變系數熱傳導方程反初值問題的擬邊值方法

楊天浩 孫偉

摘? 要：針對一維區域上帶有時間依賴系數的非齊次熱傳導方程的反初值問題，采用擬邊值方法求解此問題。首先根據分離變量法得到問題的解，并根據問題解的表達式構造了正則化解；其次在原問題的解滿足某些先驗條件下，給出正則化參數選取的先驗和后驗方法，并在理論上嚴格證明了在此參數選取準則下，一維熱傳導方程反初值問題正則化解的收斂性；最后通過數值模擬表明，擬邊值方法對于求解此反初值問題是有效和穩定的。

關鍵詞：不適定問題；正則化參數；擬邊值方法；熱傳導方程；誤差估計

DOI：10.15938/j.jhust.2023.05.017

中圖分類號： O241.8

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2023）05-0136-07

Quasi-boundary Value Method for Backward Heat

Conduction Equation with Variable Coefficients

YANG Tianhao，? SUN Wei

（School of Science， Harbin University of Science and Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：Aiming at the problem of inhomogeneous backward heat conduction equation with time-dependent coefficients in a one-dimensional region， the quasi-boundary value method is used to solve this problem. Firstly， the solution of the problem is obtained by separating variables， and according to the expression of the solution of the problem， the regular solution is constructed; secondly， when the solution of the original problem satisfies some prior conditions， the priori and posteriori methods for the regularization parameter are given respectively， and the convergence of the regularization solution of the problem of one-dimensional backward heat conduction equation under this parameter selection criterion is strictly proved; finally， numerical simulation shows that quasi-boundary value method is effective and stable.

Keywords：ill-posed problem; regularization parameter; quasi-boundary value method; heat conduction equation; error estimation

收稿日期： 2022-05-22

基金項目： 黑龍江省自然科學基金（LH2020A015）.

作者簡介：

楊天浩（1998—），男，碩士研究生.

通信作者：

孫? 偉（1982—），女，博士，副教授，E-mail： mathsunwei@126.com.

0? 引? 言

熱傳導方程的反初值問題也被稱為逆時問題，是熱傳導方程反問題的一種，在很多實際問題中有著廣泛應用，例如熱流、遙感技術、航天防護服表面溫度控制等。此類問題是一個不適定問題［1］，很難用傳統的方法來解決，為了得到穩定的近似解，國內外學者對這類問題進行了研究，提出了很多方法，例如Tikhonov正則化方法［2-3］、濾波正則化方法［4］、擬逆方法［5-8］、擬邊值方法［9-18］等。但目前大部分研究還是集中在齊次方程且測量數據只有一個，或者常系數非齊次方程的反初值問題，對變系數非齊次方程的研究較少，并且大部分研究只給出了正則化參數的先驗選取策略，針對后驗選取規則的研究也很少。

本文考慮如下一個一維帶有時間依賴系數的非齊次熱傳導方程的反初值問題，

ut（x，t）－a（t）uxx（x，t）=f（x，t），0≤x≤L，0≤t≤T

u（0，t）=u（L，t）=0，0≤t≤T

u（x，T）=g（x），0≤x≤L（1）

其中f（x，t）是關于t的連續可微函數且f（x，t）∈L∞（0，T;L2［0，L］），g（x）∈L2［0，L］，a（t）∈C∞［0，T］，且存在正常數m和d，使得

0

反初值問題就是利用g（x）和f（x，t）帶有噪聲的測量數據gδ（x），fδ（x，t），求解u（x，0）=∶φ（x）。假設測量數據滿足條件：

‖gδ（x）－g（x）‖L2［0，L］≤δ

‖fδ（x，t）－f（x，t）‖L∞（0，T;L2［0，L］）≤δ

本文使用擬邊值方法求解這個問題，擬邊值方法也稱為非局部邊值方法，是一種用新的近似條件代替終值條件或邊界條件的正則化方法，最早由Showalter［9］提出。擬邊值方法已經被應用于求解各種類型方程的反問題中，例如，分數階擴散方程［19-20］、非線性拋物方程［21］、橢圓型方程［16］等。

