多階段人口增長動力學模型分析

馬春艷，李曉紅，武力兵

（遼寧科技大學 理學院，遼寧 鞍山 114051）

我國是一個人口大國，自新中國成立以來，我國相繼出臺多項政策調控人口增長［1］。2020 年我國第七次人口普查結果顯示，2020 年成為自新中國成立以來新生兒數量以及出生率最低的一年［2］。2021 年，國家出臺三孩政策及相關生育配套支持措施［3］。

隨著政策與經濟、科學技術等帶來的變化，人們的生育意愿逐漸變化［4］，為此，國內學者對人口生育率和生育意愿作了大量研究。陳衛［5］利用第七次人口普查數據分析國內生育政策對生育率的影響，發現女性婚育年齡的延遲具有壓低生育率的作用。馬蕓蕓［6］通過建立泊松回歸模型得出結論，女性的生育意愿不僅受政策影響，城鄉之間的生育意愿也存在較大的差別，同時住房、工作、經濟壓力會明顯降低生育意愿。受教育程度越高，所在地區教育體系越完善，則越容易提高育齡人口的生育意愿。柳如眉等［7］利用時間序列數據進行多元回歸分析，結果顯示，生育率的變化與城鄉收入水平變化呈正相關，育兒成本對城鄉生育率的提高起負面作用。何興邦［8］提到，跨地域農民工定居意愿的增加，即城市融入是導致農民工生育意愿下降的重要因素。蔡昉［9］指出，三胎政策的實行降低了“三育成本”（即生育、養育和教育的成本），從而對生育意愿的提升具有顯著的正向影響。

隨著生育意愿的逐年下降，預測人口總量對制定經濟與資源配置相關政策、完善社會發展戰略和建立社會保障體系等方面具有積極的參考意義［10-11］。人口預測有多種方法，如微分方程模型、灰色預測模型、線性時間序列模型、BP（Back propagation）神經網絡預測模型、Logistic 增長模型、Malthus模型等［12］。由于人口發展過程是一個動態過程，可以用動力學方程描述。張娟等［13］通過建立人口動力學模型預測人口總量。Gurtin［14-15］在假定人口擴散的兩種方式條件下，構建與年齡有關的人口擴散積分模型，并將人口擴散模型轉化為偏微分方程組，得到了模型解存在的充分條件。J?ger 等［16］曾提出Boltzmann 型人口動力學方程，其中Boltzmann 方程含有碰撞算子，是分布函數所滿足的一類微分方程。Arlottil 等［17-18］研究廣義的Boltzmann 型人口動力學方程。Kang 等［19］研究具有非局部擴散和非局部邊界條件的年齡結構種群模型的一些基本理論，應用Krasnoselskii不動點定理得到非平凡穩態的存在性，分析了平衡態的穩定性。Huo 等［20］研究一類年齡結構的反應擴散對流種群模型，考慮非線性死亡率和出生率，證明了系統穩態的存在性。Christoph等［21］針對含有非線性死亡和出生過程的年齡結構擴散種群模型，研究線性化穩定性原理。

人口發展一方面是自然選擇，另一方面也受國家政策影響。國家政策直接影響生育意愿，但針對生育意愿對人口總量的定量研究成果較少。本文首先建立多階段人口增長動力學模型，進而以此模型為約束條件，以實際數據與計算數據誤差平方和為性能指標，建立最優控制模型，并利用粒子群算法結合全國1987～1999年人口數據確定模型中部分參數的最優解；其次利用2000～2020年的數據驗證模型的可靠性，并通過誤差分析總結生育率對人口總量的重要影響；最后在生育率中引入生育意愿參數，通過調整生育意愿參數，利用實際數據分析生育意愿對總人口增長趨勢的影響。

1 人口增長動力學模型

為方便研究問題，本文根據人口增長實際特性，假設：各年齡段的轉化率或成熟率在相當長的時間內視為常數；不考慮雙胞胎及以上情況；不考慮國際遷移情況。

本文中所用參數符號及含義詳見表1。

表1 本文所用參數符號及含義Tab.1 Symbol and meaning of parameters in this paper

1.1 人口增長動力學模型

設育齡人口各階段人口數為Ni(i=1,2,3,4)，一旦生育就轉移到下一個階段，沒有再生育的人口將其保留在本階段，直至轉移至老年人口階段N5。不考慮生育雙胞胎及以上等情況，模型中一位新生兒的降生伴隨夫妻兩位育齡人口轉移至下一個階段。圖1 直觀展示了各階段人口之間的流動轉化情況。

