一類具有脈沖的二階隨機發展方程溫和解的存在性
2023-03-16 12:06吳博范虹霞
哈爾濱理工大學學報 2023年5期
吳博 范虹霞
摘? 要：在Hilbert空間中研究一類具有瞬時脈沖的二階非自治隨機發展方程溫和解的存在性。在不要求發展系統緊性的條件下， 利用Sadovskii′s不動點定理和非緊性測度理論得到了該方程溫和解的存在性結論，并給出一個例子說明了所獲的結果。
關鍵詞：隨機發展方程; 非緊性測度; Sadovskii′s不動點定理; 瞬時脈沖; 溫和解
DOI：10.15938/j.jhust.2023.05.016
文獻標志碼： A
中圖分類號： O175.6
文章編號： 1007-2683（2023）05-0128-08
Existence of Mild Solutions for a Class of Second-order
Stochastic Evolution Equations with Impulses
WU Bo，? FAN Hongxia
（College of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）
Abstract：The existence of mild solutions for a class of second-order non-autonomous stochastic evolution equations with instantaneous impulses is studied in Hilbert space. By using Sadovskii′s fixed point theorem and the theory of measure of noncompactness， the existence of the mild solution of the equation is obtained without the necessity of assuming that the corresponding evolution family is noncompact. Finally， one example is given to illustrate our main results.
Keywords：Stochastic evolution equation; measure of noncompactness; Sadovskii′s fixed point theorem; instantaneous impulse; mild solution
收稿日期： 2022-04-15
基金項目： 國家自然科學基金（11561040）.
作者簡介：
吳? 博（1999—），女，碩士研究生.
通信作者：
范虹霞（1978—），女，教授，E-mail：ffls0217@126.com.
0? 引? 言
在機械、電子信息、金融市場等諸多領域， 都存在著在一定時間內的瞬時擾動和突變， 通常將這種變化稱為脈沖效應。 近幾十年來， 脈沖常微分方程、脈沖偏微分方程及脈沖分數階微分方程被廣泛研究［1-3］。 由于噪聲或隨機擾動在自然界和人工系統中都是不可避免的， 所以脈沖隨機微分發展方程自然地出現在廣泛的應用領域［4-6］。 2020年， SINGH等［7］利用Banach壓縮映射原理研究了下列二階非自治隨機脈沖微分方程
dy′（t）=［A（t）y（t）+Bu（t）+F（t，y（t））］dt+
G（t，y（t））dW（t），t∈［0，T］，t≠tk
y（0）=φ，y′=χ
Δy（tk）=Ik（y（tk）），k=1，2，3，…，m
Δy′（tk）=Jk（y（tk）），k=1，2，3，…，m
溫和解的存在唯一性和近似可控性。
