數學文化視域下的高中數學課例探究

王紅 陳偉

[摘 ?要] 文章基于數學文化研究視角，結合高中數學教材中的章節內容“橢圓及其標準方程”展開對數學高效課堂構建方法的探究，以期找出一條案例分析路徑，為數學高效課堂教學提供一種思路.

[關鍵詞] 數學文化;高效課堂;構建;思路

問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱《標準》）明確提出了這樣的要求：數學教育活動一定要和數學文化進行整合與對接，才能夠全面激發學生的學習興趣，全面拓寬他們的視野，進一步延展他們的思維. 數學文化的引入和滲透，是提升學生數學素養良好的機會. 數學文化也是數學教學當中不可或缺的一個重要內容. 數學文化對于學生核心素養的提升以及正確價值觀念的形成都具有十分重要的導向性作用[1].

那么問題隨之而來了，到底什么是數學文化呢？從廣義上講，數學文化被涵蓋到科學文化的范疇體系中，即以數學科學體系作為基本核心，同時圍繞這一個核心進行思想的滲透和方法的創新. 但是從狹義來看，數學文化是一種隱性的文化內容. 狹義的數學文化關注的是數學歷史價值的呈現以及數學學科對人們精神思維的影響. 總而言之，數學文化是各種數學精神和數學觀點的相互整合，是在人類文明不斷向前發展過程中所積累起來的最寶貴的財富[2].

所以要想促使學生真正喜歡數學，并且產生數學學習興趣，就必須走出傳統的授課思路，學會運用創新的教學思維來開展數學教學工作，由此迎來新的教育契機. 基于此背景，筆者以數學文化為切入點，結合“橢圓及其標準方程”課例展開數學高效課堂的構建，以文化思想內涵去感染學生，樹立學生學習數學的信心，激發學生學習數學的動力.

課堂實錄

1. 講好數學故事，滲透數學文化

一些學生認為數學是一門充滿理性的工具性學科，與“人文”二字相去甚遠. 因此，教師要將數學文化融入數學課堂，當學生對數學知識背后的文化有更深度的理解和把握后，就會親近數學知識. 在本章節課本知識的講解與探索中，激發學生對旦德林（Dandelin）雙球實驗產生學習興趣，最終使學生渴望運用數學知識來解答數學問題[3].

實錄1 學生查閱背景故事：古希臘哲學家柏拉圖認為，宇宙中的天體是完美的化身，而在所有的運動中，勻速圓周運動是最完美的. 而德國天文學家、數學家開普勒用了長達4年的時間，展開了大量的計算活動，最終得出結論：火星沿著日心經度計算總是與正圓軌道相差0.133度. 他認為這關鍵的8分恰恰是不能被忽視的，最終他決定和圓決裂. 在最開始的研究過程中，他試圖用雞蛋型或胖面型等一些非緣曲線進行計算，但遺憾的是，這些嘗試都以失敗告終. 在此之后，他開始用兩千多年前出現在古希臘的阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）橢圓進行計算，這次嘗試取得了巨大的成功，橢圓定律也隨之出現：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點上.

2. 引入生活場景，激發學生聯想

新課程提到了“學有用的數學”的理念，明確要求數學教學要緊密聯系學生的生活實際，充分創設生動有趣的情境，讓學生能夠在自己已有的生活經驗和知識儲備的基礎上，積極開展觀察活動、數學交流活動. 因此教師要善于創設真實場景，豐富教材內容，引導學生進行觀察、聯想，發現數學現象. 同時更要在課堂教學中根據教學內容，利用多媒體教學設備，從學生喜聞樂見的生活現象入手，引入新知識. 現代信息技術的發展，為教師提供了教學便利，教師可以利用圖片、動畫視頻以及音頻等呈現生活現象，帶給學生直觀體驗，喚起他們的生活經驗，集中學生的注意力. 教師當抓住學生急于揭開生活之謎的渴望并以此為基礎，提出一些新的問題和想法，積極帶領學生進入問題的探討環境. 教師當鼓勵學生進行交流和思考，在交流的過程中讓學生碰撞數學思想，讓他們的數學思維不斷延伸，從而對數學文化產生更深厚的認同感和信任感.

結合橢圓產生的過程，筆者引導學生發現一個個的生活情境.

實錄2 學生甲出示了一張油罐車的橫截面輪廓線的圖片，學生乙指出火腿腸片也是橢圓形的. “吃貨的眼里也有數學.”筆者笑道（給予肯定），“火腿腸可以看作一個圓柱體，火腿腸片是它的什么截面？”學生答道“斜截面”. 筆者繼續問道：“你們能不能現場就地取材演示圓柱體的斜截面是橢圓形的？”一陣討論后學生丙上臺，將筆者的圓柱體型的透明玻璃茶杯傾斜30°，“大家看杯中的水平面就是一個橢圓形的.”全場響起了掌聲. 通過此輪互動進一步激發了學生的學習熱情，鍛煉了學生觀察、動手的能力，調動了學生的思維.

