邏輯方陣構建體系的三大轉變

李賢軍，鄧子燕

（貴州民族大學文學院，貴州 貴陽 550025）

邏輯方陣(logical square)最早是由古希臘哲學家亞里士多德(Aristoteles)奠定思想基礎,并“為邏輯方陣的構成作了材料上的整理或準備[1]”。古羅馬時期的阿普里烏斯(Apuleius)構建了邏輯方陣的雛形，古羅馬晚期哲學家波伊提烏（Anicius Manlius Severinus Boethius）在此基礎上構建了完整的邏輯方陣，至今已達1500多年。經前賢的不斷探究，特別是近30多年來邏輯方陣研究成果豐碩，初步完成邏輯方陣的體系構建。歸納起來，這個體系構建呈現三大轉變：表記對象上由單一化向復合化轉變、構建圖式上由平面型向立體型轉變、從生成方式上由邏輯形式的有限組合向無限再生轉變。

一、單一化向復合化轉變

波伊提烏最早構建的邏輯方陣表記對象具有明顯的單一性。即表記對象只限于全稱肯定命題（A）、全稱否定命題（E）、特稱肯定命題（I）和特稱否定命題（O）兩兩之間的真假制約關系。之后首先開啟了邏輯方陣表記對象的復合化研究。就簡單命題領域，現已擴展到具有同素材的全稱肯定區別命題（Aa）、全稱否定區別命題（Ee）、特稱肯定區別面積（Ia）和特稱否定區別命題（Oa）四個區別命題（discriminate proposition）之間；必須P（Op）、必須非P（O┓p）、允許P（Pp）、允許非P（P┓p）四個直言規范命題（deontic proposition）之間；過去時段P（Ap）、過去時段非P（A┐p）、過去時點P（Hp）、過去時點非P（H┐p），將來時段P（Gp）、將來時段非P（G┐p）、將來時點P（Fp）、將來時點非P（F┐p）時態命題（chronological proposition）之間；必然肯定命題（apodeictic affirmation proposition）LP、必然否定命題（apodeictic negation proposition）L┓P、可能肯定命題（problematic affirmation proposition）MP、可能否定命題（problematic negation proposition）M┓P四個模態命題（modal proposition）之間。以上表記對象只有一個變元，構建的邏輯方陣稱為簡單型邏輯方陣。

邏輯方陣表記對象的復合化研究并未就此止步，先后經周鉞（1984）[2]，許存信（1987）[3]，汪志愷（1988）[4]，翟東林，孫啟明（1993）[5]，胡滿場（1997）[6]等不斷探索，將邏輯方陣表記對象擴展到復合命題領域。筆者“通過對簡單命題p q、到簡單復合命題再到簡單復合命題推理這縱向層面的全面推演，歸納出三十九個邏輯方陣，初步完成了邏輯方陣的構建體系”[7]。將邏輯方陣表記對象擴展到復合推理領域和復合命題與復合推理交叉領域，即表記對象包含兩個以上命題變元的復雜型邏輯方陣。邏輯方陣表記對象完成從單一化向復合化轉變。

二、平面型向立體型轉變

表記對象的數量為4個邏輯形式的邏輯方陣稱為平面型邏輯方陣，構圖為正方形，歷史上還有“邏輯正方形”、“對當方陣”、“邏輯矩陣”、“邏輯魔方”[8]等不同名稱。以上論述的表記對象上由單一化向復合化轉變的全部邏輯方陣均為平面型邏輯方陣。

平面型邏輯方陣均可通過“平行移行”規則構建。[9]不管由多少命題變元構成的邏輯形式，只要其邏輯關系屬于上反對關系、下反對關系或差等關系（不能是矛盾關系）中的一種關系，都可以通過“平行移行”規則構建完整的平面型邏輯方陣。原線段所屬邏輯關系不同平移方向也不同，如原線段屬差等關系則向左或右移動、如原線段屬上反關系對則向下移動、如原線段屬下反對關系則向上移動；如p∧q和┐p→┐q兩邏輯形式為差等關系，兩邏輯形式的矛盾關系分別為┐p∨┐q、┐p∧q。根據“平行移行”規則，將差等關系的p∧q和┐p→┐q形成的縱線段為起點，向右平行移動至┐p∧q、┐p∨┐q等距離位置，再將四個定點的另外五條線段連接起來，即構建圖1平面型邏輯方陣。自然，p∧q和┐p∧q為上反對關系，┐p→┐q和┐p∨┐q為下反對關系，┐p∧q和┐p∨┐q必為差等關系。