非局部問題是由BYSZEWSKI［8］首次提出的， 與經典的初值問題相比， 非局部問題在實際的物理問題中有更廣泛的應用， 因此得到了學者的廣泛關注和深入研究。 2021年， CHEN［9］在發展系統非緊的條件下， 利用非緊性測度理論和不動點定理， 在Hilbert空間中研究了如下具有非線性噪音和非局部初始條件的非自治隨機發展方程
du（t）=［A（t）u（t）+f（t，u（t））］dt+
g（t，u（t））dW（t），t∈J
u（0）=H（u）
溫和解的存在性。
受上述文獻的啟發， 本文研究具有瞬時脈沖的二階非自治隨機發展方程非局部問題
du′（t）=［A（t）u（t）+f（t，u（t））］dt+
g（t，u（t））dW（t），t∈［0，a］，t≠tk
u（0）=h1（u）
u′（0）=h2（u）
Δu（tk）=Ik（u（tk））
Δu′（tk）=Jk（u（tk）），k=1，2，…，m（1）
溫和解的存在性， 其中狀態函數u（·）取值于實可分Hilbert空間H中，H中的內積與范數分別為（·，·）和‖·‖， A（t）：D（A（t））H→H是閉線性算子， 其定義域D（A（t））=D（A）在H中稠密且與t無關。 令K為另一實可分Hilbert空間， 其內積和范數分別為（·，·）K和‖·‖K。0=t0
1? 預備知識
假設（Ω，F，{Ft}t≥0，P）為一完備賦流概率空間， 流{Ft}t≥0為F的一列右連續單調遞增的子σ-代數族， 并且F0包含所有概率測度為0的集合。 令{ek，k∈N}為K中的一組完備標準正交基， 假設{W（t）∶t≥0}是定義在概率空間（Ω，F，{Ft}t≥0，P）上具有有限跡協方差算子Q≥0的圓柱形K-值Wiener過程， 記Tr（Q）=∑∞k=1λk=λ<∞且滿足Qek=λkek，k∈Ν。令{Wk（t），k∈Ν}為一列在（Ω，F，{Ft}t≥0，P）上相互獨立的一維標準Wiener過程， 則其滿足W（t）=∑∞k=1λkWk（t）ek。設Ft=σ{W（s），0≤s≤t}是由W和Fb=F所生成的σ-代數。 對φ，ψ∈L（K，H），定義（φ，ψ）=Tr（φQψ），其中ψ是ψ的伴隨算子。 對任意有界算子ψ∈L（K，H），有‖ψ‖2Q=Tr（ψQψ）=∑∞k=1‖λψ ek‖。若‖ψ‖2Q<∞， 則稱ψ為Q-Hilbert-Schmidt算子。
令L1（［0，a］，H）表示所有H-值Bochner積分函數構成的Banach空間， 范數定義為‖u‖L1= ∫a0‖u（t）‖dt。 L2（Ω，H）表示所有強可測、平方可積H-值隨機變量所構成的Banach空間， 賦以范數‖u（·）‖L2=（E‖u（·，W）‖2）12，其中Eu=∫Ωu（W） dP為數學期望。 L2（Ω，H）的子集L20（Ω，H），記L20（Ω， H）={u∈L2（Ω，H）|u是F0-可測的}。記PC（［0， a］，L2（Ω，H））={x∶［0，a］→L2（Ω，H），x在t≠tk時連續，x（t－k）=x（tk）且x（t+k）存在，k=1，2，…，m}。 顯然，賦予范數‖u‖PC=（supt∈［0，a］E‖u（t）‖2）12的PC（［0，a］， L2（Ω，H））是一個Banach空間。 令PC1（［0，a］，L2 （Ω，H））={x∈PC∶x′在t≠tk時連續，x′（t－k）=x′（tk），且x′（t+k）存在， k=1，2，…，m}。 于是具有范數‖x‖1=‖x‖PC+‖x′‖PC的空間PC1（［0，a］，L2（Ω，H））也是一個Banach空間。
考慮抽象的二階非自治發展方程初值問題
x″（t）=A（t）x（t）+f（t）， 0≤t≤a
x（t）=x0，x′（t）=y0（2）
其中A（t）∶D（A）H→H是閉的稠定線性算子， f∶［0，a］→H為適當定義的函數， 對問題（2）溫和解的研究都是基于與之對應的齊次發展方程
x″（t）=A（t）x（t），0≤t≤a
生成的發展系統S（t，s）， 其中0≤s≤t。 下面給出所需的發展系統S（t，s）的定義。
定義1［10］? 若有界線性算子族{S（t，s）}（t，s）∈Δ∶ H→H，Δ∶={（t，s）∈［0，a］×［0，a］∶s≤t}，滿足下述條件：