Triet Minh Le等在文［14］中提出了一種改進的正則化方法來求解問題（1），并給出了一種特殊情況下的正則化參數的先驗選取規則。馬宗立等［22］把這一方法推廣到二維圓域上給出了誤差估計。除此之外，還未見到其他文獻研究此問題。本文所用的擬邊值方法在求解u（x，0）時，與文［14］的方法是等價的，但是這兩種方法計算正則化解的方式是不同的；文［14］中的正則化解的計算需要用到橢圓算子的特征值和特征函數，所以很難將其推廣到高維一般區域中，而本文所使用的擬邊值方法可以實現。本文不僅給出了正則化參數的先驗選取規則，也研究了當解滿足某種先驗條件時的后驗選取策略，根據相關引理和定理推導了正則化解和精確解的誤差估計，最后用數值算例驗證本文所采用的擬邊值方法求解變系數熱傳導方程的反初值問題具有可行性。

下面用（·，·）和‖·‖分別表示L2［0，L］上的內積和范數。根據分離變量法，問題（1）的解形式上可以表示為

u（x，t）=∑∞n=1（e－λnA（t）φn+∫t0e－λn（A（t）－A（τ））fn（τ）dτ）ωn（x）

其中A（t）=∫t0a（s）ds，ωn（x）=2LsinnπxL，λn=

n2π2L2，fn（t）=（f（x，t），ωn（x）），φn=（φ（x），ωn（x）），

再令上式中t=T，得到

g（x）=∑∞n=1（e－λnA（T）φn+∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fn（τ）dτ）ωn（x）

故

φ（x）=∑∞n=1gn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fn（τ）dτe－λnA（T）ωn（x）（2）

當n→∞時，λn→∞，（e－λnA（T））－1→∞，故問題（1）是不適定的。

定義算子K［23］：L2［0，L］→L2［0，L］，

（Kφ）（x）=∫L0k（x，ξ）φ（ξ）dξ

其中k（x，ξ）=∑∞n=1e－λnA（T）ωn（x）ωξ（ξ），不難看出K：L2［0，L］→L2［0，L］是一個線性自伴緊算子。

1? 擬邊值方法

采用擬邊值方法求解問題（1），修改（1）中的終值條件u（x，T）=g（x），得到如下問題：

uμ，δt（x，t）－a（t）uμ，δxx（x，t）=fδ（x，t），0≤x≤L，0≤t≤T

uμ，δ（0，t）=uμ，δ（L，t）=0，0≤t≤T

uμ，δ（x，T）+μuμ，δ（x，0）=gδ（x），0≤x≤L（3）

其中μ為正則化參數。利用分離變量法得到，

φμ，δ（x）∶=uμ，δ（x，0）=∑∞n=1gδn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fδn（τ）dτμ+e－λnA（T）ωn（x）（4）

上式即為擬邊值方法構造的正則化解。定義

φμ（x）=∑∞n=1gn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fn（τ）dτμ+e－λnA（T）ωn（x）（5）

1.1? 正則化參數的先驗選取規則

引理1［22］? 令η>0，0≤a≤b，則對任意的k>0，都有

eka1+ηekb≤η－ab

引理2? 若p≥2，則對任意的n，有

μ（eλnA（T））2－p41+μeλnA（T）≤C2μ

其中C2是與n無關的常數。

證明：由p≥2，易得

μ（eλnA（T））2－p41+μeλnA（T）≤μ（eλnA（T））2－p4=μ（eλnA（T））p－24≤μ（eλ1A（T））p－24≤C2μ

引理3? 給定∑∞n=1gn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fn（τ）dτ和f（x，t）∈L∞（0，T;L2［0，L］），有

‖∑∞n=1（gn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fn（τ）dτ）ωn（x）‖≤

2（‖g‖2+M‖f‖2L∞（0，T;L2［0，L］））其中M=∑∞n=1（∫T0e－λn（A（T）－A（τ））dτ）2。

證明：與文［16］中引理2.4類似。

定理1? 若0<μ<1，問題（1）有精確解φ（x），

1）如果存在常數p和E1，滿足（∑∞n=1λpnφ2n）12≤E1<+∞，則有

‖φμ（x）－φ（x）‖≤C1E1A（T）－lnμp2（o（1）+1）（μ→0+）

2）如果存在常數p和E2，滿足（∑∞n=1epλnA（T）φ2n）12≤E2<+∞，則有

‖φμ（x）－φ（x）‖≤μP2E2，0

C2μE2，p≥2

其中C1，C2為正常數。

證明

‖φμ（x）－φ（x）‖=∑∞n=1μμ+e－λnA（T）gn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fn（τ）dτe－λnA（T）212

