研究課程標準 積累解題經驗 發展核心素養

余樹寶 王鵬

[摘 ?要] 立體幾何是高考的重要考點之一，問題的解決對學生的必備知識、關鍵能力以及學科素養等方面有著較高要求，因此備考復習要注重高考真題的教學實踐與思考;要研究課程標準，明確備考方向;要關注重要問題，積累解題經驗;要提升關鍵能力，發展核心素養.

[關鍵詞] 高考;立體幾何;教學;思考

立體幾何是高中數學重要的教學內容之一，兼具高考指導性的《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》對于立體幾何的“教學提示”為：教學最主要的任務是幫助學生逐步形成空間觀念，認識空間幾何體的結構特征，掌握平面上表示空間圖形的方法和技能. 引導學生發現和提出描述基本圖形平行、垂直關系的命題，逐步學會用準確的數學語言表達這些命題，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路，并證明其中一些命題.鼓勵學生靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題（如距離問題），通過對比體會向量方法的優勢[1].

因此，高考對立體幾何的考查一般聚焦于空間幾何體中線面平行或垂直的論證、空間角（特別是二面角）的求解等問題，由此來考查學生的空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力等關鍵能力，考查學生的理性思維和數學素養.

針對這一重要考點，筆者近日開展了2022年高考全國乙卷理科數學第18題立體幾何問題的教學，下面以此為例，談談筆者的教學過程、設計意圖以及教學思考，供同行參考.

真題再現

如圖1所示，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點.

（1）證明：平面BED⊥平面ACD;

（2）設AB=BD=2，∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.

試題分析

該題的第（1）問是近年來高考高頻考點，考查兩個平面垂直的判定，考查學生的邏輯思維能力和空間想象能力. 問題解決的關鍵是將面面垂直問題先轉化為線面垂直問題，再轉化為線線垂直問題，滲透著轉化與化歸數學思想.

第（2）問是本題的難點，考查線面角的求解，有別于往年考查二面角的求解.解決此類問題通常有兩種方法——幾何法和向量法.幾何法求解主要分為兩步——找角和求角，以考查學生的邏輯思維能力為主;向量法一般是先建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算解決問題，以考查學生的運算求解能力為主. 兩種方法各有優勢，但無論用哪種方法，“推理”和“運算”都是不可缺少的，所以說推理是數學的“命根子”，運算是數學的“童子功”.

第（2）問若用幾何法求解，先要說明△AFC的面積最小時，EF⊥BD，再證明∠CFA就是CF與平面ABD所成的角，最后在△AFC中求∠CFA的正弦值. 若用向量法求解，還是先要說明EF⊥BD，確定F點的位置，接著分別以EA，EB，ED為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，寫出需要的點的坐標，再求向量和平面ABD的法向量所成的角的余弦值，從而可得直線CF與平面ABD所成的角的正弦值.

教學過程

美國教育家杜威說過，教學絕不僅僅是一種簡單的告訴，教學應該是一種經歷、一種體驗、一種感悟.為了更加有利于學生解題經驗的積累、關鍵能力的提升和數學素養的發展，本節課采用的是基于情境、問題導向的啟發式、互動式、探究式教學.

1. 面面垂直問題

問題1 如何證明兩個平面垂直？

生1：要證明平面與平面垂直，根據面面垂直的判定定理，只需證明其中一個平面經過另外一個平面的一條垂線即可.

追問1 如何證明直線與平面垂直？

生2：要證明直線與平面垂直，根據線面垂直的判定定理，只需證明這條直線與平面內的兩條相交直線垂直即可.

設計意圖 巧婦難為無米之炊.沒有數學基礎知識的支撐，就不可能有基本技能和思想方法的形成，也就不可能有解題經驗的積累.所以數學中的概念、原理、性質等基礎知識必須在復習教學中系統化、深刻化展現出來，要求學生學懂弄通，爛熟于心.

追問2 如何證明本題第（1）問中的平面BED⊥平面ACD？

生3：本題可以先證明AC⊥DE，AC⊥BE，從而得到AC⊥平面BED，由此證明平面BED⊥平面ACD.

追問3 你能規范地書寫出第（1）問詳細的解答過程嗎？

生4：因為AD=CD，∠ADB=∠BDC，且BD為公共邊，故△ADB≌△BDC，故AB=BC. 又E為AC的中點，故AC⊥DE.同理可證AC⊥BE. 因為DE∩BE=E，且DE，BE?平面BED，所以AC⊥平面BED. 又AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.

所有學生獨立完成，兩位學生板書，教師點評并糾正.特別強調解答過程表述的嚴謹性、邏輯性和規范性.如證明AC⊥DE，AC⊥BE后，不能直接得到AC⊥平面BED，應該說明DE，BE是平面BED內的兩條相交直線.