（Z1） 對任意x∈H，（t，s）→S（t，s）x是連續可微的， 且
（a） 對t∈［0，a］， S（t，t）=I;
（b） 對（t，s）∈Δ，x∈H，tS（t，s）x|t=s=x，及 sS（t，s）x|t=s=－x。
（Z2） 對（t，s）∈Δ，若x∈D（A），則tS（t，s）x∈ D（A），（t，s）→S（t，s）x∈H是二階連續可導的，并且
（a）2t2S（t，s）x=A（t）S（t，s）x;
（b）2s2S（t，s）x=S（t，s）A（s）x;
（c）stS（t，s）x|t=s=0。
（Z3）對（t，s）∈Δ，若x∈D（A），則sS（t，s）x∈D（A），2t2 sS（t，s）x∈D（A），2s2 tS（t，s）x∈D（A），并且
（a）2t2sS（t，s）x=A（t）sS（t，s）x;
（b）2s2tS（t，s）x=tS（t，s）A（s）x。
此外，（t，s）→A（t）sS（t，s）x是連續的， 則稱它為方程（2）的齊次發展方程的發展系統。
方便起見， 定義算子C（s，t）=－sS（t，s），假設存在正常數M、N使得
sup0≤t，s≤a‖S（t，s）‖≤M，sup0≤t，s≤a‖C（t，s）‖≤N（3）
由算子C（t，s）的強連續性， 對（t，s）∈Δ， x∈H有
S（t，s）x=－∫tsξS（t，ξ）xdξ=∫tsC（t，s）xdξ（4）
下面給出有關Kuratowski非緊性測度的定義和性質。
定義2［11］? 設SX有界， 則S有限覆蓋最大直徑的下確界
α（S）∶=inf{δ>0|S=∪mi=1Si，d（Si）≤δ，i=1，…，m}
為S的Kuratowski非緊性測度。
引理1［12］? 設X，Y是實Banach空間， S、U是X中的有界集， 則有下列性質：
1）S相對緊α（S）=0;
2）α（S）=α（S）=α（convS），其中S和convS分別是S的閉包和凸包;
3）若SU， 則α（S）≤α（U）;
4）α（S+U）≤α（S）+α（U）， 其中S+U={x+y∶x∈S，y∈U};
5）α（S∪U）≤max{α（S），α（U）};
6）α（λS）≤|λ|α（S）， 其中λ∈
;
7）若映射Q∶D（Q）X→Y是Lipschitz連續的， 且Lipschitz常數為k， 則對任意的有界集SD（Q）， 有α（Q（S））≤kα（S）。
本文用α（·）和αPC（·）分別表示L2（Ω，H）和PC（［0，a］，L2（Ω，H））中有界集的Kuratowski非緊性測度。
引理2［12］? 設X是Banach空間， DPC （［0，a］，X）是有界且等度連續集， 則α（D（t））在［0，a］上連續， 并且αPC（D）= maxt∈［0，a］α（D（t））。
引理3［13］? 設X是Banach空間， DX有界， 則存在可數集D0D， 使得α（D）≤2α（D0）。
引理4［14］ 設X是Banach空間， D={un}PC（［0，a］，X）是有界可數集，則α（D（t））在X上Lebesgue可積， 并且
α（{∫a0un（t）dt∶n∈
綃 }）≤2∫a0α（D（t））dt
定義3［15］? 若函數t
MT ExtraaA@ S（t，s）對于t∈（s，+∞）依算子范數連續， 則稱發展族{S（t，s）∶0≤s≤t≤a}為等度連續的。
引理5［16］? 若函數g∶［0，a］×L2（Ω，H）→L （K，H）連續且u∈PC（［0，a］，L2（Ω，H））則
E‖∫a0g（t，u（t））dW（t）‖2≤Tr（Q）∫a0E‖g（t，u（t））‖2dt。
定義4［17］ 設S是Banach空間X中的一個非空子集， 若對任意有界集DS， 滿足α（Q（D））<α（D），則連續映射Q∶S→X稱為凝聚的。
定理1［17］? （Sadovskii′s不動點定理） 設X是Banach空間， DX為有界凸閉集， 若Q∶D→D是凝聚算子， 則Q在D上至少有一個不動點。
下面給出問題（1）溫和解的定義。
