非交換剩余格上的直覺模糊濾子

左衛兵，宋金繁

（華北水利水電大學數學與統計學院，河南 鄭州 450046）

為了給不確定性信息處理理論提供可靠、 合理的邏輯基礎，許多學者研究了各種非經典邏輯系統。各種邏輯代數作為非經典邏輯系統的語義系統， 也受到了廣泛關注，這些邏輯代數包括剩余格、MTL 代數、BL 代數、MV 代數和R0代數等，也包括諸如非交換剩余格、偽MTL 代數、偽BL 代數、偽MV 代數等它們的非交換推廣形式［1-5］。 在邏輯代數中，剩余格和非交換剩余格是最基本和重要的代數結構， 其他邏輯代數均是它們的特殊情況。

濾子理論在邏輯代數中起著非常重要的作用。 目前，人們已將諸如蘊涵濾子、奇異濾子、正則濾子和固執濾子等一些特殊濾子引入非交換剩余格和其他邏輯代數，并獲得了許多重要的結果［6-12］。

K. T. Atanassov［13］給出直覺模糊集以后，直覺模糊集理論得到了迅速發展。 S. Boudaoud 等［14］研究了格上的直覺模糊濾子及其等價刻畫， 給出了主直覺模糊濾子。 M. A. Kologani 等［15］給出了Hoop 代數上的直覺模糊濾子，證明了所有直覺模糊濾子能構成有界分配格。Z. A. Xue 等［16］將直覺模糊集引入BL 代數，研究了直覺模糊濾子的性質。 S. Ghorbani［17］將直覺模糊集的概念應用于剩余格，引入剩余格的直覺模糊濾子，并研究了它的一些相關性質。 H.R. Zhang 等［18］在剩余格中定義了與文獻［17］不同的直覺模糊濾子，研究了剩余格上幾種直覺模糊濾子之間的關系。

在文獻［17-18］的基礎上，我們在非交換剩余格上定義了直覺模糊濾子， 給出了它們的基本性質及幾種等價刻畫， 找到了由直覺模糊集生成直覺模糊濾子的方法， 證明了非交換剩余格上由全體直覺模糊濾子能構成有界完備分配格。

1 預備知識

定義1［4］：設(L, ∧, ∨, ? ,→,0,1)是一個2,2,0,0)-型代數， 稱L 為非交換剩余格要求L 滿足以下條件：（1）(L, ∧, ∨,0,1)是一個有界格；（2）(L, ?,1)是非交換幺半群；（3）對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,且x?y≤z,有x≤y→z?y≤。

注1：在本文中，設定L為非交換剩余格。

性質1［5］：設L是一個非交換剩余格，對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,有以下性質成立：

1.x≤y?x→y= 1?xy=1;

2.(x→y)?x≤y,x?(xy)≤y;

3.若x≤y,則有x?z≤y?z,z?x≤z?y;

4.x→y≤ (y→z)(x→z),xy≤(yz)→ (xz);

5.z→ (x∧y) = (z→x) ∧ (z→y),z(x∧y)=(zx) ∧(zy);

6.x→(y→z) = (x?y)→z,x(yz)=(y?x)z。

定義2［5］：設F是L的一個非空子集，稱F為濾子要求F滿足以下條件：

（1）若x∈L,y∈L,x≤y,且x∈F,則有y∈F;

（2）如果x∈F,y∈F,則有x?y∈F。

定理1［5］：設F是L上的非空子集，則以下結論等價：

1.F是濾子；

2. 1∈F,對于任意的x∈L,y∈L,若x,x→y∈F,則有y∈F;

3. 1∈F,對于任意的x∈L,y∈L,若x,xy∈F,則有y∈F。

定義3［11］：μ:X→[0,1]是L上的模糊集，對于任意的x∈L,y∈L,稱μ為L的模糊濾子要求μ滿足以下條件：

（1）若x≤y,則有μ(x)≤μ(y);

（2）μ(x)∧μ(y)≤μ(x?y)。

定理2［12］：若μ是L上的模糊集，則以下結論等價：

1.μ是模糊濾子；

2. 對于任意的x∈L,y∈L,有μ(x)≤μ(1),μ(x)∧μ(x→y)≤μ(y);

