工業純鈦TA2 壓載荷下含表面裂紋板應力強度因子

張雨宸，姚錫銘，裴 琦，周昌玉，賀小華

（南京工業大學機械與動力工程學院,江蘇 南京 211816）

0 引言

工業純鈦具有綜合力學性能優異，耐腐蝕性能好且具有較好的可加工性能等特點，成為國內常用于鈦制設備和容器的主要材料之一，廣泛應用于石油化工、生物制藥、航天航空等領域[1?2]。隨著鈦材的大量使用，含缺陷的鈦制承壓結構的安全性也顯得愈發重要[3]。裂紋是最危險的缺陷形式，輕則導致泄露事故的發生，重則引起嚴重的脆性斷裂爆破事故。應力強度因子廣泛應用于裂紋體強度與疲勞裂紋擴展研究，是評價含裂紋結構強度的重要參數。因此，有必要了解和掌握工業純鈦裂紋體應力強度因子影響因素，合理評價裂紋體的結構完整性[4]。

早期研究中，文獻[5–8]通過理論分析研究了拉彎載荷下Ⅰ型表面裂紋的應力強度因子，并提出了近似表達式，其中Raju，Newman 提出的表面裂紋近似解具有良好的適用性，至今仍被作為基本模型運用于各類表面裂紋斷裂參量的相關研究。有限元方法具有良好的經濟性、可行性和精確性，在工程和科學計算領域應用廣泛，文獻[9–11]基于有限元方法研究了拉伸或彎曲載荷下復合型表面裂紋應力強度因子分布規律。結果表明，受拉載情況下，裂紋不同幾何參量（裂紋傾角β，裂紋相對深度a/t，裂紋形狀系數a/c等）對表面裂紋應力強度因子KⅠ，KⅡ，KⅢ變化規律產生影響。文獻[12–14]基于有限元計算結果，提出拉伸或彎曲條件下復合型表面裂紋應力強度因子經驗公式，此時表面裂紋同時存在應力強度因子KⅠ，KⅡ，KⅢ。外壓或壓載荷是壓力容器和管道常見載荷之一，壓載荷下有關應力強度因子的研究大多關注穿透裂紋形式。文獻[15–17]通過解析法和有限元方法研究了壓載荷下復合型穿透裂紋應力強度因子分布規律。此時，I 型應力強度因子KI=0，僅存在II 型應力強度因子KⅡ。

筆者針對工業純鈦TA2 含半橢圓表面裂紋板模型，采用Abaqus 有限元數值分析方法，研究壓載荷下復合型表面裂紋應力強度因子KⅡ和KⅢ分布規律，并提出了適于工程應用的單軸壓載下含半橢圓表面裂紋板的應力強度因子KⅡ和KⅢ解。

1 基本理論

在經典斷裂力學中，將裂紋按受載后裂紋面相對位移方向將裂紋分為張開型裂紋（Ⅰ型）、滑移型裂紋（Ⅱ型）、撕開型裂紋（Ⅲ型）[18]。

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂紋前緣應力場分布如圖1 所示，其表達式通過Westergaard 復變函數方法推導出[11]。實際裂紋結構并不會呈單一受載形式，裂紋前緣的應力應變場應由3 種不同類型裂紋的獨立表達式組合疊加而成。在拉伸作用下，裂紋表面不存在相互作用力，因此裂紋表面相對自由。對于受單軸壓載荷作用下的閉合裂紋，由于物質的不可侵入特性，上下裂紋面并不會發生相互穿透，所以裂紋前緣Ⅰ型分量不存在即為0，這點在文獻[17,19]中都有提到，并且有具體推導過程。實際壓載荷下裂紋前緣應力應變場分布公式如式（1）：

圖1 裂紋前緣應力分布Fig.1 The scheme of stress at crack front

2 有限元模型分析

針對工業純鈦TA2 含半橢圓形表面裂紋板模型，筆者選用有限元軟件Abaqus 對其進行三維數值模擬。板結構幾何模型如圖2 所示。平板寬度與長度分別用2W和2H表示，且均為200 mm，試樣厚度為t，裂紋長度為2c，裂紋深度為a，裂紋傾角為β，表征裂紋面與加載方向之間的角度，裂紋前緣橢圓偏心角為θ，A為裂紋前緣最深處點，B為裂紋前緣與板自由面交點。在單軸壓載荷作用下，裂紋板下端面施加位移全約束，上端面施加均勻載荷σy=100 MPa。