定義5? 若隨機過程u∈PC（［0，a］，L2（Ω，H））滿足下列條件
1）u（t）是Ft-適應的過程;
2）對幾乎處處的t∈［0，a］，u（t）∈H有cádlág路徑（右連續左極限存在）;
3）對t∈［0，a］， 有
u（t）=C（t，0）h1（u）+S（t，0）h2（u）+
∫t0S（t，s）f（s，u（s））ds+
∫t0S（t，s）g（s，u（s））dW（s）+
∑0 ∑0 則稱u是非局部問題（1）的溫和解。 令r>0為有限常數， 記 Br={u∈PC（［0，a］，L2（Ω，H））∶‖u‖2PC≤r}。 2? 主要結論 為了得到問題（1）溫和的存在性， 給出下列假設條件： （H1）對（t，s）∈Δ，A（t）生成的強連續發展系統S（t，s）等度連續。 （H2）函數f∶［0，a］×L2（Ω，H）→L2（Ω，H）連續，對于r>0，存在正常數ρ1及函數φr∈L1（［0，a］， +），使得對幾乎處處t∈［0，a］，u∈L2（Ω，H）滿足E‖u（t）‖2≤r，有 E‖f（t，u）‖2≤φr（t），limr→+∞inf‖φr‖L1（［0，a］， +）r∶=ρ1<+∞。 （H3）函數g∶［0，a］×L2（Ω，H）→L（K，H）連續，對于r>0，存在正常數ρ2及函數ψr∈L1 （［0，a］， +），使得對幾乎處處t∈［0，a］，u∈L2（Ω，H）滿足E‖u（t）‖2≤r， 有 E‖g（t，u）‖2≤ψr（t），limr→+∞inf‖ψr‖L1（［0，a］， +）r∶=ρ2<+∞。 （H4）函數h1，h2∶PC（［0，a］，L2（Ω，H））→L2（Ω，H）連續， 存在正常數ρ3，ρ4及非減連續函數Ψ1，Ψ2∶ +→ +，使得對r>0，u∈Br，有 E‖h1（u）‖2≤Ψ1（r），limr→+∞infΨ1（r）r∶=ρ3<+∞， E‖h2（u）‖2≤Ψ2（r），limr→+∞infΨ2（r）r∶=ρ4<+∞。 （H5）脈沖函數Ik，Jk∶H→H，k=1，2，…，m連續，存在正常數ak，bk，k=1，2，…m，使得對u，v∈H有 ‖Ik（u）－Ik（v）‖2≤ak‖u－v‖2，‖Ik（0）‖=0， ‖Jk（u）－Jk（v）‖2≤bk‖x－y‖2，‖Jk（0）‖=0。 （H6）存在正常數Lf，Lg，Lh1，Lh2，LIk，LJk， 其中k=1，2，…，m，對有界可數子集DPC（［0，a］， L2（Ω，H）），t∈［0，a］有 α（f（t，D）） α（h1（D）） α（Ik（D）） （H7）2N［Lh1+∑mk=1LIk］+2M［Lh2+2aLf+ 2aTr（Q）Lg+∑mk=1LJk］<1。 定理2? 若假設條件（H1）～（H7）成立， 且 6N2（ρ3+m∑mk=1ak）+6M2（aρ1+Tr（Q）ρ2+ρ4+m∑mk=1bk）<1（5） 則問題（1）在區間［0，a］上至少存在一個溫和解。 證明：定義算子Q∶PC（［0，a］，L2（Ω，H））→PC（［0，a］，L2（Ω，H））如下： （Qu）（t）=C（t，0）h1（u）+S（t，0）h2（u）+ ∫t0S（t，s）f（s，u（s））ds+ ∫t0S（t，s）g（s，u（s））dW（s）+ ∑0 ∑0 顯然u（t）為問題（1）的溫和解當且僅當u（t）為算子Q的不動點， 下證算子Q存在不動點。 第一步：證明存在常數r>0， 使得Q∶Br→Br，如若不然， 對任意的r>0，存在ur∈Br， tr∈［0，a］，使得E‖（Qur）（tr）‖2>r。 由引理5， Hlder不等式， 式（3）、式（6）及條件（H2）～（H5）得 r 6M2E‖h2（ur）‖2+6M2tr∫tr0E‖f（s，ur（s））‖2ds+ 6M2Tr（Q）∫tr0E‖g（s，ur（s））‖2ds+ 6mN2∑mk=1akr+6mM2∑mk=1bkr≤ 6N2Ψ1（r）+6M2Ψ2（r）+6M2a‖φr‖L1（［0，a］， +）+ 6M2Tr（Q）‖ψr‖L1（［0，a］， +）+ 6mN2∑mk=1akr+6mM2∑mk=1bkr。 