生長中發現 發現中生長
——以折疊問題為例

內蒙古包頭市昆都侖區教育教學研究中心

吳寶巖

傳統“教學中對問題的解決只是展現解法、展現思路，但對思路的尋找過程以及為什么要這樣解決、怎樣想到這樣方法的動態思維重視不夠，對解決問題中思維與策略的自然性與合理性揭示不夠.”[1]下面筆者以折疊問題為例，談談運用生長數學教學理念，讓學生在解決問題中生成動態思維的一些思考.

1 “找準生長點”和“選好生長路徑”

1.1 常見“點對點式”問題呈現

圖1

原題1(2014安順)如圖1，矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點E，AD=8，AB=4，則DE的長為.

這是一道典型的折疊問題，學生只要發現BE=DE(或由教師啟發得到)，運用勾股定理計算就可以得到答案.

解：設DE=x，則AE=8-x．

根據折疊的性質，得∠EBD=∠CBD．

因為AD∥BC，所以∠CBD=∠ADB．

因此∠EBD=∠EDB．于是BE=DE=x．

在Rt△ABE中，根據勾股定理，得

x2=(8-x)2+16.

解得x=5．

故DE=5.

通常在接下來的教學過程中就會進行類似問題的變式訓練，以求通過刷題獲得解題技能.

本題的解題關鍵在于發現“BE=DE”這一特殊關系，或者說這一類問題的解題模式是“先發現結論，后計算答案”，即“先定性分析、后定量分析”.“發現結論”進行定性分析就是學生動態思維生成的過程.既然“發現結論”比“計算答案”更重要，不妨把問題設置為開放式問題，讓學生去“發現”，在“發現”中學會思考，在“發現”中摸索解決問題的方法，在“發現”中生長自己的數學.

1.2 “定性把握與定量刻畫”[2]

改變問題情境，設置“生長點”，“選好生長路徑”，以“發現”為課堂主旋律.重新設計教學如下：

原題1改編：如圖1，矩形ABCD沿著對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點E.

(1)根據已知條件，你能發現哪些等量關系？(先定性把握)

(2)若AD=8，AB=4，則可以計算出哪些量？(后定量刻畫)

先只出示并研究第(1)問：根據已知條件，你能發現哪些等量關系？

圖2

學生在獨立思考后，得到△ABE≌△C′DE,進而得到BE=DE(△EBD等腰三角形)，AE=EC′(△AEC′等腰三角形)，更有學生提出如果連接AC′，如圖2，能得到AC′∥BD，∠AC′E=∠EBD，∠C′AE=∠EDB，△AC′E∽△DBE等結論.

在學生發現了諸多結論后，再給出第(2)問：若AD=8，AB=4，則可以計算出哪些量？

圖3

“先定性分析、后定量分析”既是生長點，也生長路徑.

2 解決折疊問題的幾種策略

2.1 將原來的單一問題設計成開放性問題

學生在思考問題時，如果不受問題約束，思維會更發散、更開闊.學生連接AC′，CC′后，能發現、驗證AC′∥BD, 并且能計算出AC′，CC′的長等“新結論”，足以說明問題，且在求解CC′長的過程中一題多解，方法靈活多樣.學生對兩個定點所連線段的位置與數量的確定性有了認知，使得以往“點對點式”思維變為“點對面式”發散思維，這對今后解題將帶來巨大的影響.

2.2 設置階梯，讓無意注意向有意注意轉化

針對原題1改編題的第(1)問，大部分學生都可以發現“新結論”，最容易被發現的是邊和角的條件，其次是三角形以及三角形全等、相似等.教師引導學生根據獲得條件的先后和難易梳理分析問題的思維鏈條：

學生在教師引導下，思考問題從無意注意向有意注意聚焦思維.

2.3 改變問題結構，探究新的結論

運用發現法引導學生“發現”解決問題的一般規律：先定性分析，后定量計算.這個順序也是我們解題中經常用到的，即先根據題目的已知條件分析可能得到的潛在結論，然后在諸多“新結論”下重新組合條件來深入分析問題.在圖3中，如果能夠分析出兩個三角形相似或者可用勾股定理時，就可以結合給定的數值進行計算.同樣，我們針對原題2做相應改編.

圖4

原題2(2019大連)如圖4，將矩形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為EF，若AB=4，BC=8．則D′F的長為．

原題2改編：如圖4，將矩形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，折痕為EF.

(1)根據已知條件，你能發現哪些等量關系？(先定性分析)

(2)若AB=4，BC=8，則可以計算出哪些量？(后定量分析)

如圖4，學生發現△AEF是等腰三角形.

如圖5，若連接AC,交EF于點O,則△AFO和△CEO全等，且AC和EF互相平分.連結FC，如圖6，于是有四邊形AECF是平行四邊形.

圖5

圖6

圖7

圖8

也有學生指出，求DD′的長可以借助△DD′F和△ACF相似來實現，△DD′F和△ACF都是等腰三角形且對頂角∠D′FD=∠AFC.但馬上有學生指出，點C，F，D′三點不一定共線，即∠D′FD=∠AFC不能成立.有學生補充：△AD′F和△CDF全等，∠AFD′=∠CFD，而點A，F，D三點共線,可知點C，F，D′三點共線，所以∠D′FD=∠AFC.

“一石激起千層浪”， 對于學生連接AC和DD′，通過證明AC∥DD′來計算DD′長的過程中出現的關于三點是否共線的問題，雖是小意外，但卻引發學生更深層次的思考.原題2改編題的教學設計初衷本來是模仿原題1的改編題訓練思維，不曾想學生的思維一旦被激活，就像飛出牢籠的鳥兒，在數學的天空中自由翱翔！

2.4 課堂教學的終極目標是發展學生思維

對于學生連接AC和DD′，通過證明AC∥DD′來計算出DD′的長這個新發現，教師及時引導設問：你是怎么發現AC∥DD′？學生結合原題1改編題第(2)問中連接AC′后發現AC′∥BD，從而在圖8中猜想AC和DD′是否會平行并設法證明.對于DD′長度的計算，雖然與計算AC′長度的方法不同，但由于點D和點D′的位置確定，所以堅信必定有辦法能計算出來.

至此，開放性問題的設置充分釋放了學生的思維，發散、發現的觸角無所不往.發現法教學的模式讓學生打開數學的大門，在數學的天地里自由馳騁，不斷發現新的結論，再加之教師追問“怎么得到的”“怎么想到的”更是讓學生進入大徹大悟的境界.

布魯納認為，學習知識的最佳方式是發現學習.這就要求在教學過程中實現由教師的“教”轉變為學生的“學”，由“尋求單一答案”轉變為“發現可能的結論”.這樣一來，就將傳統教學中解決單一答案的“點式”問題變為解決“面式”的開放性問題，學生在教師的引導下獨立分析探究、發現結論、掌握原理和規律.

由此，創設情境，給學生探究的時間和空間，思維的空氣、水和土壤，就能發現數學、生長數學.數學課堂經過這樣的設計，才能真正發展學生核心素養.