筆者在2007年最早提出建立立體邏輯方陣的構想，認為“包含兩個自變元的聯言命題與相容選言命題、充分條件假言命題、必要條件假言命題，通過前肢互否、后肢互否、雙肢互否和非雙肢互否等方式形成的各個命題之間，仍具有真假制約關系，在此基礎上提出建立立體邏輯方陣的構想?！盵10]與平面邏輯方陣相比較，立體邏輯方陣表記對象增加至八個。如相容選言命題p∨q與其前肢互否命題┐p∨q、后肢互否命題p∨┐q、雙肢互否命題┐p∨┐q（分別用A、B、C、D表示）與對應的否定命題┐（p∨┐q）、┐（┐p∨┐q）、┐（p∨q）、┐（┐p∨q）(分別用┐A、┐B、┐C、┐D表示)之間的真假制約關系（省略真值判斷環節）可用圖2立體邏輯方陣表示。圖2中構成平面┐A┐B┐C┐D的線段┐A┐B、┐B┐C、┐C┐D、┐D┐A、┐A┐C、┐B┐D全為上反對關系，平面ABCD 的線段AB、BC、CD、DA、AC、BD 全為下反對關系，立體邏輯方陣的側面線段┐AC、┐AD、┐BC、┐BD、┐BA、┐CD、┐CA、┐CB、┐DA、┐DB、┐DC、┐AB全為差等關系，立體邏輯方陣的對角線┐AA、┐BB、┐CC、┐DD全為矛盾關系?？梢?，立體型邏輯方陣和平面型邏輯方陣極為相似，便于識記。

圖2 立體型邏輯方陣

從表記對象看，立體型邏輯方陣和平面型邏輯方陣一樣，具有復合化特征。截至目前，立體型邏輯方陣的表記對象也擴展至以下領域：第一，聯言命題與相容選言命題及其異變形式（前肢互否、后肢互否、雙肢互否）之間、聯言命題與充分條件命題及其異變形式之間和聯言命題與必要條件命題及其異變形式之間的真假制約關系；第二，復合命題（聯言命題、相容選言命題、充分條件假言命題、必要條件假言命題）的異變形式及其負命題之間的真假制約關系；第三，復合推理（相容選言推理、充分條件假言推理、必要條件假言推理、二難推理）無效式的異變形式及其否定形式之間的真假制約關系，不相容選言推理和充要條件假言推理無效式及其否定形式之間的真假制約關系。這些真假制約關系均可用立體邏輯方陣表示，這都為立體邏輯方陣的建立找到了實際依據，標志邏輯方陣由平面型向立體型轉變。

三、邏輯形式的有限組合向無限再生轉變

就目前的研究看，邏輯方陣不管是簡單型還是復雜型，不管是基本類型還是派生型，均由有限的邏輯形式組合而形成。這些邏輯形式涉及簡單命題、復合命題、復合推理等有限組合，這里不贅述。

邏輯方陣絕不限于具有真假制約關系的有限的邏輯形式的組合，還是一個可無限再生的系統。

筆者在拙文《永真公式形成系統初探》[11]中根據四個命題形式之間的永真關系構建一個永真公式系統。按此系統，一個方陣本來可有八個永真公式，這些永真公式可直接等值轉換的以一個計，這樣一個方陣可推演出三個永真公式，14個基本類型的復合命題邏輯方陣可推演出如下四十二個永真公式：

