基于理解的概念課教學實踐與思考*
——以“平方根”教學為例

江蘇省宿遷市宿豫區新莊中心學校

汪東松

南京師范大學附屬中學宿遷分校黃海路校區

李 軍

1 問題提出

《義務教育數學課程標準(2022年版)》的正式發布，確定了數學課程的目標是發展學生的數學核心素養(主要包括“三會”).數學概念教學是數學教學的核心，與學生數學核心素養的發展息息相關，其成效直接影響到學生的學習效果.但實際教學卻不盡如人意，部分教師依然采用“概念+注意+刷題”的形式進行教學，忽視課標及教學要求，忽視學習現實，忽視概念本源，忽視探究過程，等等，導致學生對抽象概念的理解困難，建構內化受阻，深感學習枯燥無趣，教學效果大打折扣.基于此，現結合蘇科版“平方根”教學為例，著力探討如何實施概念課教學，進而深度理解概念教學，帶領學生“入乎其內、出乎其外”，挖掘概念內涵與外延，內外關聯，類比遷移，意義建構，實現數學概念教學對學生素養發展的價值[1].

2 相關概念的理解

杜威(John Dewey)在《我們如何思維》一書中對理解做了清晰的總結，認為理解是學習者探求事實意義的結果，“掌握一個事物、事件或場景的意義，就是要觀察它與其他事物的聯系，觀察它的運作方式和功能產生的結果和原因以及如何應用.”“方法和結果的關系是所有理解的核心.”在數學學習中，理解無疑是首要的.例如，學生到底是理解了還是沒有理解，是部分理解還是全部理解，理解的深度如何，等等.

追求“概念性理解”的教學，要求教師不能只關注知識表象而忽略了對知識本質的探求.而當前許多課堂教學中，許多學生在數學學科上耗費大量時間和精力刷題，缺少知識的意義建構,缺乏數學思想方法的理解.有些數學課堂中，教師的“匠氣”太濃，題型、技巧太多，彌漫著應試的“功利”.以解題教學代替概念教學的做法嚴重偏離了數學教學的正軌，數學育人的價值得不到充分體現.

3 教學設計與教學實施

數學根本上是玩概念的，不是玩技巧[2].教學中，要圍繞概念教學，遵循理解課標要求、理解學生學情、理解教材系統、理解教學程序，尋找概念的前世今生未來，追本溯源；以問題導學，不斷追問，挖掘本質，回歸本真.教學思維路徑從模糊到清晰，從盲點到亮點，讓概念課教學理性開通.

3.1 理解課標要求

課標是專家們集體智慧的結晶，是指導教學的綱領性文件.數學概念課教學要達到深度教學狀態就必須對課標達到較高的理解層次.就“平方根”教學而言，課標給出了內容要求、學業要求及教學提示[3](如圖1).

圖1

3.2 理解教材編排

“平方根”是義務教育教科書數學八年級上冊(江蘇鳳凰科學技術出版社)第四章第一課時內容.從運算過程看，求解過程是開平方運算，它是數的開方運算的重要基礎與代表；從結果上看，擴充了數的范圍，豐富了無理數的內容與表達，深化了學生對無理數的認識與理解.

教材以計算直角三角形的邊長為情境，引導學生感悟研究“數的開方”的必要性，激發學生探究欲望.接著，課本順理成章地給出平方根、算術平方根的概念.很自然地讓學生明白“為什么學、學什么”等問題.同時，教材沿用類似(類比遷移)的過程，給出立方根、實數等概念，可謂是舉一反三.

平方根，尤其是算術平方根，是本章的重要概念，也是學習的一個難點，對后續學習“二次根式”有著重要影響.為了突出重點、突破難點，教材創設了現實情境或問題情境，給學生學習提供了知識“背景”和“支撐”，還設計了一些例題，以加深學生對概念本質的理解，為學生“怎么學”鋪路搭橋.

3.3 理解教學程式

數學概念課教學需遵循一定之規，有其基本的程式和操作流程，只有深刻理解概念教學的基本流程才能科學設計，有針對性地施教.數學概念課教學一般要經歷以下幾個過程：(1)情境引學.(2)本質抽象.通過典型、豐富的具體例證(要讓學生自己舉例)，引導學生開展分析、比較、綜合等活動，概括共同本質特征，得到概念的本質屬性.(3)定義提出.用準確的數學語言表達，可以通過看教科書完成.(4)概念辨析.即以實例(正例、反例)為載體，引導學生分析關鍵詞的含義，包括對概念特例的考查.(5)概念應用.用概念作判斷的具體事例，這里要用有代表性的簡單例子，其目的是形成用概念作判斷的具體步驟，并運用概念進行計算或說理.(6)概念“精致”.主要是建立與相關概念的聯系，形成功能良好的數學認知結構.概念教學要盡量采用歸納式，給學生提供概括的機會.其設計程式整合成圖示，如圖2所示.