圖1 各階段之間人口轉移圖Fig.1 Population transfer diagram among each stages

基于上述假設和相關建模機理，得到如下人口增長動力學模型

其中，N0(t),…,N5(t)分別表示第t年兒童、各階段育齡人口和老年人口，與等式右端N0,…,N5含義完全相同。將式（1）左端記N(t)=[N0(t),…,N5(t)]T，k=(k0,k1,k2.k3,k4)，則式（1）可寫成如下向量形式

微分方程組（2）是線性微分方程組，滿足微分方程解的存在唯一性定理。

定理1 微分方程組（2）存在連續依賴于初值和參數的唯一解。

1.2 人口增長動力學模型最優解

由于模型中各年齡段的轉化率和成熟率k=(k0,k1,k2.k3,k4)無法通過統計數據獲得，相關文獻中也沒有可參考的具體取值，本文以此為控制變量，以式（2）為約束條件，以各階段實際與計算人口差的平方和為性能指標，得到最優控制模型（P）

式中：S0(t)、S1(t)、S2(t)分別為各年份實際兒童、育齡人口和老年人口。

定理2 最優控制模型（P）是一個線性二次型問題，有最優解。

各年份兒童人口N0、老年人口N5及兒童、老年人口的死亡率可通過統計年鑒查詢，但無法查詢到各階段的育齡人口數據與死亡率。因此在計算時，假定在初始年份每個育齡階段人口數相等，取為育齡總人口數據的平均值，即N1(0)=N2(0)=N3(0)=N4(0) ，各階段育齡人口死亡率相同，即d1=d2=d3=d4。以1987 年為初始年，相關數據如表2 所示，其中生育率、死亡率等參數采用文獻［13］中數據，均列于表2 中?？紤]從1987 年到1999年共計13年的人口數據，即T=13。

表2 1987年相關參數取值Tab.2 Related parameter values in 1987

采用粒子群算法，迭代100 次，計算得到適應值曲線，見圖2。適應值在迭代65 次以后逐漸穩定，最優適應值為Jmin=1.139 8×109，最優參數k=［0.024 9，0.021 1，0.021 3，0.021 8，0.021 0］。因人口數值較大，且最優控制模型（P）的性能指標為平方和形式，故適應值較大。

圖2 最優控制模型P的適應值曲線Fig.2 Adaptation value curve of optimal control model P

1.3 人口增長動力學模型驗證與誤差分析

1.3.1 人口增長動力學模型驗證 選取2000年～2012 年各階段人口數據進行模型驗證。以2000年為初始年，相關參數來自文獻［13］，詳見表3。采用粒子群算法，計算2000～2012年人口總量的預測值及相對誤差，詳見圖3。

表3 2000年相關參數取值Tab.3 Related parameter values in 2000

圖3 2000年～2012年人口總量預測值及誤差Fig.3 Errors and total population predicted values in 2000～2012

2000～2006 年的人口總量預測誤差均小于0.1%，2007～2012 相對誤差逐年變大。這與2006年國家實行單獨二胎政策有關，從2007 年開始各階段的生育率比2000 年有所提高，表明國家二胎政策有效提高了生育率。最大相對誤差出現在2012年，為1.41%，這說明模型比較可靠。

1.3.2 人口增長動力學模型誤差分析 為進一步探究國家政策對生育率的影響，繼續對2013～2020年數據進行誤差分析。

從2013年開始國家統計局公布各年齡段育齡人口數量，可以根據一胎、二胎及三胎新生兒數量計算各階段育齡人口的生育率，如圖4所示。

圖4 2013年～2020年各階段育齡人口生育率Fig.4 Fertility rate of population of childbearing age in 2013 ～2020

2013～2016 年、2017～2020 年各階段育齡人口相應生育率均比較穩定，而在2017 年二胎生育率明顯增加，且達到近年來最高。因此，本文將2013～2020 年分為兩個階段：2013～2016 年為單獨二胎時期，2017～2020 年為全面放開二胎時期。以2013 年數據為初始值，詳見表4，利用粒子群算法計算2013～2020年間的人口總量預測值及誤差，結果如圖5所示。

表4 2013年相關參數取值Tab.4 Related parameter values in 2013

圖5 2013年～2020年人口總量預測值與誤差Fig.5 Errors and total population predicted values in 2013～2020