追問4 第（1）問適合用空間向量法來解決嗎？

生5：第（1）問不太適合用空間向量法來解決，否則過程煩瑣.

教師提醒學生適合才是最好的.兩種方法要靈活選擇，第（1）問不太適合用空間向量法來解決，所以不要刻意使用.一般來說，空間幾何中平行與垂直的論證問題用綜合幾何法來解決更好，當然這種方法對學生的邏輯思維能力有較高要求.

設計意圖 通過設置層層遞進的問題，一方面幫助學生復習回顧面面垂直、線面垂直的判定定理;另一方面引導學生剖析本題第（1）問的證明思路——由線面垂直得到面面垂直，符合學生的認知規律，也能提高學生的推理論證能力. 同時，通過解答過程的書寫培養學生數學語言表達能力，提高答題的嚴謹性、規范性.

2. 線面夾角問題

問題2 什么叫直線與平面所成的角？

生6：直線與它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線與平面所成的角.

教師提醒學生這是斜線與平面所成的角的定義. 若直線與平面垂直，我們定義它們所成的角為90°;若直線與平面平行或在平面內，我們定義它們所成的角為0°. 因此直線與平面所成的角的范圍是0°≤θ≤90°，直線與平面所成的角的正弦值與余弦值均為非負數.

追問1 對于本題第（2）問，你是如何解決的？

生7：從方法選擇上來說，我感覺線面角的平面角不容易找到，所以此問用空間向量法來解決更好，即求向量和平面ABD的法向量所成的角的余弦值，即得直線CF與平面ABD所成的角的正弦值.

學生的選擇要給予肯定，接下來教師順應學生的思路繼續開展教學活動.

追問2 用空間向量法需要建立空間直角坐標系，那你是如何建系的？

生8：由（1）知AC⊥DE，AC⊥BE，我覺得以E為原點，分別以EA，EB，ED為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系最好.

追問3 DE⊥BE嗎？

生8：估計是垂直的.

史寧中教授曾指出：“在大多數情況下，數學的結果是‘看出來的而不‘證出來的.”生8雖然遇到了問題瓶頸，但他能憑借自己的直觀想象去大膽猜測，這是值得鼓勵的. 此處確實也是解決第（2）問的一個關鍵點.教師提醒學生從題設中所給的數據信息出發，嘗試證明DE⊥BE.

生9：可以證明DE⊥BE. 由已知得△ABC為正三角形，故BE=.△ADC為等腰直角三角形，故DE=1.又BD=2，故BD2=BE2+DE2，從而可證DE⊥BE.

生9的思路清晰，表達準確，教師給予了表揚.

設計意圖 通過以上問題的分析與解決，旨在強調建立適當的空間直角坐標系是用空間向量法解決空間角問題的首要前提. “適當”的坐標系有利于點、直線方向向量、平面法向量坐標的求解以及向量間的坐標運算，也有利于發展學生的直觀想象、邏輯推理等數學核心素養.

追問4 建立坐標系后（如圖2所示），為了求向量和平面ABD的法向量m的坐標，需要寫出哪些點的坐標？你能寫出哪些？

生10：我可以寫出A（1，0，0），B（0，，0），D（0，0，1），C（-1，0，0），但點F的坐標不知道.

這又是解決第（2）問的一個關鍵點.教師提醒學生從題設所給的條件“點F在BD上，△AFC的面積最小”中尋求并確定點F的位置.

生11：我認為，△AFC的面積等于AC·EF，由于AC=2是確定的，所以當EF的長最小，即EF⊥BD時，△AFC的面積最小. 于是在直角三角形DEB中，DF==，故F是DB的四等分點，于是點F的坐標為0

，

，.

生11回答得很有條理，邏輯性強，教師給予了表揚.

追問5 如何求向量和平面ABD的法向量的坐標？

生12：=1

，

，. 設平面ABD的法向量m的坐標為（x，y，z），則由m⊥，m⊥得m·=0，m·=0. 又=（-1，，0），=（-1，0，1），故-x+

y=0，

-x+z=0，取x=1，得m=1

，，1.

追問6 如何求直線CF與平面ABD所成的角的正弦值？

生13：設直線CF與平面ABD所成的角為θ，向量和平面ABD的法向量m所成的角為φ，則sinθ=

cosφ

==.

學生在這一步運算中，往往結果容易出錯，教師強調準確性很重要，提醒學生要細心.

