如何求解復合函數零點的個數問題

徐影

復合函數是指由兩個或兩個以上的簡單基本函 數構成的函數，如 y = g[ f （x）] .復合函數零點個數問題 的難度通常較大，對同學們的數學抽象、數學運算、邏 輯推理能力有較高的要求.這類問題主要考查簡單基 本函數的單調性、圖象，以及復合函數的單調性.

對于復合函數 y = g[ f （x）] ，一般將 f （x） 視為內層 函數，將 g（x） 視為外層函數.求解復合函數零點的個數 問題，首先要用換元法，將內層函數換元，如令 f （x）= t ；再畫出外層函數 y = g（t） 的圖象，借助圖象來 研究方程 g（t）= 0 的根 t 的取值或范圍；然后利用分類 討論思想，討論當 t 取不同值時，直線 y = t 與內層函 數 y = f （x） 圖象的交點情況，就能求出復合函數零點的 個數.

例1

解：

一般地，若函數 y = f （x） 在定義域 I 上有 n 個零點 ? 方程 f （x）= 0 在 x ∈ I 上有 n 個解 ? 函數 y = f （x） 的 圖象與 x 軸在 x ∈ I 上有 n 個交點.解答復合函數零點 問題，首先要依據題意確定復合函數的內、外層函數 分別是什么；然后利用換元法，令內層函數 f （x）= t ；再 解方程 g（t）= 0 ，得到 t 的值；接著在同一個直角坐標 系中畫出函數 y = f （x） 與函數 y = t 的圖象，研究兩個 圖象的交點情況，即可確定復合函數零點的個數.

例2

解：

先換元，并令 g（t）= 0 ，即可將問題轉化為求一元 二次方程的解的個數問題；然后構造函數，將問題轉 化為直線 y = t 與函數 y = f （x） 圖象的交點個數問題； 再畫出函數的圖象，利用方程的判別式、求根公式、韋 達定理，確定根的取值和個數即可解題.

例3

解：

對于形如 y = f [ f （x）]+ h 的嵌套函數，需先構造函 數 y - f [ f （x）]、y = -h ；然后用 t 去替換內層函數 f （x） ， 將問題轉化為求函數 y = f （t） 與直線 y = k 的交點的個 數，通過研究函數圖象中交點的個數，從而確定 t 的取 值范圍.

例4

解：

解答此題，需進行兩次換元.先利用換元法“解 套”，即令內層函數 f （kx）+ 1 = t ，將問題轉化為求 g（t）= f （t）+ 1 = 0 的解的個數問題；然后利用圖象，研究 內層函數 y = f （kx）+ 1的圖象與直線 y = t 交點的個數.

總之，求解復合函數零點個數問題時，需注意： （1）靈活運用換元法，通過換元來“解套”，從而降低問 題的難度；（2）靈活運用方程思想，將問題轉化為方程 的解的個數問題；（3）靈活運用數形結合思想，通過研 究函數的圖象，求得函數零點的個數；（4）進行合理的 分類討論，做到不重不漏任何情況，確保得到正確的 答案.

（作者單位：西華師范大學數學與信息學院）