3. 對于任意的x∈L,y∈L,有μ(x)≤μ(1),μ(x)∧μ(xy)≤μ(y)。

定義4［11］：設X是一個非空集合，μ是非空集合X上的模糊集，對于任意的t∈[0,1]，定義μ的水平截集為(μ)t= {x∈L:μ(x) ≥t} 。

定理3［11］：L上的模糊集μ為模糊濾子的充要條件是對于任意的t∈[0,1],μ的水平截集(μ)t={x∈L:μ(x) ≥t}是L的濾子。

2 非交換剩余格上的直覺模糊濾子

定義5［13］：設X是非空集合，對于任意的x∈X,若映射A=(μA,νA):X→[0,1] ×[0,1]滿足0≤μ(x)+ν(x) ≤1,則稱映射A=(μ A,νA)是X上的一個直覺模糊集，其中映射μA:X→[0,1]和νA:X→[0,1]分別為x屬于A的隸屬度(μA(x))與非隸屬度(νA(x))。直覺模糊空集記為0～=(0x,1x),直覺模糊全集記為1～=(1x, 0x)，其中 0x和 1x分別表示常值為0 和1 的模糊子集。

定義6［13］：設X是非空集合，A=(μA,νA)和B=(μ B,νB)是L上的直覺模糊集。 對于任意的x∈X,y∈X,定義如下運算：

（1）A?B?μA(x)≤μB(x),νA(x)≥νB(x);

（2）A∩B=(μA∩B(x),νA∩B(x)) =(μA(x)∧μB(x),νA(x)∨νB(x));

（3）A∪B=(μA∪B(x),νA∪B(x)) =(μA(x)∨μB(x),νA(x)∧νB(x));

定義7：設A=(μ A,νA)是L上的直覺模糊集，若對于任意的t1∈[0,1],t2∈[0,1],且t1+t2≤1,(μA)t1和要么為空集，要么為L的濾子，則稱A是直覺模糊濾子，其中= 1?νA。

定義8： 設A=(μA,νA)是非交換剩余格L上的直覺模糊集，若A對于任意的x∈L,y∈L,有（1）μA(x)≤μA(1),νA(x)≥νA(1),（2）μA(y)≥μA(x)∧μA(x→y),νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y),（3）μA(y)≥μA(x)∧μA(xy),νA(y)≤νA(x)∨νA(xy),則稱A=(μA,νA)是L上的直覺模糊濾子。

定理4：定義7 與定義8 是等價的。

證明：證明由定義8 推出定義7。假設A是直覺模糊濾子，對于任意t1∈[0,1],t2∈[0,1],且t1+t2≤1,(μA)t1和要么為空集， 要么為L的濾子，則對于任意的x∈L,有x∈μAμ(x)和x∈,即μAμ(x)和是L的濾子。 由于1( )(),則有μA(x)≤μA(1),≤(1),即νA(x)≥νA(1)。

對于任意的x∈L,y∈L,設η=μA(x)∧μA(x→y),則有x,x→y∈(μA)η，故有y∈(μA)η,即μA(y)≥η=μA(x)∧μA(x→y)。同理可得μA(y)≥μA(x)∧μA(xy)。

設γ=(x)∧(xy),則有x,xy∈()γ,故有y∈,因而(y)≥γ=(x)∧(xy),即νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)。同理可得νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y)。

證明由定義7 推出定義8。 假設對于任意t1∈[0,1],t2∈[0,1],t1+t2≤1,(μA)t1和不是空集，則存在x∈L,使得x∈(μA)t1和x∈。由t1≤μA(x)≤μA(1)和1?t2≤(x)≤(1)可得，1∈和1∈。假設x,x→y∈(μA)t1和x,x→y∈,則有μA(x)≥t1,μA(x→y)≥t1,和(x)≥ 1?t2,(x→y)≥ 1?t2。因此有μA(y)≥μA(x)∧μA(x→y)≥t1,νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y)≤t2,即(y)≥(x)∧(x→y) ≥ 1?t2。設x,xy∈(μA)t1和x,xy∈,則有μA(y)≥μA(x)∧μA(xy)≥t1,(y)≥(x)∧(xy) ≥ 1?t2。因此，有y∈(μA)t1和y∈,故(μA)t1和是L 的濾子。

例1：設L1={0,a,b,c,1}是一個格，其中0≤a≤b≤c≤1。分別定義二元算子?、→和如下：

由文獻［10］可知L1是一個非交換剩余格。設A=(μA,νA)是L 上的直覺模糊集，其中μA(0) =0.1,μA(a)=μA(b) =0.2,μA(c) =0.4,μA(1) =0.85,νA(0)=0.8,νA(a)=νA(b) =0.7,νA(c) =0.45,νA(1) =0.1,可以驗證，A 是L1上的直覺模糊濾子。