上式兩邊同時除以r， 并令r→+∞， 由條件（H2）～（H4）可得 1≤6N2（ρ3+m∑mk=1ak）+6M2（aρ1+Tr（Q）ρ2+ρ4+m∑mk=1bk）， 這與式（5）矛盾， 故Q∶Br→Br。 第二步：證明算子Q∶Br→Br連續。 設un∞n=1Br是一個序列， 且limn→∞un=u，u∈Br，由函數f，g，h1，h2，Ik，Jk連續性可知， 當n→+∞有 E‖f（s，un（s））－f（s，u（s））‖2→0， a.e.s∈［0，a］（7） E‖g（s，un（s））－g（s，u（s））‖2→0，? a.e. s∈［0，a］（8） E‖hi（un）－hi（u）‖2→0，i=1，2（9） E‖Ik（un（tk））－Ik（u（tk））‖2→0，k=1，2，…，m（10） E‖Jk（un（tk））－Jk（u（tk））‖2→0，k=1，2，…，m（11） 因此， 由條件（H2）， （H3）， 對幾乎處處s∈［0，a］有 E‖f（s，un（s））－f（s，u（s））‖2≤ 2E‖f（s，un（s））‖2+2E‖f（s，u（s））‖2≤4φr（s）， E‖g（s，un（s））－f（s，u（s））‖2≤ 2E‖g（s，un（s））‖2+2E‖g（s，u（s））‖2≤4ψr（s）。 由于對幾乎處處的s∈［0，t］， 所有的t∈［0，a］， 函數s→4φr（s）和s→4ψr（s）是Lebesgue可積的。 結合式（3）、式（6）～（11）， 引理5，Hlder不等式及Lebesgue控制收斂定理， 對t∈［0，a］有 E‖（Qun）（t）－（Qu）（t）‖2≤ 6E‖C（t，s）（h1（un）－h1（u））‖2+ 6E‖S（t，s）（h2（un）－h2（u））‖2+ 6E‖∫t0S（t，s）［f（s，un（s））－f（s，u（s））］ds‖2+ 6E‖∫t0S（t，s）［g（s，un（s））－g（s，u（s））］dW（s）‖2+ 6E‖∑0 6E‖∑0 6N2E‖h1（un）－h1（u）‖2+6M2E‖h2（un）－h2（u）‖2+ 6M2a∫t0E‖f（s，un（s））－f（s，u（s））‖2ds+ 6M2Tr（Q）∫t0E‖g（s，un（s））－g（s，u（s））‖2ds+ 6mN2∑mk=1E‖Ik（un（tk））－Ik（u（tk））‖2+ 6mM2∑mk=1E‖Jk（un（tk））－Jk（u（tk））‖2→0，n→∞， 因此， 算子Q∶Br→Br連續。 第三步：證明算子Q∶Br→Br等度連續。 對于u∈Br，取0≤t1 E‖（Qu）（t2）－（Qu）（t1）‖2≤ 10E‖［C（t2，0）－C（t1，0）］h1（u）‖2+ 10E‖［S（t2，0）－S（t1，0）］h2（u）‖2+ 10E‖∫t10［S（t2，s）－S（t1，s）］f（s，u（s））ds‖2+ 10E‖∫t2t1S（t2，s）f（s，u（s））ds‖2+ 10E‖∫t10［S（t2，s）－S（t1，s）］g（s，u（s））dW（s）‖2+ 10E‖∫t2t1S（t2，s）g（s，u（s））dW（s）‖2+ 10∑0 10∑t1 10∑0 10∑t1 10E‖［C（t2，0）－C（t1，0）］h1（u）‖2+ 10E‖［S（t2，0）－S（t1，0）］h2（u）‖2+ 10t1∫t10‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2φr（s）ds+ 10M2（t2－t1）∫t2t1φr（s）ds+ 10Tr（Q）∫t10‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2ψr（s）ds+ 10Tr（Q）M2∫t2t1ψr（s）ds+ 10m∑mk=1akrE‖C（t2，tk）－C（t1，tk）‖2+ 10∑t1 10m∑mk=1bkrE‖S（t2，tk）－S（t1，tk）‖2+ 10∑t1 因為對（t，s）∈Δ，C（t，s），S（t，s）是強連續的， 所以當t2－t1→0時， K1，K2，K7，K8，K9，K10→0。 