若φ（x）滿足條件1），則，

‖φμ（x）－φ（x）‖2=∑∞n=1μ2λ－pn（μ+e－λnA（T））2λpnφ2n

當λnA（T）≤1時，令

S1=∑λnA（T）≤1μ2λpnφ2nλpn（μ+e－λnA（T））2≤∑λnA（T）≤1μ2λ－pne2λnA（T）（λpnφ2n）≤

∑λnA（T）≤1μ2λ－p1e2（λpnφ2n）

當λnA（T）>1時，令μZn=e－λnA（T）<1，則λn=－ln（μZn）A（T），

令

S2=∑λnA（T）>1μ2λpnφ2nλpn（μ+e－λnA（T））2=

∑λnA（T）>1μ2（μ+μZn）2（－ln（μZn）A（T））－pλpnφ2n=

∑λnA（T）>1－A（T）lnμp1（1+Zn）2lnμln（μZn）pλpnφ2n

再令γn=1（1+Zn）2lnμln（μZn）p，下證γn一致有界。

若0

γn=1（1+Zn）2lnμln（μZn）p≤1

若Zn>1，則lnZn>0，ln（μZn）=－λnA（T）<－1，接下來有

0

則

γn≤（1+lnZn）p（1+Zn）2≤（1+lnZn）p1+Zn<（1+lnZn）pZn=∶q（Zn）

又因為q′（Zn）=p（1+lnZn）p－1－（1+lnZn）pZ2n，故γn≤qmax（Zn）=ppe1－p=∶Qp，所以γn一致有界。當μ→0+，則

‖φμ（x）－φ（x）‖2≤（μ2λ－p1e2+Qp－A（T）lnμp）∑∞n=1λpnφ2n≤

C21E21（－A（T）lnμ）p（o（1）+1）

其中C21=max{λ－p1e2，Qp}。

若φ（x）滿足條件（2），有

‖φμ（x）－φ（x）‖=∑∞n=1μe－λnp2A（T）μ+e－λnA（T）eλnp2A（T）φn212

再由引理1和引理2，得

‖φμ（x）－φ（x）‖≤μP2E2，0

C2μE2，p≥2（6）

定理得證。

定理2? 在定理1的條件下，

1）若存在常數p和E1，滿足（∑∞n=1λpnφ2n）12≤E1<+∞，令μ=δE11A（T）lnE1δp2，有

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤（2（M+1）+C1）E11A（T）lnE1δ－p2（o（1）+1）（δ→0+）

2）若存在常數p和E2，滿足（∑∞n=1epλnA（T）φ2n）12≤E2<+∞，有

（a） 當0

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤（2（M+1）+1）δpp+2E2p+22

（b） 當p≥2時，令μ=δE212，則

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤（2（M+1）+C2）E122δ12

證明

‖φμ，δ（x）－φμ（x）‖2=∑∞n=1gδn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fδn（τ）dτμ+e－λnA（T）－

gn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fn（τ）dτμ+e－λnA（T）ωn（x）2≤

2∑∞n=1（gδn－gn）2+|∫T0e－λn（A（T）－A（τ））（fδn（τ）－fn（τ））dτ|2（μ+e－λnA（T））2≤

2∑∞n=1gδn－gnμ2+2M∑∞n=1fδn（τ）－fn（τ）μ2≤

2（M+1）δ2μ2

故

‖φμ，δ（x）－φμ（x）‖≤2（M+1）δμ（7）

根據三角不等式，

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤‖φμ，δ（x）－φμ（x）‖+‖φμ（x）－φ（x）‖，結合定理1，當φ（x）滿足條件1），則

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤C1E1A（T）－lnμp2（o（1）+1）+2（M+1）δμ