定理5：若直覺模糊集A=(μA,νA)是L 上的直覺模糊濾子，則對于任意的x∈L,y∈L,有以下結論成立：

1.若x≤y,則有μA(x)≤μA(y),νA(x)≥νA(y)。

2.μA(x∧y)=μA(x)∧μA(y),νA(x∧y)=νA(x)∨νA(y)。

證明：證明第一個結論。 因為x≤y,所以有xy=1。由定義8 可得μA(y)≥μA(x)∧μA(xy)=μA(x)∧μA(1)=μA(x),νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)=νA(x)∨νA(1)=νA(x)。類似地，由x→y=1可推得μA(x)≤μA(y),νA(x)≥νA(y)。

證明第二個結論。 一方面，由x∧y≤x,x∧y≤y及第一個結論可得μA(x∧y)≤μA(x)∧μA(y),νA(x∧y)≥νA(x)∨νA(y)。另一方面，有μA(x∧y)≥μA(x→ (x∧y))∧μA(x)=μA((x→x)∧ (x→y))∧μA(x)=μA(x→y)∧μA(x)≥(μA(y(x→y))∧μA(y))∧μA(x)=μA(x)∧μA(y),又有νA(x∧y)≤νA(x→(x∧y))∨νA(x)=νA(x→y)∨νA(x)≤(νA(y(x→y))∨νA(y))∨νA(x)=νA(x)∨νA(y)。

綜合上述，有μA(x∧y)=μA(x)∧μA(y),νA(x∧y)=νA(x)∨νA(y)。

定理6： 直覺模糊集A=(μA,νA)為L 上直覺模糊濾子的充要條件是模糊集μA和為L 上的模糊濾子，其中= 1?νA。

證明：證明必要性。 因為A 是直覺模糊濾子，所以有μA(x)≤μA(1),μA(y)≥μA(x)∧μA(x→y),?(y)≥μA(x)∧μA(xy)。由定理2可知，模糊集是模糊濾子。對于任意的x∈L,y∈L,有(1)=1?νA(1) ≥ 1?νA(x)=(x),即(1)≥(x)。由于(y) = 1?νA(y) ≥ 1 ?(νA(x)∨νA(x→y)) = (1?νA(x))∧ (1?νA(x→y))=(x)∧(x→y),則有(y)≥(x)∧(x→y)。同理可得(y)≥(x)∧(xy)。由以上證明過程可知，模糊集是模糊濾子。

證明充分性。 設μA和是L 上的模糊濾子，則對于任意的x∈L,有μA(x)≤μA(1)。由(x)≤(1)可得1?νA(x) ≤ 1?νA(1),即νA(x)≥νA(1)。

因為對于任意的x∈L,y∈L,有μA(y)≥μA(x)∧μA(x→y),μA(y)≥μA(x)∧μA(xy),(y)≥(x)∧(x→y),所以有1?νA(y) ≥ (1?νA(x))∧(1?νA(x→y)) = 1?(νA(x)∨νA(x→y)),即νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y)。用類似的方法，由(y)≥(x)∧(xy)可推出νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)。因此由定義8 可知A 是L 上的直覺模糊濾子。

定理7：設A=(μA,νA)是L 上的直覺模糊集，A 為直覺模糊濾子的充分必要條件是A1=(μ A,)和為直覺模糊濾子，其中= 1?νA。

證明：證明必要性。 設A 是直覺模糊濾子，對于任意的x∈X,有0≤μA(x)+νA(x) ≤1。因為μ A+=1,+νA=1,所以A1和A2是直覺模糊集。 由于μA(x)≤μA(1),故有即

由于對于任意的x∈L,y∈L,有μA(y)≥μA(x)∧μA(x→y),故有(y) ≤ 1 ?(μA(x)∧μA(x→y))=(1?μA(x)) ∨ (1?μA(x→y))=(x)∨(x→y)。同理，由μA(y)≥μA(x)∧μA(xy)可以推出(y)≤因此由定義8 可知是L上的直覺模糊濾子。 用同樣的方法可以證明A2=是L上的直覺模糊濾子。

證明充分性。 設A1和A2是L上的直覺模糊濾子，則由A1可知，對于任意的x∈L,y∈L,有(1)≥μxμy≥μx∧μx→yμy≥μ(x)∧μA(xy)。由A2可知，對于任意的x∈L,y∈L,有νA(1)≤νA(x),νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y),νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)。因此，由定義8 可知直覺模糊集A=(μA,νA)是L上的直覺模糊濾子。