圖2 含半橢圓表面裂紋板幾何模型Fig.2 Geometric model of semi-elliptical surface crack in plate

材料選用TA2 工業純鈦，彈性模量E=113.1 GPa，泊松比ν=0.348。有限元計算模型參照文獻[20]提出的建模方式。由于復合型裂紋存在幾何不對稱效應，需對裂紋體建立全模型計算。應力強度因子通過Abaqus 中“圍道積分”方法獲得。承受壓載荷的裂紋板，裂紋面產生接觸。使用罰函數表征裂紋表面之間的切向摩擦力，同時將法向接觸設置為接觸后允許分離的“硬接觸”，防止可能發生的穿透現象。裂紋整體模型由含裂紋前緣的part1 和剩余平板part2 組成，part1 中裂紋前緣用楔形單元和蜘蛛網結構細分，網格類型為C3D8R，選用中心節點為0.25 的二階四元單元模擬裂紋尖端奇異性。part1 除去裂紋前緣剩余部分選取C3D10自由網格進行劃分；part2 部分選用結構網格行進劃分。part1 與part2 采用綁定約束，最大化消除兩種網格類型連接產生的誤差。通過轉動part1 達到變換裂紋傾角β的效果，大大簡化建模時間成本，并且保證相同模型網格精確性，有限元計算模型如圖3所示。表1、2 提供了網格敏感性分析。不同網格尺寸下KⅡ，KⅢ最大相對誤差為3.82%，滿足網格敏感性要求。選取最小網格尺寸0.1 mm，裂紋前緣周向網格數120。

表1 最小網格尺寸網格敏感性分析（a/c=0.2，a/t=0.4，β=45°，θ=30°）Table 1 Verification of meshing on minimum sizes of element（a/c=0.2，a/t=0.4，β=45°，θ=30°）

表2 裂紋前緣裂尖周向網格敏感性分析（a/c=0.2，a/t=0.4，β=45°，θ=30°）Table 2 Verification of meshing on numbers of element along crack front（ a/c=0.2， a/t=0.4， β=45°，θ=30°）

圖3 含半橢圓表面裂紋板有限元模型Fig.3 Finite element model of semi-elliptical surface crack in plate

提取a/t=0.4 時，a/c=0.2，0.4，0.6，0.8，1 時分別對應的裂紋表面點B和裂紋深處點A的KⅠ有限元解與Newman-Raju[6]和GB/T 19624-2019[21]解對比，驗證模型準確性。如圖4 所示，有限元計算結果可以滿足精度要求。

圖4 有限元結果與Newman-Raju 和GB/T 19624 應力強度因子解對比Fig.4 Comparison of stress intensity factor by finite element results,Newman-Raju and GB/T 19624 solutions

3 壓載下表面裂紋應力強度因子影響因素分析

本節主要考慮裂紋傾角β(0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°)，裂紋相對深度a/t(0.2，0.4，0.6，0.8)，裂紋形狀系數a/c(0.2，0.4，0.6，1)，摩擦系數μ(0，0.3，0.5，0.7)與側壓系數λ(0，0.25，0.5，1)對壓載荷下應力強度因子的影響。為了更為直觀地觀察半橢圓形表面裂紋應力強度因子的分布規律，使用Newman 和Raju 于1981 年提出的Kr和Q參數對其進行歸一化處理[6]，應力強度因子分量Ki、歸一化參數Kr、Q可分別表征為：式中分別表征歸一化應力強度因子Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ型分量。

3.1 裂紋傾角對應力強度因子影響

圖5、6 分別給出了a/c=0.4，a/t=0.8，μ=0.3 時，分別對應不同裂紋傾角β=15°，30°，45°，60°，75°時壓載荷下表面裂紋表面和裂紋前緣的應力云圖。圖7 給出了a/c=0.4，a/t=0.8，μ=0.3 時，分別對應不同裂紋傾角β=0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°時壓載荷下表面裂紋應力強度因子Ⅱ型和Ⅲ型分量。