圖2

3.4 課堂教學實踐

3.4.1 在情境引學中理解概念的本源

情境引學：先算后想，由已知到未知.

問題1計算：32=，(-3)2=，02=.

問題2(課本之問)如圖3，小方格的邊長為1，你能算出圖中AB，A′B′的長嗎？

圖3

師生活動：

(1)說.請三位同學說出運算結果，并說出乘方的意義及有關概念.

(2)寫.請你類比問題1，再任意寫兩個這樣的算式并計算出來與大家分享.

(3)算.分組計算問題2，是否有困惑的地方？

(4)議.通過計算，你有什么發現？請分享你的想法.

(5)問.從運算對象上來說，問題1,2有何聯系與區別？(小組交流)

(6)引.問題1是前面學過的平方運算，即已知底數和指數求冪；問題2的求解對象反過來了，即已知指數和冪求底數，而且從問題2的第2個圖知道，邊長是客觀存在的，但不知道是什么、叫什么、怎么寫等，那么問題該怎么解決呢？(形成懸念)

教學理解：情境引學中設置了兩類問題，問題1主要從數的運算幫助學生回顧乘方的知識；問題2主要從形的角度，讓學生發現求解底數的客觀存在，感知求解對象的變化.一方面讓學生深刻體會學習“數的開方”的必要性，明晰平方根的本源在“平方”，是由平方運算派生而來；另一方面也打通了知識間的聯系.創設情境時，立足學生的最近發展區，關注知識間的內部聯系，從正反兩方面揭示事物的本質，讓學生經歷從已知到未知的認知過程，從而誘發學生強烈的學習動機.

3.4.2 在探究經歷中理解概念的生成

概念的形成和同化不是一蹴而就的，而是讓學生具身參與，經歷探究過程慢慢習得的.

探究1填空：( )2=9，( )2=4，

學生先獨立思考，寫出結果，再小組交流，互議互評.

探究2形式化抽象

第1次形式化：讓學生依照上述計算形式再舉兩個例子，并思考這樣的例子是否舉得完，從而引出可以用字母表示數(字母具有一般性)，如學生舉出x2=16，x2=121，…….在求解過程中，學生常常只習慣性得出正值，而丟掉負值，此時需要教師引導，讓學生吸取經驗教訓——由平方數求底數時，解不唯一.

第2次形式化：學生發現問題2中求A′B′的長，也就是相當于求x2=41中的x，還有學生舉出x2=8，x2=3，等等，學生思維又一次被打開.因此，學生說這樣的例子是舉不完的，需要用字母表示.(教師給予表揚肯定.)師生共同探究中得出，上述所有問題可用一個式子來概括，即x2=a.

探究3提煉屬性

(1)字母取值探究.對于式子x2=a，它具有一般性特點，也就是說字母代表了一切數.請學生思考“若x2=-1，則x的值是多少？”由此讓學生自己發現a的取值范圍是a≥0,并明白沒有一個實數的平方是負數，所以a是非負數.

(2)概念生成.上述問題其實就要研究“當x2=a時，x是什么數？”的問題.這一類問題就是已知指數和冪求底數的運算，這種運算叫開方(開平方)運算，它與乘方是不同的，它們是互逆運算.因此，名稱上要有區別，于是需要生成新概念.對“誰”開方呢？當然是a，所以a就是被開方數(如上面的16，121，41，8，3等)，x就是a的平方根(如±4，±11等)，2還是指數位置，叫做根指數，從而揭示課題，并留有認知沖突——41，8，3的平方根是什么？

教學理解：概念的本質抽象是較難理解的.教學時，采取了問題驅動、分步推進的策略，結合學生對平方的認知，先分析乘方中所關注的對象有三項，即底數、指數、冪，當指數確定，以前是知底數求冪，同樣，知冪也可以求底數.研究對象的變化，需要生成新的概念.這里對具體例子進行探究，逐步抽象，揭示問題本質，生成新的知識，一步步引入課題，挖掘概念內涵.