追問7 為什么sinθ=

cosφ

，有哪位同學能解釋一下嗎？

生14：直線與平面所成的角的范圍為0°≤θ≤90°，而直線的方向向量與平面的法向量所成的角的范圍是0°≤φ≤180°，又直線與平面所成的角θ和直線的方向向量與平面的法向量所成的角φ或其補角π-φ“互余”，所以直線與平面所成的角θ的正弦值和直線的方向向量與平面的法向量所成的角φ的余弦值的絕對值相等，即sinθ=

cosφ

.

設計意圖 通過以上問題的分析與解決，旨在讓學生積累空間角的求解經驗，發展學生的數學運算素養. 提醒學生在運算求解過程中，既要注重運算路徑的合理性、運算速度的敏捷性，更要注重運算結果的準確性.

問題3 若第（2）問不用向量法，改用幾何法可以解決嗎？解決問題的關鍵是什么？

生15：用幾何法可以. 問題解決的關鍵是“找到”或“作出”直線CF與平面ABD所成的角的平面角，即找到直線CF與其在平面ABD上的射影所成的角.

追問1 直線CF在平面ABD上的射影在哪個位置？你能找到嗎？

這是用幾何法求空間角的關鍵點，也是難點，考驗學生的空間想象能力和邏輯思維能力，此時教師引導學生去思考.

生16：根據前面的分析，BD⊥平面ACF. 若過點C作CM⊥AF，垂足為M，則易證CM⊥平面ABD. 于是直線CF在平面ABD上的射影就是直線AF，故直線CF與平面ABD所成的角的平面角是∠CFA.

追問2 接下來，如何求∠CFA？

生17：這個問題簡單. 在△ACF中，AC=2，不難求出AF=CF=，利用余弦定理可得cos∠CFA=-，于是CF與平面ABD所成的角的正弦值為.

追問3 你能分別用向量法和幾何法規范寫出第（2）問的解答過程嗎？

學生梳理解答思路，書寫詳細的解答過程，教師給予點評與糾正，再次強調語言表達的邏輯性、書寫的規范性.

設計意圖 通過上述問題的分析與解決，一方面提醒學生用幾何法解決空間角問題也有它的有效性和優越性，優點在于“求角”運算量小，難點在于“找角”思維量大;另一方面強調一題多解對優化解題路徑、發散數學思維都非常重要.

問題4 通過本節課的教學，你對立體幾何問題的解決有什么心得？

設計意圖 旨在讓學生去回顧本節課的教學過程，總結、歸納本節課涉及的基礎知識、基本技能、基本思想方法和基本數學活動經驗，厘清面面垂直的證明和線面角的求解路徑，體會幾何法與向量法適用的問題情境和各自的解題優勢，并能在以后的解題中靈活應用.

教學思考

1. 研究課程標準，明確備考方向

研究是有效教學的前提. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020修訂）》是高考命題的綱領性文件，它對高中階段的學業要求做了明確的闡述.備考教學對于立體幾何要緊緊圍繞空間幾何體的結構特征及其表面積、體積，空間點、線、面的位置關系（尤其是平行與垂直）及其夾角、距離等問題開展教學，注重學生空間觀念的形成，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，指導學生會用準確的數學語言表示空間圖形、表達位置關系、表述解題思路，會用向量法研究空間圖形的位置關系和度量關系，注重立體幾何的基礎性、綜合性、應用性和創新性.

2. 關注重要考點，積累解題經驗

問題是數學的心臟.縱觀歷年全國卷高考試題，不難發現，高考對立體幾何的考查主要集中于直線與平面、平面與平面平行和垂直的論證及空間角的求解（尤其高頻考查垂直的論證、二面角的求解）. 因此在備考教學中，大家要突出重要題型的解題教學，要注重例題選擇的典型性、代表性，注重學生課堂參與的積極性、主動性，注重問題解決方法的規律性、多樣性，特別要注重數學本質、通性通法. 鼓勵學生靈活選擇運用向量法與幾何法，從不同角度解決立體幾何問題（如距離問題），通過對比體會兩種方法的共性和差異.

3. 提高關鍵能力，發展核心素養

學科素養是育人價值的體現. 關鍵能力是認識問題、分析問題、解決問題應具備的能力，是學科素養的細化.在立體幾何教學中，教師要重點提升學生的空間想象、邏輯思維和運算求解能力，以此來發展學生的直觀想象、邏輯推理和運算求解等數學核心素養. 如通過線面平行或垂直的論證、空間角的平面角的尋找來發展學生邏輯推理和直觀想象素養;通過空間幾何體的表面積、體積及空間角、距離的計算來發展學生的數學運算素養. 在教學中，教師要創設合適的情境、問題，引發學生獨立思考與合作交流，提升學生的關鍵能力，發展學生的核心素養.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.