圖5 裂紋表面Mises 應力云圖Fig.5 Mises stress of crack surface

圖6 裂紋前緣Mises 應力云圖Fig.6 Mises stress along crack front

圖7 應力強度因子KⅡ，KⅢ隨β 變化曲線Fig.7 Variation of stress intensity factors KⅡ, KⅢ along crack front with β

由圖5 可以看出，復合型裂紋表面點B處裂紋尖端Mises 應力場沿裂紋面分布不對稱。隨著裂紋傾角的增大，Mises 應力先增大再減小，在β=30°時出現最大值，裂紋尖端應力分布區域沿逆時針旋轉。圖6 中，整個裂紋前緣處Mises 應力在β=45°時出現最大值，其次是在β=30°，60°下，Mises 應力最低出現在β=15°，75°下。對比圖5、6，不難發現β=30°，45°時，Mises 應力最大值在裂紋深處點A；當β=15°，60°，75°時，Mises 應力最大值在裂紋表面點B，這表明裂紋傾角的改變影響表面裂紋前緣應力分布。

由圖7(a)可以看出，應力強度因子KⅡ關于θ=90°呈反對稱分布。裂紋傾角β=45°時，KⅡ變化范圍最大，其次是β=30°時，并且曲線較為接近，隨后是β=60°、15°和75°的KⅡ，KⅡ分布規律與β=30°時相似。這與圖6 應力云圖中應力最大值隨裂紋傾角的變化規律吻合。β=0°和90°時，KⅡ隨裂紋前緣橢圓偏心角分布近似為直線，并且接近于0。表面裂紋KⅡ最大值位于表面裂紋兩側接近自由平面區域，在裂紋最深處(θ=90°)最小。由圖7(b)應力強度因子KⅢ關于θ=90°呈現對稱分布，且隨裂紋傾角變化規律與KⅡ類似。表面裂紋KⅢ最大值（絕對值）位于表面裂紋最深處，在裂紋接近自由平面時最小。

3.2 裂紋相對深度對應力強度因子影響

圖8 給出了a/c=0.2，β=45°，μ=0.3 時，裂紋相對深度a/t=0.2，0.4，0.6，0.8 對應的壓載荷下表面裂紋應力強度因子Ⅱ型和Ⅲ型分量。

圖8 應力強度因子KⅡ，KⅢ隨a/t 變化曲線(β=45°)Fig.8 Variation of stress intensity factors KⅡ, KⅢ along crack front with a/t (β=45°)

從圖8 可以看出，在固定裂紋形狀a/c，裂紋傾角β時，應力強度因子KⅡ和KⅢ絕對值隨著裂紋相對深度a/t的增加呈現增大趨勢，但是變化幅度較小。這表明在單軸壓載荷作用下，裂紋相對深度對裂紋前緣處KⅡ和KⅢ分布影響程度較弱。

3.3 裂紋形狀系數對應力強度因子影響

圖9 給出了a/t=0.8，β=45°，μ=0.3 時，裂紋形狀系數a/c=0.2，0.4，0.6，1 對應的壓載荷下表面裂紋應力強度因子Ⅱ型和Ⅲ型分量。

圖9 應力強度因子KⅡ，KⅢ隨a/c 變化曲線(β=45°)Fig.9 Variation of stress intensity factors KⅡ, KⅢ along crack front with a/c (β=45°)

從圖9(a)可以看出，在固定裂紋相對厚度a/t，裂紋傾角β時，應力強度因子KⅡ隨裂紋形狀系數的增大而變大，并且以θ=90°為分界線，大于90°時，其曲線形狀逐漸由內凹變為外凸。圖9(b)中，應力強度因子KⅢ隨裂紋形狀系數的變化與KⅡ截然相反，隨著裂紋形狀系數的增大，其絕對值變小。這表明KⅡ，KⅢ對于裂紋形狀系數影響變化較為敏感，隨著形狀系數的增大由KⅢ主導逐漸變為KⅡ主導。KⅢ在θ=0°和180°附近時沒有趨向于0，產生有波動，這是由于接近裂紋面位置處存在奇異性。文獻[12,22]指出裂紋表面處奇異性與自由表面效應和泊松比有關。