3.4.3 在認知沖突中理解概念的表達

根據上述認知沖突和知識發展需要，讓學生自主閱讀教材，理解定義，學會表達(這里主要是文字語言與符號語言及其相互轉化).教學時，先讓學生分享自學情況，讓學生學會表達：(1)概念凝煉(文字表述)；(2)符號表示(讓學生寫與讀)；(3)語言轉換理解(舉例解讀).教師適時引導啟發，并對學生的表達從三個方面進行類比概括，加以板書呈現(如圖4).

圖4

教學理解：組織學生自主學習.通過小組展示、補充、糾錯，經歷概念的形成；通過類比思維圖，讓學生學會表達，系統梳理概念，由感性認識到理性建構.

3.4.4 在辨析應用中理解概念的性質

(1)從正反兩個方面辨析概念.判斷：9的平方根是3( )；3是9的平方根( ).

(2)問題再現.根據定義填空：

①41的正的平方根是，41的負的平方根是，41的平方根是；

(3)小組交流.下列各數有沒有平方根？如果有，請寫出來；如果沒有，請說明理由.(教材內容)

從中你發現了什么？

(4)發現性質.

①一個正數有個平方根，它們互為；②0有個平方根，是；③負數平方根.

(5)概念升華.已知一個直角三角形的兩邊的長分別為3和5，求第三邊的長.

教學理解：教學中讓學生充分展示、積極參與、主動探索，經歷觀察發現、類比分析、思考歸納、有序表達等活動，讓其理解概念本質，內化知識，形成能力，建構起自己的知識經驗體系；培養手腦并用意識，形成模型觀念，提升理解能力與運算能力.同時，做到形數結合，首尾呼應，形成完整的教學閉環.

3.4.5在類比聯系中理解概念的結構

回顧反思學習歷程，幫助學生理清學習內容與思路，深化對知識的理解與掌握，進而走向概念的精致.

(1)平方根學習反思：平方根的概念、表示、性質及其應用.

(2)方法經驗積累：學會數學抽象、符號表達、建立模型，體會分類與類比、整體思想、一般化思想等.

(3)形成認知結構：平方(冪)?開平方(平方根)?開立方(立方根)?開n次方(n次方根).

教學理解：通過回顧與反思，讓學生梳理概念的學習路徑，不斷同化概念，使之納入自己的認知結構.同時，引領學生從整體上再認識概念，做到整合貫通，舉一反三，學會類比遷移，為后續學習提供智力支撐與幫助，進而形成良好的學習力，提升數學核心素養.

4 教學思考

本課是實數學習的第一課時，應讓學生充分觀察感知、動手計算、實踐體驗、歸納概括，體會平方根概念的形成過程.在學生理解知識的基礎上，引發學生批判性地學習新的思想和事實，并將它們融入原有的認知結構中，能夠在眾多思想間進行聯系，并能夠將已有的知識遷移到新的情境中，作出決策并解決問題.

4.1 重視理解的深度——深度學習

理解的深度是指學生不僅能夠認識知識的表象，更能夠深刻領會知識的本質和背后蘊涵的數學思想.而學生理解的深度取決于教師是否能夠洞悉知識的源頭,從知識發生的歷史脈絡中把握其產生的原因、本質和價值.例如，在平方根的學習中，要讓學生理解，先通過平方的學習，進而變換求解對象.讓學生經歷“為什么學，學什么，怎樣學，又學向何處？”這樣，學生就能深度理解知識的來龍去脈，并用數學符號語言來表達，進而形成高階思維能力.

4.2 拓展理解的廣度——深化建構

4.3 明晰理解的完整度——深入思考

理解的完整度是指能夠對知識之間的內在關聯建立清晰的印象并建構完善的知識網絡.理解的完整度是建立在對知識整體結構清晰把握的基礎上.對“平方根”這個概念的理解比較透徹，就意味著理解了它的內涵和外延，了解這個概念的“前世、今生與將來”，了解它在立方根、無理數、實數或解決實際問題中的作用，感受它是學習二次根式的重要基礎.引導學生自主將知識結構化，形成概念網絡和體系，網絡的結點和通道越豐富，說明概念內容就越完整，思考理解就越深刻.這樣，學生就能夠在解決問題的過程中迅速有效地提取關鍵性知識，打通學習脈絡，進行知識的自主建構和類比遷移.