一類具有時滯的SIR傳染病模型的穩定性與Hopf分支

李偉南,廖茂新,李冰冰

(南華大學 數理學院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

近年來,國際上傳染病動力學的研究極為迅速,大量的數學模型被用于分析各種各樣的傳染病問題。Kermack-McKendrick模型是傳染病模型中最經典、最基本的模型,后來學者對該模型進行了不同角度的研究,在研究過程中,研究者們發現人體受到感染后,感染初期并不會表現出任何的癥狀,在一段時間之后,某些癥狀才會逐步表現出來[1-3]。研究初期人們并未考慮到時滯延遲因素,后來研究者們發現引入時滯(單或雙時滯)因素,如疾病的潛伏周期,免疫周期以及恢復周期等得到的結果更加逼近實際[4-7]。對此方面的研究已經取得了很多成果,為更加有效的預防和治療傳染病提供了依據[8-9]。

基于前人既有的研究成果,本文在文獻[10]一類具有非線性發生率和恢復率的修正SIR模型中,引入時滯得到以下模型:

(1)

式中:S(t)、I(t)、R(t)分別表示在t時刻易感染人群、已感染人群和恢復人群的數量;N(t)為t時刻的人口總數;K表示干預水平;α0和α1分別表示由于衛生保健資源的不足和亞人口感染造成的最小和最大人均恢復率;b為醫院床位數量對傳染病傳播的影響;A為人口的出生率;β為接觸率;μ為人口自然死亡率;γ為人群因病死亡率;τ為疾病的潛伏期。

考慮到生物學意義,假設該系統中所有參數均為非負數。

因系統(1)的前兩個方程中沒有出現R(t),所以只需考慮前兩個方程即可,其中R(t)=N(t)-S(t)-I(t)。

(2)

1 模型的動力學分析

1.1 平衡點的穩定性

定理1當R0<1,無病平衡點E0是局部漸進穩定的;R0>1,無病平衡點E0是不穩定的。

(3)

系統(3)對應的特征方程為

(4)

特征值λ1=-μ,λ2滿足

(5)

當R0<1時,假設λ=α+βi,則代入式(5)可得

由于R0<1,則Re(λ)<0,特征方程(4)所有根具有負實部,所以當R0<1時,無病平衡點E0是局部漸進穩定的。

則f(λ)=0必存在一個正實根,因此當R0>1,無病平衡點E0是不穩定的。

引理1當R0>1,τ=0時,系統(2)滿足文獻[10]中定理3的條件,則正平衡點(S*,I*)是局部漸進穩定的。

證明:系統(2)在正平衡點(S*,I*)附近對應線性近似系統為

(6)

則系統(6)可以改寫為:

(7)

系統(7)的特征方程為:

λ2-(m0+m3)λ+m0m3+e-λτ((m2-m1)λ+

m1m3-m0m2)=0。

(8)

當τ=0時,方程(8)為

λ2+(m2-m1-m0-m3)λ+m0m3+m1m3-

m0m2=0。

根據文獻[10]定理3有

(H1)m2-m1-m0-m3>0,

m0m3+m1m3-m0m2>0。

根據Routh-Hurwitz準則,當R0>1,τ=0時,正平衡點(S*,I*)是局部漸進穩定的。

引理2當τ>0時,方程(8)有一對純虛根。

證明:當τ>0時,設λ=ωi(ω>0)是方程(8)的純虛根。代入方程(8)進行分離實部和虛部可得

(9)

將式(9)兩邊平方之后相加可得

(10)

令Z2=ω,則式(10)變為

(11)

假設滿足

則方程(11)存在唯一正實根

其中

顯然,方程(10)僅有一個正實根

把ω0代入(9)式可得

(12)

將方程(8)對τ求導可得

計算再有

則有

根據上述引理2、引理3、引理4,結合Hopf分支定理,可以得到如下結論:

定理2當τ>0且R0>1時,若條件(H2)、(H3)滿足,則當τ∈[0,τ0),τ0=min(τk)時,系統(2)的平衡點是局部漸進穩定的;當τ>τ0時,系統(2)的平衡點是不穩定的;在τ=τ0時,系統(2)在平衡點處出現Hopf分支。

2 數值模擬

當系數取A=1,β=0.5,k=1,μ=0.1,r=0.2,α0=0.2,α1=0.3,b=0.05時,系統(2)為

此時,R0=8.3>1,τ0=8.0,系統(2)存在唯一的正平衡點,且正平衡點是局部漸進穩定的,選擇τ=7<τ0(見圖1);在同樣的參數條件下,選擇τ=9>τ0,此時正平衡點不再穩定(見圖2)。

圖1 系統(2)的平衡點漸進穩定(τ=7<τ0)

圖2 系統(2)的平衡點失去穩定性,并產生Hopf分支(τ=9>τ0)

3 結 論

本文討論了一類具有非線性發生率和恢復率的修正的SIR模型,在引入潛伏期作為時滯參數后,對地方病平衡點和正平衡點進行穩定性分析,得到了系統(2)局部漸進穩定和Hopf分支產生的充分條件,并利用數值模擬驗證了理論分析的正確性。