例談兩類數列問題的解法

韓雅雅

數列是數學高考中重點考查的內容之一.數列問 題側重于考查同學們綜合運用等差和等比數列的定 義、通項公式、前n項和公式以及性質解題的能力.常 見的數列問題有：（1）求數列的通項公式；（2）求數列 的前n項和；（3）證明數列不等式.下面主要探討一下 兩類數列問題的解法.

一、求數列的通項公式

對于簡單的等差、等比數列的通項公式問題，通 ?？筛鶕炔?、等比數列的通項公式進行求解.而對于 較為復雜的遞推數列通項公式問題，往往需運用累加 法、累乘法、構造法等來求解.一般地，若遞推關系式形 如 an + 1 = f （n） + an ，則采用累加法求解；若遞推關系式 形如 an + 1 = f （n）an ，則采用累乘法求解；若遞推關系式 形如 an + 1 = qan + p?q n + 1 、an - an + 1 = kan + 1an（k ≠ 0） ，則采 用構造法求解.

例1

解法1

在已知遞推關系式的左右兩邊同除以 5n + 1 ，可得 bn + 1 - 1 = 2 5（bn - 1） ，根據等比數列的定義，即可判定數 列{bn - 1} 為等比數列.利用等比數列的通項公式求得 bn ，即可求出 an .

解法2

一般地，對于形如 an + 1 = kan + p （ k，p 為常數， kp ≠ 0 ）的遞推關系式，需將其設為 an + 1 + m = k（an + m）， 用待定系數法構造出等比數列 {an + m} .對于形如 an + 1 = qan + p?q n + 1 （ n ∈ N? ）的遞推關系式，可在該式的 兩邊同除以 q n + 1 ，將它化成 an + 1 q n + 1 = an q n + p ，即可用待定 系數法構造出數列等差數列 ì í ? ü ? ? an q n ，利用等差數列的 通項公式求數列{an} 的通項公式.對于形如 an - an + 1 = kan + 1an（k ≠ 0） 的遞推關系式，可在該式的兩邊同除以 an + 1an ，將其變形為 1 an + 1 - 1 an = k 的形式，從而構造出 等差數列{ } 1 an .

二、分奇偶項求和問題

有些數列中的奇數項和偶數項呈現出不一樣的 規律，如奇數項為正數，偶數項為負數；奇數項為等差 數列，偶數項為等比數列；奇數項為整數，偶數項為分 數；等等.遇到這種情況，通常要分奇偶項進行求和，即 根據奇數項、偶數項的規律，分兩組：奇數項為一組、 偶數項為一組，分別進行求和.

例2

解：

對于這類分奇偶項求和的問題，一般需采用分組 求和法求解，即分奇數項與偶數項分別進行求和.本題 中 bn ={3 - 2n，n為偶數， 2n - 3，n為奇數， 當n為奇數、偶數時數列的通項 公式有所不同，需分 n = 2k，n = 2k - 1（k ∈ N ） ? 且 n ≠ 1和 n = 1三種情況進行討論，運用等差數列的前n項和公 式進行求和.

不難發現，采用相應的手段，復雜的數列問題都 可以轉化為等差數列、等比數列問題，或簡單的計算 問題.這就要求我們在解題時，仔細研究數列各項的規 律和遞推關系式的結構特征，對其進行合理的變形、 構造，以使問題得以轉化，達到化難為易的目的.

（作者單位：甘肅省寧縣第二中學）