定理8：設F是L的非空子集，A=(μ A,νA)是L上的直覺模糊集，μA(x)和νA(x)分別為

其中，mi∈[0,1],ni∈[0,1],m0>m1,n1>n0,且有mi+ni≤ 1(i=0,1),則A為直覺模糊濾子的充分必要條件是F為濾子。

證明：因為A=(μA,νA)是直覺模糊集，所以有

其中：t1∈[0,1],t2∈[0,1],t1+t2≤1;mi∈[0,1],ni∈[0,1],且有m0>m1,n0

推論1： 設F是L的非空子集， 則F為濾子的充分條件是(χ χc)為L上的直覺模糊濾子。特別地，(χ{1},1?χ{1})是L上的直覺模糊濾子。

定理9： 設A=(μA,νA)是L上的一個直覺模糊集，則A為一個直覺模糊濾子的充分必要條件是對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,且當x≤y→z或x≤yz時，有μA(z)≥μA(x)∧μA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。

證明：證明必要性。 設A是直覺模糊濾子，由定義8 可得μA(y→z)≥μA(x)∧μA(x(y→z)) ,νA(y→z)≤νA(x)∨νA(x(y→z))。對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,x≤y→z,有x(y→z) =1,則有μA(y→z)≥μA(x)∧μA(1)=μA(x),νA(y→z)≤νA(x)∨νA(1)=νA(x),則μA(z)≥μA(y)∧μA(y→z)≥μA(y)∧μA(x),νA(z)≤νA(y)∨νA(yz)≤νA(y)∨νA(x),即μA(z)≥μA(x)∧μA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。同理，由x≤yz可得μA(z)≥μA(x)∧μA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。

證明充分性。 由于對于任意的x∈L，有x≤x→1和x≤x1,因而有μA(1)≥μA(x)∧μA(x)=μA(x),νA(1)≤νA(x)∨νA(x)=νA(x)。又由于對于任意的x∈L,y∈L,有x→y≤x→y,xy≤xy,因而有μA(y)≥μA(x→y)∧μA(x),νA(y)≤νA(x→y)∨νA(x)和μA(y)≥μA(xy)∧μA(x),νA(y)≤νA(xy)∨νA(x)成立。 綜合以上證明過程，由定義8 可知A為L上的直覺模糊濾子。

推論2： 設A=(μA,νA)是L上的一個直覺模糊集，則A為直覺模糊濾子的充分必要條件是對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,若x?y≤z或y?x≤z,則有μA(z)≥μA(x)∧μA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。

證明：對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,若x?y≤z或y?x≤z，則由性質1 和定理9 即可得結論。

定理10：若A=(μA,νA)是L上的直覺模糊濾子，則有以下結論：

證明：由x→y≤ (y→z)(x→z),xy≤(yz) →(xz)可得(x→y)((y→z)(x→z))=1和(xy)→((yz) →(xz)) =1,再由定理9 即可得結論。

定理11： 設A=(μ A,νA)是L上的直覺模糊集，A為直覺模糊濾子的充分必要條件是對于任意的x∈L,y∈L,有以下條件成立:（1）若x≤y,則有μA(x)≤μA(y),νA(x)≥νA(y);（2）μA(x?y)≥μA(x)∧μA(y);（3）νA(x?y)≤νA(x)∨νA(y)。

證明：證明必要性。 假設A是直覺模糊濾子，則由定義8 可知，對于任意的x∈L,y∈L,當x≤y時，有μA(x)≤μA(y),νA(x)≥νA(y)。由于x?y≤x?y,故由推論2 可得μA(x?y)≥μA(x)∧μA(y),νA(x?y)≤νA(x)∨νA(y)。

證明充分性。 由x≤1可得μA(x)≤μA(1),νA(x)≥νA(1)。由 (x→y)?x≤y和x?(xy)≤y可得μA(y)≥μA((x→y)?x)≥μA(x)∧μA(x→y),μA(y)≥μA(x?(xy))≥μA(x)∧μA(xy)與νA(y)≤νA((x→y)?x)≤νA(x)∨νA(x→y),νA(y)≤νA(x?(xy))≤νA(x)∨νA(xy)成立。 由定義8可知，A是L上的直覺模糊濾子。