設δ>0充分小， 由式（3）、定義3、條件（H1）， Lebesgue控制收斂定理及δ的任意性得 K3≤10t1∫t1－δ0‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2φr（s）ds+ 10t1∫t1t1－δ‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2φr（s）ds≤ 10t1∫t1－δ0‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2φr（s）ds+ 20M2t1∫t1t1－δφr（s）ds→0，t2－t1→0，δ→0， K5≤10Tr（Q）∫t1－δ0‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2ψr（s）ds+ 10Tr（Q）∫t1t1－δ‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2ψr（s）ds≤ 10Tr（Q）∫t1－δ0‖S（t2，s）－S（t1，s）‖2ψr（s）ds+ 20M2Tr（Q）∫t1t1－δψr（s）ds→0，t2－t1→0，δ→0， K4=10M2（t2－t1）∫t2t1φr（s）ds→0，t2－t1→0， K6=10M2Tr（Q）∫t2t1ψr（s）ds→0，t2－t1→0。 綜上所述， 當t2－t1→0時， E‖（Qu）（t2）－（Qu）（t1）‖2→0。 即算子Q∶Br→Br等度連續。 第四步：證明算子Q∶Br→Br是凝聚算子。 對任意的有界集DBr， 由引理3可知， 存在一個可數集D0={un}D， 使 αPC（Q（D））≤2αPC（Q（D0））（12） 因為Q（D0）Q（Br）有界且等度連續， 故由引理2可知 αPC（Q（D0））=maxt∈［0，a］α（Q（D0）（t））（13） 對u1，u2∈D0， 由引理5得 E‖∫t0S（t，s）g（s，u1（s））dW（s）－ ∫t0S（t，s）g（s，u2（s））dW（s）‖2≤ M2Tr（Q）∫t0E‖g（s，u1（s））－g（s，u2（s））‖2ds， 結合引理1 7），引理4及‖u（·）‖L2=（E‖u（·，W）‖2）12可得 α（∫t0S（t，s）g（s，D0（s））dW（s））≤ M（2Tr（Q）∫t0［α（g（s，D0（s）））］2ds）12（14） 因此， 由引理1、引理4、式（3）、式（6）、式（12）、式（14）、條件（H6）得到 α（Q（D0）（t））≤α（{C（t，0）h1（un）}）+α（{S（t，0）h2（un）}）+ α（{∫t0S（t，s）f（s，un（s））ds}）+ α（{∫t0S（t，s）g（s，un（s））dW（s）}）+ α（{∑0 α（{∑0 NLh1αPC（D0）+MLh2αPC（D0）+ 2M∫t0α（{f（s，un（s））}）ds+ M（2Tr（Q）∫t0［α（g（s，D0（s）））］2ds）12+ N∑mk=1LIkα（{un（tk）}）+ M∑mk=1LJkα（{un（tk）}）≤ （N［Lh1+∑mk=1LIk］+M［Lh2+2aLf+ 2aTr（Q）Lg+∑mk=1LJk］）αPC（D）。 故由上式， 式（12）、式（13）及條件（H7）得到 αPC（Q（D））≤（2N［Lh1+∑mk=1LIk］+2M［Lh2+2aLf+ 2aTr（Q）Lg+∑mk=1LJk］）αPC（D）<αPC（D）。 因此， 由定義4知算子Q∶Br→Br是凝聚算子。 故由Sadovskii′s不動點定理可得算子Q在Br上至少有一個不動點， 即問題（1）在區間［0，a］上至少有一個溫和解。 3? 實? 