（1）（p∧q）→（p∨q） （2）（p∨q）∨（┐p∨┐q）

（3）（┐p∨┐q）←（┐p∧┐q） （4）（p∧q）→（（p∧q）∨（┐p∧┐q））

（5）（（p∧q）∨（┐p∧┐q））∨（┐p∨┐q） （6）（┐p∨┐q）←（pq）

（7）（p∧q）→（p→q） （8）（p→q）∨（┐p∨┐q）

（9）（┐p∨┐q）←（p∧┐q） （10）（p∧q）→（p←q）

（11）（p←q）∨（┐p∨┐q） （12）（┐p∨┐q）←（┐p∧q）

（15）（┐p∨┐q）←（（p∧┐q）∨（┐p∧q） （16）（pq）→（p∨q）

（17）（p∨q）∨（（p∧q）∨（┐p∧┐q））

（18）（（p∧q）∨（┐p∧┐q））←（┐p∧┐q）

（19）（p∧┐q）→（p∨q） （20）（p∨q）∨（p→q）

（21）（p→q）←（┐p∧┐q）(22） （┐p∧q）→（p∨q）

（23）（p∨q）∨（p←q） （24）（p←q）←（┐p∧┐q）

（25）（（p∧┐q）∨（┐p∧q））→（p∨q） （26）（p∨q）∨（pq）

（31）（┐p∧q）→（pq） （32）（pq）∨（p←q）

（33）（p←q）←（（p∧q）∨（┐p∧┐q）） （34）（┐p∧q）→（p→q）

（35）（p→q）∨（p←q） （36）（p←q）←（p∧┐q）

（39）（（p∧┐q）∨（┐p∧q））←（p∧┐q） （40）（pq）→（p←q）

（41）（p←q）∨（（p∧┐q）∨（┐p∧q）） （42）（（p∧┐q）∨（┐p∧q））←（┐p∧q）

（一）邏輯方陣一次再生系統

如以（p∧q）+（┐p∧┐q）+（p∨q）+（┐p∨┐q）對應的邏輯方陣推演出的（1）（2）（3）三個永真公式為構建依據，可推演出9個邏輯方陣。

1.（p∧q）→（p∨q）

前肢互否：（┐p∨┐q）→（p∨q）

后肢互否：（p∧q）→（┐p∧┐q）

雙肢互否：（┐p∨┐q）→（┐p∧┐q）

三個蘊涵式兩兩間均為下反對關系。與此三個蘊涵式相矛盾的合取式分別為：（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q）、（p∧q）∧（p∨q）、（┐p∨┐q）∧（p∨q）。根據“平行移行”規則推演出真假制約關系，構建如下邏輯方陣:

（Ⅰ）（p∧q）∧（p∨q） （┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q）

（┐p∨┐q）→（p∨q） （p∧q）→（┐p∧┐q）

（Ⅱ）（┐p∨┐q）∧（p∨q） （┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q）

（┐p∨┐q）→（p∨q） （┐p∨┐q）→（┐p∧┐q）

（Ⅲ）（┐p∨┐q）∧（p∨q） （p∧q）∧（p∨q）

（p∧q）→（┐p∧┐q） （┐p∨┐q）→（┐p∧┐q）

2.（p∨q）∨（┐p∨┐q）

前肢互否：（┐p∧┐q）∨（┐p∨┐q）

后肢互否：（p∨q）∨（p∧q）

雙肢互否：（┐p∧┐q）∨（p∧q）

三個蘊涵式兩兩間均為下反對關系。與此三個蘊涵式相矛盾的合取式分別為：（p∨q）∧（p∧q）、（┐p∧┐q）∧（┐p∨┐q）、（p∨q）∧（┐p∨┐q）。根據“平行移行”規則推演出真假制約關系，構建如下邏輯方陣:

（Ⅳ）（┐p∧┐q）∧（┐p∨┐q） （p∨q）∧（p∧q）

（┐p∧┐q）∨（┐p∨┐q） （p∨q）∨（p∧q）

（Ⅴ）（p∨q）∧（┐p∨┐q） （p∨q）∧（p∧q）

（┐p∧┐q）∨（┐p∨┐q） （┐p∧┐q）∨（p∧q）

（Ⅵ）（p∨q）∧（┐p∨┐q） （┐p∧┐q）∧（┐p∨┐q）

（p∨q）∨（p∧q） （┐p∧┐q）∨（p∧q）

3.（┐p∨┐q）←（┐p∧┐q）

前肢互否：（p∧q）←（┐p∧┐q）

后肢互否：（┐p∨┐q）←（p∨q）

雙肢互否：（p∧q）←（p∨q）

三個蘊涵式兩兩間均為下反對關系。與此三個蘊涵式相矛盾的合取式分別為：（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q）、（p∧q）∧（p∨q）、（┐p∨┐q）∧（p∨q）。根據“平行移行”規則推演出真假制約關系，構建如下邏輯方陣:

（Ⅶ）.（p∧q）∧（p∨q） （┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q）

（p∧q）←（┐p∧┐q） （┐p∨┐q）←（p∨q）

（Ⅷ）.（┐p∨┐q）∧（p∨q） （┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q）

（p∧q）←（┐p∧┐q） （p∧q）←（p∨q）

（Ⅸ）.（┐p∨┐q）∧（p∨q） （p∧q）∧（p∨q）

（┐p∨┐q）←（p∨q） （p∧q）←（p∨q）

按照這種構建方式，以上42個永真公式又可再生出126個邏輯方陣。

類似地，以析取律p→（p∨q）推演出的邏輯方陣表記的p∧（p∨q）、p∧（┓p∧┓q）、┓p→（p∨q）、p→（┓p∧┓q）命題形式為例，又可派生出三個永真公式：

