廣東省深圳市龍華區博雅實驗學校
管志剛
“數學概念是產生數學知識的基礎,是提煉數學思想方法的平臺,是積累數學活動經驗的載體,是數學學習的內核.”[1]數學概念的教學過程,為培養學生用數學的眼光觀察世界,用數學的思維思考世界,用數學的語言表達世界提供了得天獨厚的平臺.所以,數學概念的教學,要重視概念的生長過程,凸顯概念的必要性、必然性和合理性.本文是筆者執教北師大版“認識分式”第一課時的教學設計,以及對概念教學、單元統領教學的幾點思考,與大家探討.
分式和整式都屬于代數式,它們之間有著密不可分的聯系和本質上的區別.二者定義的方式是否一樣,學習的思路是否一致,性質和運算方法是否相同,等等,這些都等待著學生去學習和探索.生長數學教學主張認為,分式概念的主要屬性有:(1)分式表示除法運算(也可以表示成帶有分數線的形式);(2)被除數和除數都是整式(分子和分母都是整式);(3)除數中含有字母(分母中有字母).因此,本節課教學的關鍵就是要通過問題情境,讓學生抽象出分式的數學屬性,并在此過程中,讓學生感受概念的生長過程、感悟建立此概念的必要性和必然性.
環節一:導入新課
問題1已知長方形的面積為7 cm2,寬為3 cm,則長方形的長為cm;若寬改為bcm,則長方形的長為cm.
問題2已知長方形的面積為acm2,寬為bcm,則長方形的長為cm;若寬增加2 cm,則長方形的長為cm.
圖1
問題3如圖1,矩形被一直線分成面積為pcm2和qcm2的兩部分,對應的邊長分別為xcm和ycm,則矩形的寬為cm.
環節二:概念生成
問題5你們能否再寫一些滿足這些特點的代數式呢?
問題7這樣的例子有無數多個,我們該怎么刻畫這些特點?
問題8像這樣的式子我們稱為分式,那你現在能給分式下個定義嗎?
環節三:概念辨析
問題9下列各式中,哪些是分式?哪些是整式?
設計意圖:問題9是第五個環節——“再辨析”.“再辨析”是根據概念的內涵與外延,幫助學生進一步認清概念的本質,以便學生應用概念解決問題. 在這個環節中,教師可設置一些稍有難度、迷惑性較強的代數式讓學生辨別.
環節四:拓展探究
問題11在問題10中可以發現,分式的值可以是正數,也可以是負數.分式的值可以為0嗎?
設計意圖:問題10旨在讓學生了解分式,它的值是隨著字母的取值變化而變化;問題11旨在讓學生自主發現分式值為0的條件;問題12旨在引導學生自主探索分式有意義的條件.之后,教師還需要引導學生發現之前僅從形式上定義分式是不完善的,必須加上分母不為0這個條件.因此,我們用“樣子”+“條件”的方式定義分式,二者缺一不可.
環節五:針對訓練
環節六:結構統領
問題13小明和小紅計劃周末去廣州長隆歡樂世界游玩.已知深圳到廣州的距離約為140 km, 小明選擇自駕前往,汽車的平均速度為xkm/h,小紅選擇高鐵出行,高鐵的平均速度是汽車的3倍多10 km/h.小明和小紅同時出發,小紅比小明提前一小時到達廣州,求汽車和高鐵的速度分別是多少?
設計意圖:引導學生在解決實際問題中抽象出新的模型——分式方程.繼續求方程的解,則有必要先學習分式的性質和四則運算,這樣就能很好地統領整個章節的知識,搭建知識生長的框架.同時,教師還可以引導學生類比整式的學習,發現分式的學習套路和整式的學習套路一脈相承,加深學生對于代數式學習的理解.
本節課通過“給例子—找屬性—再舉例—下定義—再辨析”五個環節,讓學生經歷了概念的生成過程,感受了建立分式概念的必要性和必然性.具體來說,環節一的問題情境闡明了分式“從哪里來”,即分式是描述現實情境的一種重要模型.環節二讓學生去找這些代數式的共同特點,歸納其共同的數學屬性.待學生有一定的理解之后,環節三再次聚焦相同屬性,讓學生舉出一些具有這些屬性的例子.那些在“找屬性”環節中沒有任何發現的同學往往舉不出新的例子,或者容易寫出錯誤的例子,這些都是對屬性理解不到位和不深刻的體現.厘清分式屬性之后,分式的概念就呼之欲出了,用數學語言將發現的共同屬性表達出來即可.教師可以先讓學生大致地說一說,再細致地優化為教材中的語言.分式相對于整式而言有一個特殊的地方,就是分式在字母賦值的時候可能會導致分式無意義,因此在分式的概念中必須補充這一點,這是概念“精致”的過程.因此,筆者認為概念教學一般要經過大致地描述、細致地優化、精致地補充三個過程.
教學是提出問題、解決問題的持續不斷的過程,提問是課堂教學的主要形式,也是師生交流的重要途徑.教師提問,學生作答,這看似平常的教學環節卻關系到課堂教學是否有效、實效、高效.數學課堂上,高質量的提問是學生參與課堂、理解數學概念、參悟數學本質的重要途徑.
本節課是章節的起始課,在一定程度上起著承前啟后、開山引路的作用.教師在教學時要對整章內容做一個提綱挈領式的“預覽”,搭建知識框架,使學生在開展后續的學習之前對整章內容有一個全局認識,起到統領全章的作用,避免“只見樹木,不見森林”[2].所以本節課在利用分式解決實際問題的環節中,學生抽象出一個新模型——分式方程.而學生在求解分式方程的過程中,會意識到要先學習分式的性質和運算才能解分式方程.通過這樣的設計,學生就能了解本章所有知識的建構過程,整體把握知識間的邏輯結構.同時,教師再加以引導,將 “現實情境—定義—性質—運算—應用”的學習模式和有理數、整式的學習模式統一起來.這樣的引導對學生數學學習能力的培養、學習興趣的提升的和探究精神的養成等都有一定的價值.