局部強緊空間的若干性質

鄧夢其，蔡 琳，李美琪，張文鋒

（江西科技師范大學大數據科學學院，江西 南昌 330038）

1 前言

作為連續domain[1]和廣義連續格[2]的共同推廣，Gierz、Lawson 和Stralka[3]引入了擬連續domain 的概念，并證明了具有Scott 拓撲的擬連續domain 正是分配超連續格的譜。擬連續domain 具有許多類似于domain 的性質。目前，這方面的研究已經取得了許多顯著的成果[4-10]。擬連續domain 通常是按序理論方式定義的，但它們也存在拓撲式描述（比如局部強緊空間[10]）。局部強緊空間由于其在拓撲學、范疇論、序論和計算機科學方面的應用已被人們廣泛研究[10-12]。

在一般拓撲空間中，兩個緊集的交不一定是緊的。Lawson[13]引入了性質M，證明了對于連續domain P，任意兩個Scott 緊上集的交仍是Scott 緊的當且僅當P 關于某一（任一）基滿足性質M。其后，張文鋒和徐曉泉[14]引入了性質MF，證明了對擬連續domain P，任意兩個Scott 緊上集的交是Scott 緊的當且僅當P 關于某一（任一）基具有性質MF。本文將繼續討論局部強緊空間的一些性質，并進一步研究局部強緊空間上的緊性問題，同時給出了局部強緊空間上任意兩個緊上集的交仍是緊的一個等價刻畫，推廣了擬連續domain 上的相關結果。

2 預備知識

設P 為一偏序集，令P（＜ω）＝{F?P ：F 是有限的}，Fin P ＝{↑A ：A∈P（＜ω）}。對?x∈P，A?P，令↑x ＝{y∈P ：x ≤y}及↑A ＝∪a∈A↑a 。A 稱為P中的上集，若A ＝↑A。對偶地可以定義↓x 和↓A。D?P 稱為定向集，若D 是非空的，且對?d1，d2∈D，?d3∈D 使得d1，d2≤d3。P 稱為定向完備偏序集（簡記為dcpo），若對任意定向集D?P，∨D 存在。

設P 是偏序集，P 上的全體上集構成的拓撲稱為Alexandroff 拓撲，記作α（P）。U?P 稱為Scott 開集，若U 滿足：（1）U ＝↑U；（2）對任意定向子集D?P，當∨D 存在且∨D∈U 時，有DU ≠?。P 上的全體Scott 開集構成的拓撲稱為Scott 拓撲，記作σ（P）。以{P ↓x ：x∈P}為子基生成的拓撲稱為上拓撲，記為ν（P）。P 上一拓撲τ 稱為序相容的，若ν（P）?τ?α（P）。

設（X，τ）是一個拓撲空間，A?X。符號clτA 和intτA 分別表示A 關于τ 的閉包和內部。A 稱為空間（X，τ）的緊子集，若A 的每個開覆蓋有有限子覆蓋。

對任意T0空間（X，τ），X 上的特殊化序“≤”定義如下：x ≤y ?x∈clτ{y}。若X 是T0的，則≤是X上的一個偏序。本文中關于T0空間的所有序理論的陳述和概念（包括上集和下集等）都是指特殊化序。

定義2.1[10]一個T0空間（X，τ）稱為局部強緊空間，若?x∈U∈τ，?F∈X（＜ω）使得x∈intτ↑F?↑F?U。

定義2.2[1]設X 為一個dcpo。

（1）一非空集族Φ?2X稱為定向的，若?H，K∈Φ，?G∈Φ 使得G?↑H↑K。

（2）?A?X 及?x∈X，稱A way below x，記為A?x，若對任意定向集D?X，x ≤∨D?D↑A≠?。

（3）X 稱為擬連續domain，若?x∈X，集族{↑F∈Fin X ：F?x}是定向的且↑x ＝∩{↑F∈Fin X：F?x}。

定理2.1[1]一個dcpo X 為擬連續domain??x∈X 及U∈σ（X），x∈U??F∈X（＜ω）使得x∈intσ（X）↑F?↑F?U。

推論2.1 一個dcpo（X，σ（X））是局部強緊空間?X 為擬連續domain。

定理2.2 表明，dcpo P 上的Scott 拓撲σ（P）具有Rudin 性質。

3 主要結果

引理3.1 設（X，τ）為T0空間?？紤]以下條件：

（1）（X，τ）是局部強緊的；

（2）對（X，τ）中的任一緊集K 及U∈τ，若K?U，則?F∈X（＜ω）使得K?intτ↑F?↑F?U；

則（1）?（2）?（3）。若（X，τ）具有Rudin 性質，則（3）?（1）。

證（1）?（2）：由[Proposition 3.1，10]。

推論3.1 設（X，τ）是局部強緊空間且K?X。則以下兩條件等價：

（1）K 在（X，τ）中是緊的。

（2）?F∈X（＜ω）使得K ＝↑F。

下面給出本文的主要結果。

定理3.1 設（X，τ）是局部強緊的?？紤]以下條件：

（1）任意兩個緊上集的交仍是緊的。

（3）對任意兩個緊上集A，B，存在一個定向族Φ?Fin X 使得A B＝∩Φ。

則（1）?（2）?（3）。若（X，τ）具有Rudin 性質，則（3）?（1）。

證（1）?（2）：由引理3.1。

由定理2.2 及定理3.1，得到下述推論：

推論3.2 設τ 是dcpo P 上序相容拓撲且τ?σ（P）。若（P，τ）是局部強緊空間，則下列兩條件等價：

（1）任意兩個緊上集的交仍是緊的。

推論3.3[14]設P 為擬連續domain。則以下兩條件等價：

（1）任意兩個Scott 緊上集的交仍是Scott 緊的。

4 結論

局部強緊空間是擬連續domain 的一種重要推廣，本文討論了局部強緊空間的一些性質，特別研究了局部強緊空間上任意兩個緊上集的交在什么條件下仍是緊的緊性問題。給出了其上任意兩個緊上集的交仍是緊的一個等價刻畫，推廣了擬連續domain 上的相關結果。