令μ=δE11A（T）lnE1δp2，當δ→0+，有

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤（2（M+1）+C1）E11A（T）lnE1δ－p2（o（1）+1）

當φ（x）滿足條件2），則

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤μP2E2+2（M+1）δμ，0

C2μE2+2（M+1）δμ，p≥2

故當0

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤（2（M+1）+1）δpp+2E2p+22

當p≥2時，令μ=δE212，有

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤（2（M+1）+C2）E122δ12

定理得證。

1.2? 正則化參數的后驗選取規則

應用偏差原理，選擇以下方程的解作為正則化參數：

‖μ（K+μI）－1（Kφμ，δ（x）－ ∑∞n=1（gδn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fδn（τ）dτ）ωn（x））‖=τδ

其中τ>2（M+1）是一個常數。

引理5? 令ρ（μ）=‖μ（K+μI）－1（Kφμ，δ（x）－∑∞n=1（gδn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fδn（τ）dτ）ωn（x））‖

如果（∑∞n=1（gδn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fδn（τ）dτ）2）12>τδ，則有

（a）ρ（μ）是一個連續函數；

（b）limμ→0ρ（μ）=0；

（c）limμ→∞ρ（μ）=∑∞n=1（gδn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fδn（τ）dτ）2；

（d）對任意的μ∈（0，∞），ρ（μ）是一個嚴格增函數。

證明：與文［16］中引理3.2.1類似。

定理3? 令φ（x）為問題（1）的精確解，φμ，δ（x）為正則化解，μ為正則化參數；如果存在常數p和E2，滿足（∑∞n=1epλnA（T）φ2n）12≤E2<+∞，有以下結論，

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤

（τ+2（M+1）pp+2+2（M+1）·

1τ－2（M+1）2p+2E2p+22δpp+2，0

（τ+2（M+1））12+2（M+1）·

C22τ－2（M+1）12E122δ12，p≥2

其中C2為正常數。

證明? 由三角不等式，

‖φμ，δ（x）－φ（x）‖≤‖φμ，δ（x）－φμ（x）‖+‖φμ（x）－φ（x）‖

當0

‖φμ（x）－φ（x）‖2=∑∞n=1－μμ+e－λnA（T）φnωn（x）2=

∑∞n=1μe－λnA（T）μ+e－λnA（T）p2μμ+e－λnA（T）1－p2

φn（e－λnA（T））p22=

∑∞n=1μe－λnA（T）μ+e－λnA（T）p

μμ+e－λnA（T）2p－p2p+2

φn（e－λnA（T））p22pp+2×

μμ+e－λnA（T）4－2pp+2φn（e－λnA（T））p24p+2≤

∑∞n=1（μe－λnA（T）μ+e－λnA（T）pμμ+e－λnA（T）2p－p2p+2×

φn（e－λnA（T））p22pp+2p+2ppp+2×

∑∞n=1μμ+e－λnA（T）4－2pp+2φn（e－λnA（T））p24p+2p+222p+2=

∑∞n=1μe－λnA（T）μ+e－λnA（T）p+22μμ+e－λnA（T）1－p2φn（e－λnA（T））p2ωn（x）2pp+2×∑∞n=1μμ+e－λnA（T）1－p2φn（e－λnA（T））p2ωn（x）4p+2≤

∑∞n=1μμ+e－λnA（T）2φne－λnA（T）ωn（x）2pp+2∑∞n=1φn（e－λnA（T））p2ωn（x）4p+2≤

∑∞n=1μμ+e－λnA（T）2（gn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fn（τ）dτ）ωn（x）2pp+2E4p+22≤