人口預測最大相對誤差0.247 68%，出現在2017年，低于2012年的最大誤差1.41%，一方面說明模型可靠，同時也與2016 年國家全面開放二胎政策吻合。

現以2017 年數據為初始值，詳見表5，計算2018～2020年人口總量及誤差，結果見圖6。

表5 2017年相關參數取值Tab.5 Related parameter values in 2017

圖6 2017年～2020年人口總量預測值與誤差Fig.6 Errors and total population predicted values in 2017～2020

2017～2020 年間最高誤差0.032%，均明顯低于用2013 年和2000 年數據為初始值得到的誤差。這表明生育率直接影響人口數量。

2 生育意愿對人口發展趨勢的影響

2016 年國家全面放開二胎后，2017 年二胎生育率明顯增加，之后穩中略有下降，而一胎生育率持續下降。不難看出，國家政策帶動的是生育意愿，進而提高生育率。生育意愿在生育率中扮演著重要角色。本文將生育率看作自然生育率與生育意愿參數之積，分別討論一胎、二胎、三胎生育意愿參數對人口總量的影響。

2.1 生育率的構成因素

自然生育率即為各階段育齡人口生育的概率，將自然生育率記為λ=(λ1,λ2,λ3)，并假設其在各階段生育時間間隔所表示的區間內服從正態分布。其中λ1表示15 歲到生育第一胎時間間隔的倒數，本文假定生育第一胎的年齡在18～30 歲之間，時間間隔為3～15年，因此λ1取值范圍為［1/15，1/3］。λ2表示生育第一胎到生育第二胎的時間間隔的倒數，一般間隔時間通常為4～8 年，則λ2取值范圍為［1/8，1/4］。λ3表示生育第二胎到生育第三胎及以上的時間間隔的倒數，一般間隔時間通常為2～5 年，則其取值范圍為［1/5，1/2］。自然生育率在對應的范圍內取隨機數。

記生育意愿參數為μ=(μ1,μ2,μ3) ，分別表示一、二、三胎的生育意愿，在（0，1）之間取值?？紤]到生育意愿完全是個人主觀行為，因此對于生育意愿不做任何限制。由此，各階段生育率

2.2 生育意愿對人口發展趨勢的影響

為直觀展示生育意愿參數對人口總量的影響，本文以2020年的數據（表6）為式（2）的初始值，通過調整各階段生育意愿參數，計算未來人口數量，預測人口發展趨勢。通過比較不同參數下人口發展趨勢，確定生育意愿參數對人口發展的影響。

表6 2020年參數取值Tab.6 Related parameter values in 2020

首先采用2020 年的生育率，利用式（4）計算2020 年各階段人口生育意愿參數，結果詳見表7。通過模型（2）得到未來一些年份人口總量，如圖7所示。

表7 2020年生育率參數Tab.7 Fertility rate parameters in 2020

圖7 調整生育意愿后人口發展曲線Fig.7 Population growth curve after adjusting fertility intention

按照2020 年的生育率，預計在2050 年人口總數達到峰值，之后逐步走低。很多專家已意識到這個問題，國家也出臺了全面開放三胎的生育政策。

下面分別將一、二、三胎生育意愿參數擴大1倍，三胎生育意愿擴大2 倍，在這四種情況下計算人口總量，并繪制人口發展曲線，如圖7 所示。將生育意愿調整后的人口峰值及年份列于表8中。

表8 調整生育意愿后人口峰值比較Tab.8 Comparison of population peak after adjusting fertility intention

與采用2020 年生育率相比，提高各階段生育意愿后，人口總量均有顯著提升，人口峰值到達的時間延后5～20年。而且，擴大一胎生育意愿對人口的效果明顯優于擴大二、三胎生育意愿的情形，不僅延遲了到達人口峰值的時間，人口峰值也達到了更高的水平。同時還可以發現，一胎生育意愿參數擴大1倍與三胎生育意愿參數擴大2倍，人口峰值到達的時間均在2070 年左右，而一胎生育意愿參數擴大1倍預測的人口峰值更高。因此，在提高人口數量，遏制人口出生率持續走低的工作中，重點在于提升一胎生育意愿，可以達到事半功倍的效果。

3 結 論

本文建立多階段人口增長動力學模型，估計各階段之間的轉化率，采用誤差分析驗證模型正確性的同時，也表明生育率對人口總量的巨大影響，展示了國家政策對生育率的直接影響。在生育率中引入生育意愿參數，分別調整生育意愿，預測人口未來發展趨勢。提升一胎、二胎、三胎生育意愿，均可顯著提升人口總量，不同程度地延后人口峰值到達的時間；提升一胎生育意愿的效果明顯優于提升二、三胎生育意愿效果。