處于反勢，尤其是相對濕潤度指數、土壤相對濕度和土壤類型聯系數集對勢在2007—2017年均處于反勢。分析發現，這些指標主要決定于水文氣象條件或本身的自然條件，可見，宿州市干旱災害危險性較大，且較難人為降低。

(a) 危險性子系統

(b) 暴露性子系統

(c) 災損敏感性子系統

(d) 抗旱能力子系統圖4 各指標聯系數集對勢數學期望值和95%置信區間Fig.4 Mathematical expectation and confidence interval at 95% confidence level of connection number set pair potential for each index

由圖4(b)可以看出暴露性子系統的4個指標中，宿州市人口密度聯系數集對勢在2007年處于均勢和偏反勢之間，到2017年已經完全處于偏反勢，總體呈下降趨勢；耕地率聯系數集對勢變化不大，一直處于反勢；復種指數聯系數集對勢在2007—2013年一直處于反勢，2014年突變為同勢；農業GDP占比聯系數集對勢在2007—2017年穩步上升，從介于反勢和偏反勢之間上升為同勢。由此可見，暴露性子系統旱災風險評價等級值逐年降低主要受農業GDP占比影響，而2013—2014年出現較大幅度下降則是由于復種指數的改變。

由圖4(c)可以看出災損敏感性子系統中水田面積比、萬元GDP用水量和森林覆蓋率這3個指標聯系數集對勢一直處于同勢，而農業人口比例聯系數集對勢卻一直處于反勢，因此要想進一步降低災損敏感性，就必須從減小農業人口比例著手，例如通過提高農業機械化水平，發展第二、三產業等方法來達到減小農業人口比例的目的。

由圖4(d)可以看出在抗旱能力子系統中水庫調蓄率、單位面積現狀供水能力、灌溉指數、單位面積應急澆水能力聯系數集對勢均一直處于偏反勢或反勢；節水灌溉率聯系數集對勢雖在前幾年處于偏同勢和均勢之間，但2012后也下降為反勢，這些都是宿州市抗旱能力總體表現較差的原因。監測預警能力雖自2012年起有較大改善，但在抗旱能力子系統中未能體現，分析原因可能是因為監測預警能力權重較小。相對其他幾個子系統，抗旱能力子系統的指標最易調控，因此，要降低宿州市旱災風險，最便捷的方法就是提高宿州市抗旱能力，結合宿州市抗旱能力現狀，可以采取修建水庫、增加水庫調蓄率、興建灌溉系統、發展節水灌溉、加大水利建設投入等方法來提高宿州市抗旱能力。

3 結 語

本文提出將聯系數集對勢構造為服從期望為(a-c) (1+b)、標準差為b2/3的正態分布的隨機變量，建立了基于聯系數集對勢置信區間估計的旱災風險分析模型，采用95%置信區間作為評價結果，以置信區間的長短反映評價結果不確定性大小。以宿州市為例對該模型進行驗證，模型分析結果表明，2007—2017年宿州市旱災風險評價等級值總體變化不大，在1.9～2.3之間波動，總體處于輕險狀態；4個子系統中，對宿州市旱災風險評價等級影響較大的是危險性子系統和暴露性子系統；宿州市抗旱能力較差，有必要通過采取修建水庫、增加水庫調蓄率、興建灌溉系統、發展節水灌溉、加大水利建設投入等方法來提高宿州市抗旱能力，進而降低旱災風險。該結果與已有研究結果相一致，說明基于聯系數集對勢置信區間估計的旱災風險分析模型合理有效。與已有研究相比，本文模型評價結果不再是一個數值，而是一置信概率區間，提供了關于評價結果可靠性方面的信息，能夠反映受多種不確定因素綜合影響下的旱災風險實際情況，在復雜系統動態分析評價中具有應用前景。。