∑∞n=1μμ+e－λnA（T）2（gn（x）－gδn（x）－

∫T0e－λn（A（T）－A（τ））（fn（τ）－fδn（τ））dτ）ωn（x）+

∑∞n=1μμ+e－λnA（T）2·（gδn（x）－

∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fδn（τ）dτ）ωn（x）2pp+2E4p+22≤

（τ+2（M+1））2pp+2δ2pp+2E4p+22

即

‖φμ（x）－φ（x）‖≤（τ+2（M+1））pp+2δpp+2E2p+22（8）

當p≥2時，可以得到

‖φμ（x）－φ（x）‖2=∑∞n=1－μμ+e－λnA（T）φnωn（x）2=

∑∞n=1μe－λnA（T）μ+e－λnA（T） φne－λnA（T）2

=∑∞n=1μe－λnA（T）μ+e－λnA（T）2φne－λnA（T）φne－λnA（T）≤

∑∞n=1μe－λnA（T）μ+e－λnA（T）2φne－λnA（T）212∑∞n=1φne－λnA（T）212≤

∑∞n=1μμ+e－λnA（T）2φne－λnA（T）212∑∞n=1φne－λnA（T）212=

∑∞n=1μμ+e－λnA（T）2·（gn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fn（τ）dτ）ωn（x）·

（∑∞n=1e2λnA（T）φ2n）12≤

∑∞n=1μμ+e－λnA（T）2（gn－gδn－

∫T0e－λn（A（T）－A（τ））（fn（τ）－fδn（τ））dτ）ωn（x）+

∑∞n=1μμ+e－λnA（T）2

（gδn－

∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fδn（τ）dτ）ωn（x）E2≤

（δ2（M+1）+τδ）E2

故有

‖φμ（x）－φ（x）‖≤（τ+2（M+1））12E122δ12（9）

下面對1μ進行估計：

τδ≤∑∞n=1μμ+e－λnA（T）2（（gn－gδn）－

∫T0e－λn（A（T）－A（τ））（fn（τ）－fδn（τ））dτ）ωn（x）+

∑∞n=1μμ+e－λnA（T）2（gn－∫T0e－λn（A（T）－A（τ））fn（τ）dτ）ωn（x）≤

∑∞n=1μ（eλnA（T））2-p41+μeλnA（T）2（e－λnA（T））－p2φn212+2（M+1）δ

當0

∑∞n=1μ（eλnA（T））2-p41+μeλnA（T）2（e－λnA（T））－p2φn212≤μ2+p2E2

當p≥2時，根據引理2，得

∑∞n=1μ（eλnA（T））2-p41+μeλnA（T）2（e－λnA（T））－p2φn212≤E2（C2μ）2

因此，

1μ≤1τ－2（M+1）22+pE2δ22+p，0

C22τ－2（M+1）12E2δ12，p≥2（10）

聯合式（7）、（8）、（9）和（10），可得到定理結論。

2? 數值實驗

本節將列出兩個數值算例來顯示方法的可行性。測量數據是通過添加隨機擾動生成

gδ=g+εg（2·rand（size（g））-1）

fδ=f+εf（2·rand（size（f））-1）

則誤差水平δ=max{ε‖g‖，ε‖f‖}。

例1? 令T=1，L=π，a（t）=2t+1，g（x）=u（x，1）=xsinxe2，f（x，t）=－2（2t+1）cosxet2+t，則反初值問題的解為u（x，0）=φ（x）=xsinx。

例2? 令T=1，L=π，a（t）=2t+1，g（x）=u（x，1）=2sin2xe2，f（x，t）=6（2t+1）sin2xet2+t，反初值問題的解為u（x，0）=φ（x）=2sin2x。

例1的解滿足（∑∞n=1λpnφ2n）12≤E1<+∞，如圖1所示，本文只畫出正則化參數先驗選擇規則下正則化解和精確解的圖象；例2的解滿足（∑∞n=1epλnA（T）φ2n）12≤E2<+∞，圖2中畫出了先驗和后驗正則化參數選擇規則下近似解和精確解的圖象；兩個例子表明本文提出的正則化參數選取策略是有效的。

3? 結?? 論

本文考慮了帶有時間依賴系數的一維熱傳導方程的反初值問題，采用擬邊值方法構造正則化解，并分別給出了正則化參數的先驗和后驗選取準則，最后用數值算例驗證了擬邊值方法的有效性。

參 考 文 獻：

［1］? HADAMARD J. Lectures on the Cauchy′s Problems in Linear Partial Differential Equations［M］. New Haven： Yale University Press， 1923.

［2］? LIU C S， CHANG C W， CHANG J R. Past Cone Dynamics and Backward Group Preserving Schemes for Backward Heat Conduction Problems［J］. Computer Modeling in Engineering and Sciences， 2006， 12（1）： 67.