（p∧（p∨q））→（p∧（┓p∧┓q）） （p∧（┓p∧┓q））∨（┓p→（p∨q））

（┓p→（p∨q））←（p→（┓p∧┓q））

仍按以上的推演順序，先將每個永真公式分別按前肢互否、后肢互否、雙肢互否均派生出三個協調式。三個協調式均為下反對關系，與其矛盾式相對應，根據“平行移行”規則構建三個邏輯方陣。以上三個永真公式即能構建九個邏輯方陣：

（1）（p∧（p∨q））∧（（p∧（┓p∧┓q）） （┓p∨（┓p∧┓q））∧（┓p∨（p∨q））

（┓p∨（┓p∧┓q））→（p∧（┓p∧┓q）） （p∧（p∨q））→（（┓p∨（p∨q））

（2）（┓p∨（┓p∧┓q））∧（（p∧（┓p∧┓q）） （┓p∨（┓p∧┓q））∧（┓p∨（p∨q））

（┓p∨（┓p∧┓q））→（p∧（┓p∧┓q）） （┓p∨（┓p∧┓q））→（（┓p∨（p∨q））

（3）（┓p∨（┓p∧┓q））∧（（p∧（┓p∧┓q）） （p∧（p∨q））∧（（p∧（┓p∧┓q））

（p∧（p∨q））→（（┓p∨（p∨q）） （┓p∨（┓p∧┓q））→（（┓p∨（p∨q））

（4）（┓p∨（p∨q））∧（p∨（p∨q）） （p∧（┓p∧┓q））∧（┓p∧（┓p∧┓q））

（┓p∨（p∨q））∨（┓p→（p∨q）） （p∧（┓p∧┓q））∨（┓p∧（┓p∧┓q））

（5）（p∧（┓p∧┓q））∧（p∨（p∨q）） （p∧（┓p∧┓q））∧（┓p∧（┓p∧┓q））

（┓p∨（p∨q））∨（┓p→（p∨q）） （┓p∨（p∨q））∨（┓p∧（┓p∧┓q））

（6）（p∧（┓p∧┓q））∧（p∨（p∨q）） （┓p∨（p∨q））∧（p∨（p∨q））

（p∧（┓p∧┓q））∨（┓p∧（┓p∧┓q））（┓p∨（p∨q））∨（┓p∧（┓p∧┓q））

（7）（┓p∧（┓p∧┓q））∧（p∧（p∨q）） （p∨（p∨q））∧（p→（┓p∧┓q））

（┓p∧（┓p∧┓q））←（p→（┓p∧┓q））（┓p→（p∨q））←（p∧（p∨q））

（8）（p∨（p∨q））∧（p∧（p∨q）） （p∨（p∨q））∧（p→（┓p∧┓q））

（┓p∧（┓p∧┓q））←（p→（┓p∧┓q））（┓p∧（┓p∧┓q））←（p∧（p∨q））

（9）（p∨（p∨q））∧（p∧（p∨q）） （┓p∧（┓p∧┓q））∧（p∧（p∨q））

（┓p→（p∨q））←（p∧（p∨q）） （┓p∧（┓p∧┓q））←（p∧（p∨q））

（二）邏輯方陣二次再生系統

任何一個邏輯方陣經一次再生，可構建九個邏輯方陣。我們以如上表達式（1）作為推演的起點，進行二次再生推演，仍可構建九個邏輯方陣。

二次再生中，以邏輯方陣表記的（p∧q）∧（p∨q）、（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q）、（┐p∨┐q）→（p∨q）、（p∧q）→（┐p∧┐q）四命題為例，又可派生出三個永真公式：

（（p∧q）∧（p∨q））→（（┐p∨┐q）→（p∨q））

（（┐p∨┐q）→（p∨q））∨（（p∧q）→（┐p∧┐q））

（（p∧q）→（┐p∧┐q））←（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

仍按以上的推演順序，先將每個永真公式分別按前肢互否、后肢互否、雙肢互否均派生出三個協調式。三個協調式均為下反對關系，與其矛盾式相對應，根據“平行移行”規則構建三個邏輯方陣。以上三個永真公式即能構建九個邏輯方陣：