3. 提出數學問題，助力發展邏輯思維

當學生對橢圓建立了感性認識后，筆者因勢利導提出了如下問題：“數學是研究空間形式和數量關系的一門學科，那么我們如何用一個數量關系來刻畫這些生活中的橢圓及橢圓上動點的屬性呢？”通過此問的探討，學生得出了橢圓上的點所滿足的條件，即

PF1

+

PF2

=2a. 在這個階段，依然將空間形式和數量關系的數學文化思想滲透到此次課題內容的討論中，以促使學生發掘生活中的數學文化.

實錄3 當學生學習了橢圓的定義后，筆者以小組合作的方式組織學生將事先準備好的木板、細繩、圖釘、鉛筆，按照橢圓的特征畫出了一個橢圓圖形，然后配合使用橢圓儀和多媒體演示橢圓的生成過程，并讓學生思考以下幾個問題：

第一，視筆尖為動點、兩個圖釘為定點，試問動點與兩個定點的距離和符合哪些條件？其軌跡又是怎樣的？

第二，若細繩長度等于兩個圖釘之間的距離，則畫出的圖形還是橢圓嗎？

第三，分別改變兩定點的距離和細繩長度對橢圓的扁圓程度有何影響？

此時，根據這些問題，引導學生投入到實踐探索中，由此引發學生的思想文化探究意識，讓學生從數學文化視角出發去探究橢圓的定義以及其方程形成歷程.

4. 定義回歸，辨析橢圓定義的內涵

《標準》對數學教學活動提出了以下要求：在有效的數學學習活動的支撐和影響下，讓學生的數學素養得到普遍性的提升. 但是有效的學習絕不是單純的模仿和記憶，學生的動手實踐以及合作交流是相當關鍵的.

實錄4 用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓. 那么，為什么截口曲線是橢圓呢？

如圖1所示，在圓錐內放入兩球O1，O2，它們都與圓錐相切（即與圓錐的每條母線相切）. 兩球O1，O2都與平面α相切，切點分別為F1，F2. 利用這個模型可以證明平面α與圓錐側面的交線為橢圓，F1，F2為此橢圓的兩個焦點，這兩個球也被稱為旦德林（Dandelin）雙球. 教師在具體的教學活動中可以用圓柱體替代圓錐體重新模擬“旦德林（Dandelin）雙球實驗”. 教師要帶領學生在實驗中積極主動地進行探究，使學生對橢圓焦半徑的基本性質有更深層的理解，不斷提升學生的邏輯思維能力和抽象思維能力[4].

5. 實踐應用，助力學生深化認知，提升能力

橢圓是描述天體運行軌跡時常用的曲線，也是生活中常見的曲線，它的光學性質在現實生活中的應用十分廣泛. 本文在此列舉幾個橢圓應用于生活的例子，供同行在教學中利用參考.

例1 航天和橢圓.

在學校的科技小組活動中，老師組織學生利用計算機去模擬航天器變軌的返回試驗. 軌跡方程為+=1，變軌（即航天器運行軌跡由橢圓變為拋物線）后返回的軌跡是以y軸為對稱軸，M

0，

為頂點的拋物線的實線部分，降落點為D（8，0）. 觀測點A（4，0），B（6，0）同時跟蹤航天器.

（1）求航天器變軌后的軌跡方程;

（2）假設航天器位于x軸上方，觀測點A，B測得離航天器的距離分別是多少時，應向航天器發出變軌指令？

解析 （1）設航天器變軌后的軌跡方程為y=ax2+，由題意可知，0=a·64+，所以a=-. 所以曲線方程為y=-x2+.

（2）設變軌點為C（x，y），聯立

+

=1，

y=-

x2+

，消去x得4y2-7y-36=0，解得y=4或y=-（與題意不符，舍去），所以x=6或x=-6（與題意不符，舍去）. 所以點C的坐標為（6，4），所以

AC

=2，

BC

=4.

答：當觀測點A，B測得AC，BC分別為2，4時，應向航天器發出變軌指令.

例2 生活中橢圓性質的妙用.

第二次世界大戰期間，意大利有一個專門關押盟軍俘虜的山洞. 有一次盟軍俘虜晚上商量好了逃跑計劃，但第二天被看守的意大利士兵發現了，在此之后，不管這些盟軍俘虜提出怎樣的逃跑計劃，總會被意大利士兵發現，泄露計劃的疑點落在了某位盟軍士兵身上……直到戰后，盟軍俘虜被解救了出來，才發現山洞的秘密：山洞中被關押的盟軍俘虜和看守的意大利士兵分別在兩個地方，盟軍俘虜每發出一點聲音，看守的意大利士兵所在的地方都聽得清清楚楚. 這是什么原因呢？下面用數學知識來解釋這個問題：山洞內部的空間是一個橢圓體，最大的截面為橢圓面. 關押盟軍俘虜的地方和意大利士兵所在的地方分別處于橢圓的兩個焦點上，因此盟軍俘虜所說的話經過反射總是會傳遞到意大利士兵那里.

