具有4個相異指數隨機變量的串聯系統的條件樣本間隔

張正成， 鐘新澳

（海南師范大學 數學與統計學院，海南 ?？?571158）

令Xi,n是獨立且非負的隨機變量X1,X2,…,Xn中第i個順序統計量?；陧樞蚪y計量的樣本間隔對應于生存領域系統中元件連續失效時刻之間的差:其被分別稱為樣本間隔和標準樣本間隔。過去許多學者研究了和之間的隨機性質，例如，當元件壽命是任意連續分布且具有遞減的失效率時，Pledger 和Proschan[1]得到了，i∈{1, 2, …,n- 1}，Kochar和Korwar[2]將此結論從普通的隨機序意義下加強到了似然比序意義下。關于更多它們的隨機性質參考文獻[3-4]。

指數分布及其對應的順序統計量以及樣本間隔在許多領域都發揮著重要作用，許多學者已經對獨立不同分布的指數變量的樣本間隔之間的隨機性質進行了研究，例如Kochar和Rojo[5]等。Bapat和Beg[6]研究了樣本中具有不同失效率參數的獨立指數隨機變量的順序統計量的分布理論及間隔性質；最近Zhang等[7]指出，由n個元件構成的串聯系統在某時刻失效時系統中還剩余n- 1個沒有失效的元件，這些沒有失效的元件可以用來進行壽命試驗，也可以用到其他系統中去。此外他們把這些沒有失效元件的壽命看作是一組新的樣本，這些新樣本構成的樣本間隔被稱為條件樣本間隔，即Xi,n|X1,n=t)，i∈{1, 2,…,n- 1}，t> 0，在給定的元件壽命是獨立同分布且為任意連續隨機變量時，Zhang 等[7]研究了條件樣本間隔的生存函數及其隨機性質。

對于元件壽命是獨立不同分布的情況截至目前還沒有研究者給予關注。因此本文主要研究基于具有不同失效率參數的獨立指數隨機變量的串聯系統在某時刻失效時的條件樣本間隔及其各種性質。

定義1假設X和Y是2個元件的壽命，其分別具有分布函數F(x)和G(x)，以及對應的概率密度f(x)和g(x)，分別用= 1 -F(x)和= 1 -G(x)來表示其各自的生存函數。如果對于所有的x，有≤，那么在普通隨機序意義下，隨機變量X比Y隨機小，記作：X≤stY，可參考文獻[8]。

定義2令x=(x1,x2,…,xn)和y=(y1,y2,…,yn)是兩個n維向量，并用x(1)≤x(2)≤…≤x(n)和y(1)≤y(2)≤…≤y(n)分別表示x和y的分量按遞增順序的重新排列。對于j∈{1, 2,…,n- 1}，如果，并且，則稱x在占優序意義下小于等于y，記作x≤my。一個定義在集合A ?Rn上的實值函數?如果滿足以下條件：

那么此函數在集合A上被稱為是舒爾凸(凹)的，詳情請參考文獻[9]。

在本文中，我們使用“遞增”和“遞減”分別表示“不減”和“不增”的含義。

1 主要結論及證明

令Xi是獨立指數分布并且分別具有失效率參數λi(i= 1,2,3,4)，設s=λ1+λ2+λ3+λ4，那么對于i=1,2,3和固定的t> 0，令=(Xi+1,4-Xi,4|X1,4=t)和=(4 -i)(Xi+1,4-Xi,4|X1,4=t)分別表示基于具有4個獨立指數分布元件的串聯系統的條件樣本間隔和標準條件樣本間隔。

對于固定時刻t> 0，第一個條件樣本間隔(X2,4-X1,4|X1,4=t)的生存函數為

上述倒數第二個不等式成立是因為

其中{i,j,k,m}是{1, 2, 3, 4}的任意排列。

如上述第一個條件樣本間隔的生存函數所示，可以得到

定理1對于固定的t> 0，的生存函數關于(λ1,λ2,λ3,λ4)是舒爾凸的。

證明在每一個固定點x> 0，對于i= 1,2,3,4，顯然λieλix關于λi是凸的。因此由文獻[10]可知，對于x，間隔的生存函數關于失效率參數(λ1,λ2,λ3,λ4)是舒爾凸的，即結論成立。

對于固定時間t和任意的x> 0，條件樣本間隔(X3,4-X2,4|X1,4=t)的生存函數為

另外，在式（1）的最后一個等式中，對于固定的t> 0和任意的x> 0，條件概率P(X3,4-X2,4>x|X1,4=Xi=t)的計算過程如下:

綜上所述，由等式(2)可得第二個條件樣本間隔的生存函數為

注1 由式(3)可知，給定一個由4個獨立但不同指數分布的元件構成的串聯系統壽命為Xi的元件在t時刻失效時，第二個條件樣本間隔的生存函數不依賴于其壽命。

此外，對于固定的時間t和任意的x> 0，第三個條件樣本間隔的生存函數為

根據順序統計量的馬爾可夫性，我們計算上式中最后一個等式的條件概率P(X4,4-X3,4>x|X1,4=Xi=t)如下：

其中式（4）中第四個等式的成立基于以下事實：

并且式(4)中第三個等式的條件概率P(X2,4=Xj=y|X1,4=Xi=t)的計算如下：

綜上所述，由等式(4)可知第三個條件樣本間隔的生存函數如下：

對于任意的x> 0、y> 0、z> 0和固定的時間t> 0，前三個間隔的聯合生存函數為

我們注意到，對于固定的t> 0,式(5)的最后一個等式中的積分計算如下：

其中式(6)中的第四個等式成立基于下述事實：

所以，對于固定的t> 0,對上式求和如下：

因此，由式(5)和式(6)可知，對于任意的x> 0,y> 0,z> 0,

其中最后一個等式中的積分計算如下：

上式中第三個等式的成立基于下述式(9)和式(10)的計算結果：

因此，

又由于對于固定的t> 0且i≠j時，可以得到式(8)中第三個等式的條件概率P(X2,4=Xj=z|X1,4=Xi=t)的計算過程如下：

綜上所述，由式(7)、式(8)和式(11)可以得到

下面求條件樣本間隔的期望和方差：

定理2對于所有的x≥0，固定時刻t> 0，。

證明由上述結論可知，