3.4 摩擦系數對應力強度因子影響

圖10 給出了a/c=0.4，a/t=0.8，β=45°時，分別對應摩擦系數μ=0，0.3，0.5，0.7 時壓載荷下表面裂紋應力強度因子Ⅱ型和Ⅲ型分量。

圖10 應力強度因子KⅡ，KⅢ隨μ 變化曲線(β=45°)Fig.10 Variation of stress intensity factors KⅡ, KⅢ along crack front with μ (β=45°)

圖11 給出了a/c=0.4，a/t=0.8，摩擦系數μ=0，0.3 時，分別對應裂紋傾角β=30°，45°，60°時壓載荷下表面裂紋前緣的應力強度因子Ⅱ型和Ⅲ型分量。

圖11 應力強度因子KⅡ，KⅢ隨β 變化曲線(μ=0，0.3)Fig.11 Variation of stress intensity factors KⅡ, KⅢ along crack front with β (μ=0，0.3)

圖10 可以看出，應力強度因子KⅡ和KⅢ絕對值均隨μ的增大而減小，摩擦系數的增大可以阻礙壓載引起的剪切應力所導致的斷裂破壞。圖11 中，μ=0，β=45°時，KⅡ和KⅢ絕對值最大，β=30°，60°時其次，并且應力強度因子曲線基本重合。在μ=0.3 時，KⅡ和KⅢ均小于μ=0 時，KⅡ和KⅢ絕對值在β=45°時仍最大，β=30°，60°時KⅡ和KⅢ絕對值其次，且曲線出現分離，這表明摩擦改變了不同裂紋傾角下應力強度因子的分布。

3.5 拉壓載荷對應力強度因子影響

圖12 給出了a/c=0.2，a/t=0.2，μ=0.3 時，拉伸和壓縮載荷分別對應裂紋傾角β=0°，15°，30°，45°，60°，75°，90°時表面裂紋應力強度因子Ⅰ型、Ⅱ型和Ⅲ型的分量。由圖12 可以看到，首先在拉伸載荷情況下，由于裂紋面張開，應力強度因子KⅠ存在，并且隨裂紋傾角的增大而增大，應力強度因子KⅡ和KⅢ曲線隨裂紋傾角先增大后減小，|KⅠ/Kr|max>1，而|KⅡ/Kr|<0.4，|KⅢ/Kr|<0.5，表明拉伸載荷下，隨著裂紋傾角的增大，應力強度因子主要由KⅠ主導。在壓載荷下，由于裂紋面閉合，KⅠ=0，應力強度因子由面內/外剪切應力所引起的KⅡ和KⅢ主導。曲線在拉伸和壓載荷下沿KⅡ=0 和KⅢ=0 近似對稱，且β=0°時，KⅠ、KⅡ、KⅢ均為0，表明拉伸和壓載荷改變了剪切力的方向。拉載荷情況下，β=15°和30°分別與β=60°和75°重疊，而壓載下由于摩擦的存在，曲線發生不同程度的分離，并且對應β下KⅡ、KⅢ絕對值均小于拉載荷的KⅡ和KⅢ。由于閉合裂紋KⅠ的缺失，導致隨著β的增大，壓載荷下應力強度因子KⅡ、KⅢ絕對值逐漸與拉載荷下KⅡ、KⅢ拉開差距。

圖12 拉伸/壓縮載荷下，應力強度因子KⅠ，KⅡ，KⅢ隨β 變化曲線Fig.12 Variation of stress intensity factors KⅠ,KⅡ, KⅢ along crack front with β under the tensile/compressive loads

3.6 側壓系數對應力強度因子影響

圖13 給出了雙軸壓載荷下，a/c=0.4，a/t=0.8，β=45°，μ=0.3 時，側壓系數λ=0，0.25，0.5，1 對應的壓載荷下表面裂紋應力強度因子Ⅱ型和Ⅲ型的分量。

圖13 應力強度因子KⅡ，KⅢ隨λ 變化曲線Fig.13 Variation of stress intensity factors KⅡ, KⅢ along crack front with λ

