例談求解探索性問題的措施

劉中起

探索性問題通常要求根據已知的信息，探究某個 條件、結論是否成立或存在.此類問題的難度較大，側 重于考查考生的分析、探究、獨立解決問題的能力.本 文重點探討一下求解探索性問題的幾個措施.

一、將問題等價轉化

探究性問題的部分條件、結論并不完全確定，這 給我們解題造成了很大的困擾，此時不妨另辟蹊徑， 將復雜的問題等價轉化為比較熟悉的問題，如最值問 題、不等式恒成立問題、比較代數式的大小問題、數列 問題等；再靈活運用相關知識、方法求得問題的答案. 這樣便能達到化難為易、化繁為簡的目的，有助于我 們快速獲得問題的答案.

例1

解：

由于題目的結論是關于 x 的不等式，所以要確定 f（1 - 2x ） 2 與f（1 + 2x - x ） 2 應滿足的某種關系，只需討論 1 - 2x 2 與1 + 2x - x 2 的大小關系，即將問題轉化為比較 兩個代數式的大小問題，利用函數的單調性進行求解即 可.解答本題，需把握三個關鍵點：（1）運用等價轉化思 想，將已知信息進行等價轉換，即 f （a + x） = f （b - x） （x ∈ R） ? 函數 f （x） 的圖象關于直線 x = a + b 2 對稱， 將問題等價轉化為比較兩個代數式大??；（2）注意挖 掘隱含條件：1 - 2x 2 ≤ 1，1 + 2x - x 2 ≤ 2 ；（3）靈活運用 函數 f （x） 的單調性進行求解.

例2

解：

求解本題，需先審清題意，明確每一次重復操作 后 A 、B 中的食鹽質量分數；然后將其看作兩個數列 {an}與{bn} 的遞推關系式，這樣就能夠將實際問題轉化 為數列問題，利用等比數列的通項公式來解題.

二、合情推理

題設條件是我們分析、解答數學問題的依據.在解 答探究性問題時，我們需仔細分析題設條件，靈活運 用相關公式、定理、性質等，通過觀察、歸納、類比、聯 想、猜測等進行合理的推理，從而順利探求目標，得出 問題的答案.

例3

解：

我們由所探究的目標出發，假設存在滿足題意的 兩個定點 E 、F ，然后結合題設條件進行合情推理.根 據橢圓的第一定義知：在一般情況下，隨著參數 λ 取 值的變化，動點 P 的軌跡應該是一個橢圓，進而由題 設條件求得動點 P 的軌跡方程，再進一步求得兩定點 的坐標.一般地，若通過合情推理，得出與題設相矛盾 的結論，即表明不存在這樣的定點；若沒有產生矛盾， 即可得到定點的坐標.

通過對上述幾個例題的分析可知，在解答探索性 問題時，我們必須仔細分析題意，通過運用分析、判 斷、演繹推理、聯想、轉化、探索、猜想、驗證等多種方 法，尋找最佳的解題措施.同時，要注重培養探索、創新 精神，進一步提升解題的能力.

（作者單位：山東省膠州市第一中學）