推論3：設A=(μA,νA)是L上的直覺模糊集，若A是直覺模糊濾子，則有μA(x?y)=μA(x)∧μA(y),νA(x?y)=νA(x)∨νA(y)。

證明：由定理11 與由定理5 即可得結論。

定理12： 若A=(μA,νA)和B=(μB,νB)是L上的直覺模糊濾子，A∩B也是L上的直覺模糊濾子。

證明：由于A和B都是直覺模糊濾子，若對于任意的x∈L,y∈L,z∈L,有x≤yz或x≤y→z,因而有μA(z)≥μA(x)∧μA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)和μB(z)≥μB(x)∧μB(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。因此，有μA∩B(z)=μA(z)∧μB(z)≥μA(x)∧μA(y)∧μB(x)∧μB(y) =(μA(x)∧μB(x)) ∧(μA(y)∧μB(y))=μA∩B(x)∧μA∩B(y),νA∩B(z)=νA(z)∨νB(z) ≤(νA(x)∨νB(x))∨(νA(y)∨νB(y))=νA∩B(x)∨νA∩B(y)。由定理9 可知，A∩B是直覺模糊濾子。

推論4：若Ai(i∈I)是L上的直覺模糊濾子，那么也是L上的直覺模糊濾子。

3 非交換剩余格上直覺模糊濾子的結構

定義9：設A=(μA,νA)是L上的直覺模糊集，B=(μB,νB)是L上的直覺模糊濾子，A?B對,于L上的直覺模糊濾子C，如果由A?C可以推出B?C， 則稱B是由A生成的直覺模糊濾子，記作。

定理13：設A=(μA,νA)是L上的直覺模糊集，對于任意的x∈L，令

證明：假設B=(μB,νB),其中

下面證明B是L上的直覺模糊濾子。 由B的定義可知，對于任意的x∈L,顯然有μB(1)=μA(1)≥μB(1),νB(1)=νA(1)≤νB(x)。設x∈L,y∈L,任取c1∈L,c2∈L,…,cn∈L,d1∈L,d2∈L,…,d m∈L,其中n∈N*,m∈N*,使得x≥c1?c2? …?cn,x→y≥d1?d2? …?dm,于是，有y≥ (x→y)?x≥c1?c2? …?cn?d1?d2?… ?dm,因而有由于μB(x)∧μB(x→y)d1?d2? …?dm},故由μB(y)的定義可知μB(y)≥μB(x)∧μB(x→y)。同理可證νB(y)≤νB(x)∨νB(x→y)。用類似的方法，也可以證明μB(y)≥μB(x)∧μB(xy),νB(y)≤νB(x)∧νB(xy)。因此， 由定義8 可知B是L上的直覺模糊濾子。 由B的定義可知，A?B顯然成立。 假設C是L上的直覺模糊濾子，且A?C,則對于任意的x∈L,有x≥a1?…?an}=νC(x),因此，有B?C,則B是由A生成的直覺模糊濾子。

定理14：若A=(μA,νA)和B=(μB,νB)是L上的直覺模糊濾子， 則?A∪B?也是L上的直覺模糊濾子。

證明：因為A和B都是L上的直覺模糊濾子， 所以對于任意的x∈L,有μA(x) ≤ 1?νA(x),μB(x)≤ 1?νB(x)。因此，有μA∪B(x)+νA∪B(x) =(μA(x)∨μB(x)) +(νA(x)∧νB(x)) ≤ ((1?νA(x)) ∨ (1?νB(x)))+(νA(x)∧νB(x)) = (1 ?(νA(x)∧νB(x))) +(νA(x)∧νB(x))=1,即μA∪B(x)+νA∪B(x)≤1,故A∪B是L上的直覺模糊集。由定義9 可知?A∪B?是直覺模糊濾子。

推論5： 若Ai(i∈I)是L上的直覺模糊濾子，則也是L上的直覺模糊濾子。

注2：記L上的全體直覺模糊濾子為IFF[L]。

在IFF[L]上定義運算由“? ”、“”和“”的定義可知是一個格。

證明：對于任意的Ai∈IFF[L],由于和都是直覺模糊濾子,因此容易證明是一個完備格，其最大元為1～,最小元為0～。

4 結束語

在本文中， 我們在非交換剩余格中引入了直覺模糊濾子的概念， 給出了直覺模糊濾子一些基本性質和等價刻畫， 給出了直覺模糊濾子與模糊濾子之間的關系，給出了由直覺模糊集生成直覺模糊濾子的方法，證明了非交換剩余格上的全體直覺模糊濾子的集合能構成有界完備的分配格。