例 考慮如下具有非局部初始條件和脈沖的二階非自治隨機偏泛函微分方程 2u（x，t）t2=A（x，t，D）u（x，t）+cos（πt）10+|u（x，t）|+ sin（x，t，u（x，t））dW（t）10etdt t∈［0，1］－（1/2），x∈Θ Dαu（x，t）=0，? （x，t）∈Θ×［0，1］，|α|≤n u（x，0）=∫10K1（s）ds1+|u（x，s）|，x∈Θ tu（x，0）=∫10K2（s）ds1+|u（x，s）|，x∈Θ u（x，（1/2）+）－u（x，（1/2）－）=u（x，1/2）20+u（x，1/2） u′（x，（1/2）+）－u′（x，（1/2）－）=u′（x，1/2）20+u′（x，1/2）（15） 其中Θ N（N≥1） 是具有光滑邊界Θ的有界區域， W（t）是定義在概率空間（Ω，F， {Ft}t≥0，P）上具有有限跡協方差算子Q≥0的一維標準圓柱Wiener過程。 A（x，t，D）u=∑|α|≤2naα（x，t）Dαu 是Θ上一致強橢圓微分算子， 即存在一個常數C1>0使得對每個x∈Θ， t∈［0，1］有 （－1）nRe∑|α|=2naα（x，t）ξα≥C1ξ2n，ξ∈ N。 系數aα（·，t）∈C2n（Θ）且aα（·，t）∶［0，1］× 是一致Hlder連續的， 即存在常數C2>0和0<η≤1使得對每個x∈Θ，t，s∈［0，1］有 |aα（x，t）－aα（x，s）|≤C2|t－s|η。 此外，K1，K2∈L（［0，1］， +）。 令H=L2（Θ， ）是一個Hilbert空間， 范數和內積分別為‖·‖2和（·）。 且 A（t）=A（x，t，D），Au（x）=u″（x）， D（A（t））=H2n（Θ）∩Hn0（Θ）。 由文［7］、［9］、［15］， 可知{A（t）∶0≤t≤1}生成一個等度連續的發展系統{S（t，s）∶0≤s≤t≤1}且滿足定義1。 對于t∈［0，1］，k=1定義 u（t）=u（·，t），f（t，u（t））=cos（πt）10+|u（·，t）|， g（t，u（t））=sin（x，t，u（x，t））10et h1（u）=∫10K1（s）ds1+|u（·，s）|，h2（u）=∫10K2（s）ds1+|u（·，s）|， I（u）=u20+u，J（u）=u′20+u′， 則方程（15）可化為問題（1）的形式。 這里m=1。 定理3?? 若 52Tr（Q）<19（16） 則方程（15）在區間［0，1］上至少存在一個適度解。 證明：根據函數f，g，h1，h2的定義， 當 φr（t）=mes（Θ）cos2（πt）100， ψr（t）=mes（Θ）e－2t100， Ψ1（r）=mes（Θ）（∫10K1（s）ds）， Ψ2（r）=mes（Θ）（∫10K2（s）ds）， ρ1=ρ2=ρ3=ρ4=0， 易知條件（H2）～（H4）成立。 此外， 函數f，g關于變量u是Lipschitz連續的， 且Lipschitz常數分別為1100和110。 根據文［21］可知非局部項h1，h2是緊算子， 因此由引理1和式（16）可得條件（H5）～（H7）及式（5）成立， 其中 M=N=1，a1=b1=LI=LJ=120， Lf=1100，Lg=110，Lh1=Lh2=0。 因此， 定理2中的所有條件都成立， 故由定理2可得方程（15）在區間［0，1］上至少存在一個適度解。 4? 結? 論 定理2可以應用到一類帶有非局部初始條件和脈沖的非自治隨機偏泛函微分方程中， 因此， 定理2具有廣泛的適用性。 定理2在發展系統非緊的條件下， 利用非緊性測度和Sadovskii′s不動點定理得到了溫和解的存在性結論， 推廣了文［18-20］的結果， 此外， 與一階系統相比， 二階系統能用來描述更具復雜性的現象， 比如炸彈在深水下的運動軌跡等。 這使得定理2不同于以往對具有非局部初始條件的隨機發展方程的研究， 因此， 定理2進一步豐富和完善了隨機發展方程的相關研究結果。 參 考 文 獻： ［1］? 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