（1）（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））→（（┐p∨┐q）→（p∨q））

（（p∧q）∧（p∨q））→（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

（（p∧q）∧（p∨q））∧（（p∧q）∨（p∨q））

（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））∧（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

（2）（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））→（（┐p∨┐q）→（p∨q））

（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））→（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））∧（（p∧q）∨（p∨q））

（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））∧（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

（3）（（p∧q）∧（p∨q））→（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））→（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））∧（（p∧q）∨（p∨q））

（（p∧q）∧（p∨q））∧（（p∧q）∨（p∨q））

（4）（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））∨（（p∧q）→（┐p∧┐q））

（（┐p∨┐q）→（p∨q））∨（（p∧q）→（p∨q））

（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））∧（（p∧q）∧（┐p∧┐q））

（（p∧q）∨（p∨q））∧（（p∧q）∧（p∨q））

（5）（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））∨（（p∧q）→（┐p∧┐q））

（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））∨（（p∧q）→（p∨q））

（（p∧q）∨（p∨q））∧（（p∧q）∧（┐p∧┐q））

（（p∧q）∨（p∨q））∧（（p∧q）∧（p∨q））

（6）（（┐p∨┐q）→（p∨q））∨（（p∧q）→（p∨q））

（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））∨（（p∧q）→（p∨q））

（（p∧q）∨（p∨q））∧（（p∧q）∧（┐p∧┐q））

（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））∧（（p∧q）∧（┐p∧┐q））

（7）（（p∧q）∧（p∨q））←（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

（（p∧q）→（┐p∧┐q））←（（p∧q）∨（p∨q））

（（p∧q）∧（p∨q））∧（（p∧q）∨（p∨q））

（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））∧（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

（8）（（p∧q）∧（p∨q））←（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

（（p∧q）∧（p∨q））←（（p∧q）∨（p∨q））

（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））∧（（p∧q）∨（p∨q））

（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））∧（（┐p∨┐q）∧（┐p∧┐q））

（9）（（p∧q）→（┐p∧┐q））←（（p∧q）∨（p∨q））

（（p∧q）∧（p∨q））←（（p∧q）∨（p∨q））

（（┐p∨┐q）∨（┐p∧┐q））∧（（p∧q）∨（p∨q））

（（p∧q）∧（p∨q））∧（（p∧q）∨（p∨q））

可見，任何一個邏輯方陣均包含三個永真公式。任何一個永真公式（包括推理形式）按前肢互否、后肢互否、雙肢互否均派生出三個協調式，根據“平行移行”規則可構建三個邏輯方陣，三個永真公式即能構建九個邏輯方陣。即每一個邏輯方陣經一次再生即能構建九個邏輯方陣。

拙文《復合命題推理邏輯方陣類型研究》[12]、《邏輯方陣類型再探》[13]中認為復合命題邏輯方陣有14個基本類型和18個派生類型，復合推理邏輯方陣23個基本類型和20個派生類型。據此，以一次再生計，14個復合命題邏輯方陣基本類型可再生126個邏輯方陣，18個復合命題邏輯方陣派生類型可再生162個邏輯方陣，23個復合推理邏輯方陣基本類型可再生207個邏輯方陣，20個復合推理邏輯方陣派生類型可再生180個邏輯方陣（見表1）。按此構建系統，邏輯方陣還可二次再生，直至無限再生，自然邏輯方陣的表記對象也是一個無限再生系統。

表1 邏輯方陣的無限再生系統

至此，學界初步完成了邏輯方陣的構建體系。這個構建體系實現了表記對象上由單一化向復合化轉變，構建圖式上由平面型向立體型轉變，從生成方式上由邏輯形式的有限組合向無限再生轉變。從根本上看，把邏輯方陣的表記對象拓展到無限領域，揭示邏輯方陣的表記對象再生機制：邏輯方陣是一個可無限再生系統，以便更好地反映邏輯方陣理論的全貌。

邏輯方陣的構建體系的三大轉變將邏輯方陣的表記對象拓展到無限領域，使邏輯方陣具有真正意義上的普遍適用性。三次轉變分別實現了邏輯方陣表記對象、構建圖式、生成方式上的創新，據此進一步推演出無限再生的龐大的邏輯方陣體系。由無限再生的邏輯方陣推演出來的永真式、矛盾式和協調式也是一個無限再生系統，大大拓展了邏輯學的理論和應用研究空間，對促進邏輯學的未來發展產生重要影響。