為對這個問題繼續解釋和分析，可讓學生動起手來：先讓學生準備一個圓形的紙片，圓心用O點表示，F表示除點O外的圓面內的任意一點;然后讓學生翻折紙片，圓弧必通過F點，用彩色筆在折痕的位置上畫出不同的顏色. 繼續上述過程，繞圓心一周，最終會得到一個橢圓，那么為什么會出現這種情況呢？

由已經可得，點F關于折痕MN的對稱點A一定在圓O的弧上，連接OA，與折痕MN相交于B點，連接BF，則

AB

+

OB

=

FB

+

OB

=半徑（定值），所以點B在以O和F為焦點的橢圓上. （如圖2所示）.

通過對幾何知識進行分析可以得出結論：折痕MN所在直線是橢圓的切線，折痕MN上只有B點到O和F的距離的和最小.

下面再對原來的問題進行分析：盟軍俘虜位于橢圓的焦點上，看守的意大利士兵也位于橢圓的焦點上. 因為∠FBN=∠ABN=∠MBO，聲波由O傳遞到B，反射后沿BF的方向轉遞到F，所以意大利士兵能夠清晰地聽到盟軍俘虜說的每一句話.

世界上有很多建筑都應用了這一原理，其中比較著名的就是我國的天壇回音壁和英國的私語走廊，教師可以鼓勵學生去尋找生活中是否還有這樣的建筑.

教學反思

1. 在數學活動中滲透數學文化

曾經聽學生說過，“在課堂上睡覺是真的香！”不論這話真實與否，但至少反映出了課堂教學的一些問題. 除去學生本身的學習狀態不好外，教師就要思考課堂內容的趣味性了！“興趣”是學習的基石，正如教育學家烏申斯基所說：“如果學生對于學習活動沒有興趣卻又強制這種行為，那么會導致他們的欲望被扼殺.”因此這種情形的出現是相當危險的. 對于數學教師來說，應該探索出更多的具有趣味性的課堂環境.

2.以合作方式鼓勵學生探究數學文化

適當的合作探索依然是提升學生數學探究能力的重要方式與途徑，應該成為教師開展教學活動的核心，并且以此為基礎進行深度的合作交流活動以及探究活動[5]. 比如，教師可以積極引導小組內部成員深入研究和探索與數學文化相關的一些問題. 這樣學生就可以在相互溝通中表達自己的觀點和主張，完成好“橢圓及其標準方程”的基本學習任務.

比如，依然可以利用上述游戲活動，將活動的內容與過程加入合作環節，引導學生以小組的形式展開合作探究，改變單一、被動的學習方式，在操作中促使學生學習與探索數學知識，之后提出一些問題用以對比分析，如假設橢圓的焦點在y軸上，橢圓的標準方程是怎樣的？有哪些新發現？通過對比分析，學生就會發現只要交換坐標軸就可以實現橢圓方程在y軸上的變化，原理基本一致，通過探討學生又會形成對比分析方面的數學文化精神.

3.開展基于HPM理論的數學文化教學

HPM理論的研究者——華東師范大學汪曉勤教授說過，將數學文化融入數學教學活動中去，這無疑就搭建起了兩個最關鍵的橋梁. 其中一個橋梁實現了數學學科和人文學科的相互溝通，另外一個橋梁實現了歷史和現實領域的高度溝通. 這可以讓數學課堂更加展現人文關懷的色彩，能夠使歷史順序和邏輯順序高度統一. 如此一來，也就為學生搭建起了一個探究歷史的舞臺，為激發學生的探索欲創設了良好的環境[6].

4. 尊重個體差異，及時存疑，彰顯課堂人文關懷

在定義回歸環節中，利用“旦德林（Dandelin）雙球實驗”認識圓柱體的斜截面是橢圓形面時，部分學生出現了探求困難的情況. 此時，教師要尊重學生的個體差異，不要越俎代庖，可以將問題留作課后思考題讓學生有充分的時間去理解與感悟，跨越思維塹溝，獲取戰勝困難的信心. 適當的課堂存疑才能體現一堂完整的數學課，在這樣的課堂中，數學文化的探索精神才能得到繼續發揚.

結束語

綜上所述，適時、高效地把數學文化融入課堂教學是很有必要的. 只有當教師在教學活動中潛移默化地植入數學文化，實現知識與文化的和諧統一時，才能使學生更好地理解數學、愛上數學，感受到數學學科的獨特魅力色彩.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2] 劉權華. 數學文化：何謂、為何與何為[J]. 江蘇教育研究，2021（09）：36-39.

[3] 劉崢嶸. 數學文化視角下“橢圓及其標準方程”的教學策略[J]. 福建中學數學，2018（01）：22-25.

[4] 陳建權. 數學史融入高中解析幾何教學——以“橢圓及標準方程”為例[J]. 中學數學教學參考，2021（07）：11-13.

[5] 張映姜，劉崢嶸. 融入數學文化，精彩橢圓學習——評橢圓及其標準方程（第1課時）教學[J]. 數學教學研究，2015，34（08）：18-20.

[6] 汪曉勤. HPM：數學史與數學教育[M]. 北京：科學出版社，2017.