由一道解析幾何問題引發的思考

婁超 楊雪梅

《數學通報》2021年第12期中刊載了江蘇省蘇州 實驗中學王弟成老師的《一類根與系數關系不對稱解 析幾何題解法探究與原因探析》一文，文中談及的根 與系數的關系不對稱的解析幾何問題比較常見，于是 筆者對這類問題進行了深入的研究，找到了解答此類 問題的幾種方法.下面結合例題進行探討.

例題：

解：

可以看出此時方程的根與系數的關系不對稱，我 們就不能直接用韋達定理建立關系式，那么該如何處 理呢？經過分析、研究，筆者總結了如下幾種求解思路.

思路1：運用特殊到一般思想

特殊到一般思想是指通過特殊情形了解一般情 形，從而得出一般規律的思想.運用特殊到一般思想解 題，可以根據題意選取合適的特殊數值、特殊函數模 型、特殊位置、特殊圖形，將其代入題設中建立關系 式，便可快速得出結論.再對所得結論進行驗證，即可 解題.

解：

我們先根據題意取特殊點 A（-1， 3 2 ） ，B（-1，- 3 2 ） ， P（-4， 3 2 ） ，即可快速確定直線 PB 的方程，得出 M 點的 坐標；然后根據韋達定理證明 -4 - my1y2 + 3y1 y2 - y1 = - 5 2 即可.

思路2：采用代入消元法

對于含有多個變量的代數問題，我們通?？刹捎?代入消元法來化簡代數式.先尋找變量之間的關系式， 用其中一個或兩個變量表示其他變量及其關系；再將 其代入代數式中，便可消去其他變量，減少變量的個 數，使得根與系數的關系式簡化.

解：

我們根據韋達定理將 y1y2 用 y1 + y2 表示出來，即 可將 x 的表達式化為只含有 y1 + y2 的式子，再通過簡 單的運算即可化簡根與系數的關系式.

思路3：利用求根公式

解：

利用求根公式求得一元二次方程的兩根，并將其 代入代數式中進行計算，即可化簡根與系數的關系式.

思路4：構造對偶式

當方程的根與系數的關系不對稱時，為了化簡代 數式，可以根據代數式的特征構造出對偶式，即改變 變量、符號，卻不改變代數式的結構，通過加減相消， 化簡根與系數的關系式.

解：

分別設 A（x1，y1） 與 B（x2，y2） ，B（x1，y1） 與 A（x2，y2） ，即 可構造出對偶式，將兩式相加，便可消去其中的部分 項，通過計算即可化簡根與系數的關系式.

思路5.利用幾何圖形的性質

對于解析幾何問題，我們不僅可以從曲線的方程 入手，還可以從圖形入手，根據圖形的特征添加輔助 線，利用三角形、圓、平行四邊形、梯形的性質來建立 幾何關系式，以使問題獲解.

解：

對于解析幾何問題，同學們要學會將數形結合起 來，通過研究圖形來建立幾何關系，把幾何關系用數 量表示出來，即可快速解題.

總之，對于這類方程的根與系數的關系不對稱的 解析幾何問題，同學們可將其視為代數問題，通過消 元、代換、構造對偶式來化簡代數式，也可將其視為幾 何問題，通過幾何關系、利用幾何圖形的性質來尋找 解題的思路.根與系數的關系不對稱的解析幾何問題 是一類非常規問題，同學們需打破思維定式，另辟蹊 徑，才能破解難題.

（作者單位：山東省東營市第一中學）