由圖13 可以看出，隨著側壓系數的增大，裂紋前緣處KⅡ和KⅢ變小。在λ=1 即雙軸等壓時，表面裂紋應力強度因子Ⅱ型Ⅲ型分量均接近0，這點與文獻[15]結論一致。表明等壓條件下裂紋不會發生擴展，側壓系數的增大進一步阻礙剪切應力所導致的斷裂破壞。

4 單軸壓載荷下半橢圓表面裂紋應力強度因子KⅡ和KⅢ近似解

壓載荷下表面裂紋應力強度因子KⅡ和KⅢ最大值分別出現于裂紋表面點處和裂紋最深點處，通過有限元求解雖然可以保證較高的精度，但是計算成本較高，不便于工程應用，所以有必要基于KⅡ和KⅢ有限元解，回歸得到KⅡ和KⅢ的近似解，以便于工程評定。在裂紋面摩擦系數μ=0 情況下，受壓載荷表面裂紋KⅡ和KⅢ最大，高于裂紋面摩擦系數μ>0 時的KⅡ和KⅢ。因此，本節對摩擦系數μ=0 時的應力強度因子KⅡ和KⅢ進行非線性回歸，得到適于工程應用的近似解。

在經典斷裂力學中，遠場拉載荷作用下穿透裂紋KⅠ，KⅡ，KⅢ表達式見式（5）：

在文獻[17]中，定義遠場壓載荷下不考慮裂紋面接觸時，復合型穿透裂紋KⅠ，KⅡ，KⅢ表達式見式（6）：

根據文獻[6,21]，筆者提出單軸壓載下表面裂紋表面處KⅡ和裂紋深處點KⅢ近似解，具體表達式見式（7）：

由圖14 可知，β=45°時，不同a/t和a/c下，通過KⅡ，KⅢ有限元與非線性擬合獲得的結果誤差較小。表3、4 為應力強度因子具體對比結果。

表3 裂紋表面點處KⅡ對比Table 3 Comparison of KⅡ at surface point of crack

表4 裂紋最深處點KⅢ對比Table 4 Comparison of KⅢ at deepest point of crack

圖14 擬合結果（β=45°）Fig.14 Fitted results of （β=45°）

由表3，4 可以看出，裂紋表面點KⅡ擬合結果在不同a/c時最大平均誤差為6.01%，裂紋深處點KⅢ擬合結果在不同a/c時最大平均誤差為2.18%，近似解與有限元數值計算所得結果較吻合，近似解對于工程評定具有參考價值。

5 結論

以工業純鈦TA2 含表面裂紋板為研究對象，分析研究了壓載荷下表面裂紋應力強度因子影響因素及分布規律，進行非線性回歸，得到了適于工程應用的應力強度因子KⅡ和KⅢ近似解。結論如下：

1）壓載荷下，表面裂紋應力強度因子KⅡ和KⅢ分別關于θ=90°呈反對稱和對稱分布。β<45°時，KⅡ和KⅢ絕對值隨β增大而增大，在β=45°時取得最大值；β>45°，KⅡ和KⅢ絕對值隨β增大而減小。表面裂紋KⅡ和KⅢ隨a/t增大而增大，a/t對應力強度因子影響較弱。表面裂紋隨a/c的增大由KⅢ主導逐漸變為KⅡ主導，KⅡ、KⅢ對于a/c影響變化較敏感。

2）壓載荷下，表面裂紋應力強度因子KⅡ和KⅢ絕對值隨摩擦系數μ，側壓系數λ增大而減小，μ和λ可明顯改善閉合裂尖應力分布，抑制剪切力導致的斷裂破壞；壓載荷下，表面裂紋應力強度因子KⅠ=0，KⅡ和KⅢ曲線在拉伸和壓縮載荷下沿KⅡ=0和KⅢ=0 近似對稱；由于閉合裂紋KⅠ的缺失，導致隨著β的增大，壓載荷下應力強度因子KⅡ、KⅢ絕對值逐漸與拉載荷下KⅡ、KⅢ拉開差距。

3）基于應力強度因子有限元解，通過非線性回歸，得到了單軸壓載荷下表面裂紋KⅡ和KⅢ近似解。研究結果對工業純鈦TA2 含表面裂紋結構安全評價具有參考價值。