［3］? HUANG Y Z， ZHENG Q. Regularization for a Class of Ill-posed Cauchy Problems［J］. Proceedings of the American Mathematical Society， 2005， 133（10）： 3005.

［4］? QIN H H， WEI T. Some Filter Regularization Methods for a Backward Heat Conduction Problem［J］. Applied Mathematics and Computation， 2011， 217（24）： 10317.

［5］? ALEKSEEVA S M， YURCHUK N I. The Quasireversibility Method for the Problem of the Control of an Initial Condition for the Heat Equation with an Integral Boundary Condition［J］. Differential Equations， 1998， 34（4）： 493.

［6］? CLARK G W， OPPENHEIMER S F. Quasireversibility Methods for Non-well Posed Problems［J］. Electronic Journal of Differential Equations， 1994（8）： 1.

［7］? HUANG Y Z. Modified Quasi-reversibility Method for Final Value Problems in Banach Spaces［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2008， 340（2）： 757.

［8］? LIUJ J， YAMAMOTO M. A Backward Problem for the Time-fractional Diffusion Equation［J］. Applicable Analysis， 2010， 89（11）： 1769.

［9］? SHOWALTER R E. The Final Value Problem for Evolution Equations［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 1974（47）：563.

［10］HO D N， DUC N V， LESNIC D. Regularization of Parabolic Equations Backward in Time by a Non-local Boundary Value Problem Method［J］. IMA Journal of Applied Mathematics， 2010， 75（2）： 291.

［11］TRONG D D， QUAN P H， TUAN N H. A Quasiboundary Value Method for Regularizing Nonlinear Ill-posed Problems［J］. Electronic Journal of Differential Equations，2009（109）： 1.

［12］HO D N， DUC N V， SAHLI H. A Non-local Boundary Value Problem Method for Parabolic Equations Backward in Time［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2008， 345（2）： 805.

［13］FENG X L， ELDEN L， FU C L. A Quasi-boundary-value Method for the Cauchy Problem for Elliptic Equations with Non-homogeneous Neumann Data［J］. Journal of Inverse and Ill-posed Problems， 2010， 18（6）： 617.

［14］LE T M， PHAM Q H， DANG T D， et al. A Backward Parabolic Equation with a Time-dependent Coefficient： Regularization and Error Estimates［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2013， 237（1）： 432.

［15］LIU J J. Numerical Solution of Forward and Backward Problem for 2-D Heat Conduction Equation［J］. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2002， 145（2）： 459.

［16］YANG F， SUN Y R， LI X X， et al. The Quasi-boundary Value Method for Identifying the Initial Value of Heat Equation on a Columnar Symmetric Domain［J］. Numerical Algorithms， 2019， 82（2）： 623.

［17］DENCHE M， BESSILA K. A Modified Quasi-boundary Value Method for Ill-posed Problems［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2005， 301（2），419.

［18］HO D N， DUC N V， LESNIC D. A Non-local Boundary Value Problem Method for the Cauchy Problem for Elliptic Equations［J］. Inverse Problems， 2009， 25（5）： 055002.

［19］WEI T， WANG J G. A Modified Quasi-boundary Value Method for the Backward Time-fractional Diffusion Problem［J］. European Series in Applied and Industrial Mathematics： Mathematical Modelling and Numerical Analysis， 2014， 48（2）： 3.

［20］WANG J G， ZHOU Y B， WEI T. A Posteriori Regularization Parameter Choice Rule for the Quasiboundary Value Method for the Backward Time-fractional Diffusion Problem［J］. Applied Mathematics Letters， 2013， 26： 741.

［21］HO D N， DUC N V， LESNIC D. Regularization of Parabolic Equations Backward in Time by a Non-local Boundary Value Problem Method［J］. IMA Journal of Applied Mathematics， 2010， 75： 291.

［22］MA Z L， YUE S F. Stability of the Backward Problem of Parabolic Equation with Time-dependent Reaction Coefficient［J］. Journal of University of Science and Technology of China， 2019， 49（5）： 345.

［23］KIRSCH A. An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems［M］. New York： Springer， 1996.

（編輯：溫澤宇）