李春燕,姚長征
(新鄉學院數學與統計學院,河南 新鄉 453003)
20 世紀70 年代,人們開始研究非交換鞅。 其中,第一個非交換鞅不等式是由I. Cuculescu[1]得到的非交換鞅的弱(1,1)型不等式。 在以后的20 多年里,非交換鞅的研究一直停滯不前, 這是因為在經典的鞅空間理論研究過程中,一些常用的方法(如停時和極大函數方法)在非交換的情形下是不能直接應用的,這使得經典的鞅結果在向非交換情形拓展時變得舉步維艱。因此,人們需要引進新的工具和方法。 1997 年,G. Pisier 等[2]得了重大突破, 證明了非交換鞅的Burkholder-Gundy不等式和Fefferman 對偶定理等非交換結果。 以后,非交換鞅的研究進入快速發展階段,研究成果不斷涌現。
原子分解是研究經典鞅論和調和分析的重要工具。 T. N. Bekjan 等[3]對非交換鞅Hardy 空間H1和h1進行了原子分解。 Z. Q. Chen[4]得到了非交換小指標鞅空間上的原子分解。 這些成果對非交換鞅的發展起到了至關重要的作用, 為人們研究非交換擬鞅空間的原子分解提供了思路和方法。在本文中,我們定義了非交換擬鞅的條件Hardy 空間,證明了當0
設(Mn)n≥1是von Neumann 代數M中的一列遞增的子σ代數流,且滿足Mn的并在M中是弱*-稠密的,ε nε(0=0)是關于Mn的條件期望。
定義1:若對任意的n≥1,xn∈L1(Mn),則稱序列x=(xn)n≥1是適應的。 若x n∈L1(Mn?1),則稱序列x=(xn)n≥1是可料的。 若εn(xn+1)=xn(n≥1),稱L1(M)中的序列x=(xn)n≥1為關于(Mn)n≥1的鞅。
此外,設0
若||x||p<∞,則稱x是L p(M)有界的鞅。
定義2: 設0
定義3: 設0
定義4:設0
定義5:設0
引理1:設0
由文獻[5]可知,對于任意的j≥1,存在等距的右Mj-模映射對于任意的y∈L2(M),z∈L2(M),有u j(y)?u j(z)=εj(y?z)?e1,1。因此,有
其中bn,i=un?1(d n(ai))。
引理2[2]:設0
定理1:設0
證明:假設x=(xn)n≥1是M中的有界擬鞅,s c,n(x)是可逆的,否則可構造一列逼近s c,n(x)的可逆算子。
在以下證明過程中,把sc,n(x)簡記為s n(x)。 設m≥2,令
注意到
由引理2 可知
利用擬鞅定義和式(1)可得
又注意到
則由式(2)和式(3)可得